[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 소인수분해 - 소인수분해

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 배울 단어는 소인수 분입니다 자 우리가이 소인수분해라는 것을 앞으로 수학을 배우면서 정말 많이 사용하게 될 거고요 그 소인수분해를 배우기 전에 우선이 거듭제곱에 관해서 배워보도록 하겠습니다 거듭제곱은 뭐냐면 같은 수납 문자를 거듭해서 곱한 것을 간단히 나타낸 것이래요 자 예를 들어서 우리가 일을 세 번 더하면 우리가 이거를 간단하게 표현하기 위해서이를 세 번 더했다는 뜻으로 3 곱하기 2라고 표현을 할 수 있다고 배웠어요 우리가 이렇게 덧셈을 여러번 할 때 곱셈을 이용하여 표현을 할 수가 있고요 우리가 오늘 배울 것은 곱셈을 여러 번 한 겁니다 자이를 세 번 곱한 것을 우리가어떻게 표현하냐면요 일을 세 번 곱했다는 뜻으로이 3을요이 위에 작게 써주는 겁니다 자 요게 우리가 세 번 곱했다는 뜻이에요 자 그래서 우리가 이렇게 a 위에 2가 들어갈 수도 있고 3이 들어갈 수도 있고 4가 들어갈 수도 있겠죠 각각 얘는 두 번 곱한 거 얘는 세 번 곱한 거 예를 4번 곱한 거 요런 애들을 a의 거듭제곱이라고 표현을 하고요 어떻게 읽냐면 요거는 a의 제곱이라고 읽습니다 자 이렇게 두 번 곱한 건 a의 제곱이라고 읽고요 3번 곱한 건 세제곱 4번 곱한 건네 제곱이라고 읽습니다 자 그래서 이렇게 읽는 방법까지 됐을까요 자 만약에 a를 이렇게 쭉 곱했는데 a를 n개 곱했어요 n개곱하면 우리가 어떻게 표현하겠어요a가 n번 곱해져 있다라는 뜻으로 n을 이렇게 쓰겠죠 자 이때요이 밑에 있는 a를 우리는 밑이라고 불러요 밑 그리고이 위에 있는 n을요 우리는 지수라고 합니다 자 그래서 여기 아까 2의 3제곱을 세제곱이죠 2의 세제곱을 제가 예시로 들었었는데요 밑에 있는 2가 밑이고요 위에 있는 3이 지수가 되는 거예요 그래서 이렇게 밑과 지수가 뭔지까지 이렇게 지금 교재에 나와 있죠 밑은 거듭하여 곱한 수나 문자 구역 지수는 그 거듭하여 곱한 수나 문자에 곱한 횟수입니다 횟수 자 이렇게까지 됐습니다 자 개념인지 한번 보도록 할게요 우리 여기는 4를 4를 세 번 곱했네요 그러면 4가 3번 곱해졌다는 뜻으로 뭐라고 써야 돼요4의 세제곱 요렇게 써야 되죠 자 1번은 틀렸습니다 자 2번 보면 2 곱하기 2 더하기 3 곱하기 3 곱하기 7인데 우리 2 곱하기 2는 2의 제곱으로 쓸 수 있고요 3 곱하기 3 곱하기 7은 3의 제곱 곱하기 7이라고 쓸 수 있습니다 자 가운데 있는 덧셈을 우리가 갑자기 곱셈으로 바꿀 수는 없어요 우리 덧셈이기 때문에요 2번도 틀렸고요 3번은 5를 세 번 곱하고 7을 두 번 곱했어요 그러면 5를 세 번 곱했으니까 5의 세제곱이고 7을 두 번 곱했으니까 7의 제곱이죠 그래서 5의 세제곱 곱하기 7의 제곱으로 쓸 수가 있으니까 요거는 맞네요 자 4번은 a를 세 번 더 했어요 자 요거는 우리가 이렇게 a 세제곱으로 표현하나요 그렇지 않죠 우리가 a를 세 번 더 한 건 3 곱하기 a라고표현을 합니다 자 마지막으로 5번 보면 2분의 1을 4번 곱했죠 그러면 2분의 1을 4번 곱하면 분모는 2를 4번 곱하는 거고 분자는 1을 4번 곱하는 거예요 그러면 분모는 2에네 제곱이 되고요 분자는 1이 됩니다 따라서 5번은 틀렸네요 답은 3번입니다 자 이번엔 소인수분해구요 자 소인수분해가 뭐냐면 우리가 일단 소인수란 것을 알아야 돼요 소인수는 뭐냐면 우리 자연수의 약수 중에서 소수인 것을 소인수라고 해요 예를 들어서 우리 12는요 12의 약수를 찾아주면 1 2 3 4 6 12죠 이때 소수인 애들 2랑 3만 소수죠 얘네들을 우리가 소인수라고 해요 우리 소수인 약수를 소인수라고 하는거예요 자 소인수분해는 무엇이냐 우리는이 자연수 12를요 소인수만의 곱셈으로 나타낼 거예요 근데 뭐를 활용하냐면 앞에서 배운 거듭제곱을 활용합니다 자 정확히는 우리 1보다 큰 자연수를요 조인수의 거듭제곱 꼴로 표현을 해주는게 바로 소인수분해요 자 그러면 우리 한번 소인수분해를 직접 해볼 건데 60을 가지고 한번 해보도록 할게요 자 첫 번째 방법은 우리 60을요 작은 소수부터 나눠주는 겁니다 자 2로 나눠지죠 2로 나누면 30이고요 30을 2로 또 나누면 15네요 이번엔 2로 안 나눠지니까 그 다음 소수인 3으로 나눠 보겠습니다 3으로 나누면 5가 되죠 자 5는요 우리 요거 자체가 소수기 때문에 여기까지만 나누는 거예요즉 소수가 나올 때까지 나누는 겁니다 그래서 우리 60은 뭐라고 표현을 할 수 있는 거냐 바로 2 곱하기 2 곱하기 3 * 5라고 표현을 할 수가 있어요 여기에 나온 숫자들은 모두 곱해서 표현을 할 수가 있는 겁니다 자 이때 2를 두 번 곱했으니까 우리는 이거를 어떻게 표현할 수 있어요 2의 제곱이라고 표현을 할 수가 있죠 2의 제곱 곱하기 3 곱하기 5라고 60을 소인수분해 한 겁니다 여기 보면 소인수만 나와 있죠 여기 보면 2랑 3이랑 5가 소인수로만 우리 표현이 됐으니까 이렇게 소인수의 거듭제곱 꼴로 표현을 하는 것이 바로 소인수 분해입니다 자 두 번째 방법은요 우리가 크게 차이나지는 않고요 우리가이 60을 쪼개주는 겁니다2와 30의 곱으로 쪼갤 수 있으니까 요렇게 표시해 주고 30은 2와 15의 곱으로 나오고 15는 3과 5의곱으로 나오니까 지금 끝에 있는 숫자들이 모두 소수적 요렇게 해서이 소수들을 모두 곱해서 60을 표현할 수 있다가 두 번째 방법입니다 어찌됐든 같은 결과로 나오죠 자 우리 일반적으로 소인수분해하는 방법은 우리 1번 방법을 사용을 할 거고요 우리 나누어 떨어지게 하는 소수 중 작은 수부터 나눠주는게 일반적이고 우리 몫이 소수가 될 때까지 나누고요 자 요거는 무슨 말이에요 여기 소수 나올 때까지 나눠 주는 겁니다 그리고 마지막으로 나눈 소수들과 마지막 몫을 곱으로 나타낸대요 여기에 있는요 숫자들을 모두 곱해주면 62 되는 겁니다 요게 소인수분해요 자 그러면 개념 예제로 우리가 108을 한번 소인수분해 보도록할게요 자 108은요 우리가 일단 2로 나누면 54구요 아직 2로 나눠지죠 27이네요 이번엔 3으로 나누겠습니다 3으로 또 나눠지죠 요렇게 하면 지금 우리 나눈 숫자와 마지막에 나온 목까지 모두 소수로만 나왔어요 그러면 우리는요 108을 뭐라고 쓸 수 있냐 2 곱하기 2 곱하기 3 곱하기 3 곱하기 3으로 쓸 수가 있고요 2는 두 번 곱했으니까 2의 제곱이라고 쓰고 3은 3번 곱했으니까 3의 세제곱이라고 써서이 108을 소인수분해해 주면 되는 거예요 자 그래서 소인수분해한 결과는 이렇게 나오는 겁니다 자 여기까지 됐을까요 자 그러면 우리 여기 필수 예제 한번 풀어보도록 할 거고요 자 다음 중 소인수분해한 것으로 옳은것은 찾는 문제입니다 자 우선 1번부터 보면요 우리가 54가 제대로 소인수분해 됐는지 보기 위해서 직접 소인수분을 해봐야겠죠 자 2로 나눠지고요 우리 27은 3으로 나눠지고 9는 3으로 나눠집니다 그러면 우리 54를 소인수분해한 것은 2 곱하기 3의 세제곱이라고 해야겠죠 우리 문제의 1번에 있는 요소인수분해는 잘못됐네요 자 두 번째 이번에는 56이죠 자 56을 소인수분해하면 2로 나눠서 28 2로 나눠서 14 2로 나눠서 7이니까 56은 2의 3제곱 곱하기 7입니다 자 그래서 여기 교재에 있는 2번도 틀렸네요 자 3번은 63 이구요 63을 나누기 위해서 우리 3으로 나눠지고 3으로 나눠지고 더 이상 안 되죠 그래서 63은 3의 제곱 곱하기 7입니다 자 그러면 우리 교재3번에서 있는 소인수분해는 올바르게 한 거네요 일단은 3번은 맞고요 우리 4번 5번도 확인해 보도록 할게요 자 우선 144니까 2로 나눴을 때 72로 나눴을 때 36 2로 나눠서 18 2로 나눠서 9 3의 3이니까 144는 2의 4제곱 곱하기 3의 제곱으로 소인수분해가 됩니다 자 마지막 5번 156까지 한번 해 볼게요 156을 2로 나누면 78 2로 나누면 39 3으로 나누면 13 더 이상 안 되죠 그렇기 때문에 2의 제곱 곱하기 3 곱하기 13입니다 자 답은 아까 우리 3번이라고 찾아 놨죠 자 넘어가 볼게요 자 우리 필수 예제 하나 더 볼 거구요 240에 소인수를 모두 구한 것은이라고 했는데 자 249 그러면 소인수분해를 해봐야겠죠 2로 나누면120 2로 나누면 60 2로 나누면 30 2로 나누면 15 3으로 나누면 5구역 그럼 우리 240은 2가 4개 있어서 2의 네제곱이고 3은 하나 5도 하나입니다 자 그러면 소인수라는 것은 우리가 요렇게이 밑에 있는 숫자들의 의미하죠 우리 소인수들만의 곱으로 표현하는게 소인수분해니까 얘네들이 바로 소인수입니다 답은 3번이 되겠네요 자 여기까지 해서 우리가 소위 수분의 모두 배워봤고요 우리 소인수분해는요 정말 앞으로 계산을 많이 하게 될 거라서 어떤 숫자를 소인수분해 하는 것이 연습이 정말 충분히 되어 있어야 돼요 자 그러니까 우리 강의 끝나고 지금 풀었던 숫자들 그리고 예제들 모두 연습을 해주시기 바랍니다 보는 것만 하면 안 돼요 본인이 직접 해봐야 됩니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다감사합니다 [음악]