[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 소인수분해 - 약수와 약수의 개수

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 배울 단어는 약수와 약수의 개수입니다 자 우리가요 약수에 관해서 좀 더 알아보도록 할 건데 지금 우리 어떤 자연수 n에서 mea의 m² * b의 n제곱으로 손이수분해 될 때 n의 악수는 am 제곱의 약수 곱하기 b의 n제곱의 약수로 구한대요 자 이게 무슨 내용인지 볼 건데 우리가 숫자를 가지고 먼저 내용을 좀 보도록 할게요 자 50을 예로 들 거구요 우리가 50을 소인수분해를 해주면 2로 나눠서 25고 5로 나눠서 오기 때문에 50을 2 곱하기 5의 제곱이라고 소인수분해할 수가 있어요 자 그러면 우리가 여기서 약수를 구할 건데약수라는 건요 우리가 50을 나눴을 때 나누어 떨어지는 숫자를 약수라고 해요 그런데 50이 지금 이렇게 2 곱하기 5의 제곱으로 표현이 되어 있다면 이렇게 표현이 되어 있다면 우리가 약수를 찾기가 조금 더 쉽습니다 자 약수의 갑자기 3이 들어갈 수가 있나요 자 3이 들어갈 수가 없어요 우리가 소인수분했을 때 나오는 숫자들로만 이루어져 있어야 되고요이를 지금 한 개 가지고 있으니까 50은 일을 한 개 가지고 있으니까이 50의 약수는요 2를 한 개 갖거나 안 가질 수 있죠 자 5는요 여기 지금 5의 제곱이라 5를 두 개 가지고 있으니까 5를 안 갚거나 [음악]1 곱하기 5에서 5를 약수로 같거나 1 곱하기 5의 제곱으로 25를 갖거나 아니면 일을 하나 가지면 2가 되거나 10이 되거나 50이 되거나 여기 써 있는 숫자들만 약수로 가질 수 있는 숫자인 거예요 자 그러면 만약에 만약에 18을 우리 18을 소위 수분에서 약수를 구한다고 하면요 우리 18의 소인수분해하면 2 곱하기 3의 제곱이에요 그러면 2를 감거나 한 개 같거나 자 3은 제곱이니까 1이거나 3이거나 3의 제곱이거나 자 그러면 여기에 있는 숫자들을 곱해서 우리 약수를 찾아 줄 수가 있는 겁니다 1 3 9 2 6 18 그래서 이렇게 약수 6개가 나오는 거예요 자 그래서 우리가 n에약수는요 우리가 n이 a의 m 제곱 곱하기 b의 n제곱으로 표현이 된다면 우리가 새로운 약수를 만들 때는 am 제곱에서 요거의 약수와 요거의 약수를 곱한 애들이 약수가 되는 것이고 그거를 찾기 위해서 모두 찾기 위해서 이렇게 표를 활용을 할 수가 있는 겁니다 자 그래서 우리 여기까지 해서이 약수 찾는 거는 됐구요 이번엔 약수의 개수를 찾아볼 건데 자 우리이 표 안에 들어가는 칸의 개수가 약수의 개수죠 지금 여기 칸이 6개 있으니까 약수가 6개 있는 거예요 그러면요 함수를 세기 위해서 가로가 몇 칸이고 세로가 몇 칸인지 찾아서 곱해 줄 건데 자 가로는 지금 몇 칸이에요 세 칸이에요 자 이게 왜 세 칸이냐면우리 아까 3의 제곱이어서 지수의 숫자가 2가 들어가 있었죠 그런데이 2에다가 1을 더해주는 겁니다 왜냐하면 3이 하나도 안 곱해진 것까지 고려를 해야 되기 때문에 우리 2에다가 숫자 1을 더해서 여기 3이 나오는 거고요 여기 2는 2는 2를 한 번 곱한 거라서 여기다가 숫자 1을 더해서 여기 두 칸이 만들어진 거예요 그래서 두 칸과 세 칸이니까 2와 3을 곱한 6개가 되는 거겠죠 자 그러면 만약에 우리가 어떤 수를 소인수분해했더니 2의 3제곱 곱하기 3의 제곱이었어요 그러면 이런 수에 이런 수의 약수 개수는 몇 개일까요 자 2가 3개 있으니까 2가 안 들어가는 약수 1을 고르는 것까지 해서 우리가 4칸이 생길거고요요 2는 몇 칸이 생기겠어요 1을 더해서 세 칸이 생깁니다 그래서 총 12칸이기 때문에 약수가 12개인 거예요 자 이런 식으로 약속의 수를 구할 수 있고요 우리가 약속에서 어떻게 구한다고요 지수의 m과 n이 있으면 지수에다가 각각 1을 더해서 곱해주는 겁니다 그래서 50은 2 곱하기 5의 제곱에서 우리 2만 써 있는 거는 지수의 1이 있는거나 다름없습니다 그래서 1에다 1을 더한 거와 우리 5의 제곱은 지수의 2가 들어가 있으니까 2에다가 1을 더한요 3을 곱해서 2 곱하기 3으로 우리 약수 개수를 6개라고 찾을 수 있는 겁니다 자 개념이 이제 볼 거고요 우리 120의 약수의 개수를 구하라고 했어요 그러면 120 소인수분해 먼저 해 줄 거고요 2로 나눠서 62로 나눠서 30 2로 나눠서 15 3으로 나눠서5가 되고요 자 2의 3제곱 곱하기 3 곱하기 5라고 나오죠 자 그러면 우리가 지수에다가 1을 더해서 숫자를 만들어 낸다 그랬어요 지수의 날더에서 4 자 지금 3일 지수에는 숫자가 없지만 이렇게 없는 거는 1이 있는 거와 똑같습니다 그래서 1을 더해서 2가 되고요 여기도 1을 더해서 2가 됩니다 4 곱하기 2 곱하기 2에서 총 16개의 약수가 있는 거예요 자 이렇게 소인수가 3개 있는 경우에도 똑같은 방법으로 우리가 지수에다 1을 더해서 지수에다 1을 더해서 우리가 다 곱해주면 약수 개수가 나오는 거예요 그래서 답은 16개입니다 자 넘어가 볼게요 자 우리 첫 번째 필수 예제의 볼 거구요 240의 약수가 아닌 걸 고르라고 했어요 자 240 소인수분을 먼저 해 줄 거고요자 2로 나눠서 120 2로 나눠서 60 2로 나눠서 30 2로 나눠서 15 3으로 나눠서 5니까 2의 4제곱 곱하기 3 곱하기 5라고 보이스 분해가 되는데 여기에 있는 거보다 더 많은 소인수를 가지면 안 됩니다 자 1번 2 곱하기 3은 우리 2가 4개 있으니까 31개 있고요 5도 한 개 있는데 2 곱하기 3이니까 약수라고 할 수 있겠죠 자 요번에 2의 3제곱이네요 우리 여기 2가 4개 있는데 3개 갖는 거는 약수로 문제 없습니다 자 이에네 제곱 곱하기 5도요 우리이네 개의 문제 없고요 2의 3제곱 곱하기 3 곱하기 5도 우리 2가 4개 3151 다 그거보다 작거나 같으니까 개수가 작거나 같으니까 문제 없고요 마지막 5번 보면 2의 네제곱 곱하기 3의 제곱 곱하기 5죠얘는 뭐가 문제예요 3을 더 많이 가졌어요 240에는 3이 하나밖에 없어서 약수라고 하려면 3이 없거나 하나여야 되는데 여기는 3이 두 개나 있어서 요거는 약수라고 할 수가 없습니다 답은 5번이 되겠죠 자 두 번째고요 2의 a 제곱 곱하기 3의 제곱의 약수의 개수가 18이래요 자 우리 약수 개수 어떻게 생각을 했어요 우리 여기 지수에 있는 숫자에다가 2를 더하고요 지수에 있는 숫자에다가 1을 더해서 곱했을 때 요렇게 된 거를 곱했을 때 몇이 나와야 된다고요 18이 나와야 되는 거예요 자 이때 a값 구하는 거고요 우리 3에다가 뭐를 곱해서 18이 나왔는데 우리 삶에 뭐를 곱해야 18이 나와요 6을 곱해야 18이 나오죠 그래서 우리요 a+1이라는 애가6이 되어야 되고요 자 1을 더해서 6이 되는 숫자는 뭐예요 5죠 그래서 자연수 a를 5라고 구할 수가 있습니다 답은 5예요 실제로 2의 5제곱 곱하기 3의 제곱을 가지고 우리 약속의 수를 계산해서 검산해 주면 되겠죠 우리 여기다가 1을 더하고 여기에다가 1을 더하면 6하고 3인데 두 개를 곱하면 18개가 나오네요 자 이렇게 거꾸로 계산해 주면 됩니다 자 오늘 배울 내용 여기까지고요 우리 약수의 개수 공식은이 약수에게 수고하는 공식은 학생들이 또 많이 까먹어요 우리 까먹지 않도록 수업 끝나자마자 복습하고 문제도 열심히 풀어 주시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]