[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 소인수분해 - 최대공약수

수학대왕 [음악] 자 이번 시간 배울 단어는 최대 공약수입니다 자 우리 최대공약수를 배워 볼 건데요 우선은 최대공약수 전에이 공약수에 관해서 좀 배워보도록 할 거예요 자 공격수가 뭐냐면 두 개 이상의 자연수의 공통인 약수를 공약수라고 합니다 자 우리가 예시를 들어서 좀 볼 건데요 예를 들어 12와 18이 있으면 우리가 12의 약수는 뭐예요 12의 약수는 1 2 3 4 6 12구요 18의 약수는 1 2 3 6 9 18이죠 자 이렇게 약수들이 있는데 공약수는 두 개 이상의 자연수의 공통인 약수에요22의 약수면서 18의 약수를 우리가 공약수라고 하고요 12와 12와 18의 공약수는 우리가 공통인 약수를 골라주는 거니까 여기 1이 공통으로 들어가 있죠 2도 공통으로 들어가 있고요 삼도 공통으로 들어가 있네요 자 6도 공통으로 들어가 있죠 자 따라서 1 2 3 6 2 바로 12와 18의 공약수입니다 자 이렇게 우리가 공약수를 찾아 줄 수가 있는데 자 최대공약수는 무엇이냐 세대공약수는 공약수 중에서 가장 큰 일을 최대공약수라고 하는 거예요 자 얘네들이 공약수라면 최대공약수는 뭐겠어요 바로 6이 최대 공약수인 거죠 가장 큰 공약수를 최대공약수라고 하는 겁니다 자 우리 최대 공약수의 성질은요 두 개 이상의 자연수의공약수는 그 수들의 최대공약수의 약수래요 자 최대공약수의 약수가 바로 공약수가 되는 거고요 우리 최대공약수의 약수 뭐 뭐 있어요 1 2 3 6이죠 그게 실제로 지금 공약수로 나와 있죠 그래서 우리 약 공약수를 찾을 때는 공약수를 찾을 때는이 최대공약수를 찾아서 이거에 약수들을 찾아 줄 겁니다 그렇다면 우리가 공약수를 찾기 위해서 최대공약수를 찾아 줘야 되는데이 최대공약수를 어떻게 찾는지 그거를 이따 뒤에서 볼 거예요 자 우선요 우리 여기 예시는 우리가 지금 계속 하고 있는 예시이기 때문에 같은 내용입니다 12와 18의 최대공약수는 6이어서 12와 18의 공약수는 6의 약수인 1236과 같다라고 되어 있습니다자 서로 손은 무엇이냐 서로소는요 제대공약수가 1인 자연수를 말해요 최대공약수가 1인 두 자연수를 서로소라고 하는 거예요 예를 들어서 5와 8이 있어요 자 5는요 5랑 8이 있는데 5의 약수는 뭐뭐가 있어요 1하고 5가 있죠 8의 약수는 뭐가 있어요 1 2 4 8이 있죠 자 그러면 지금 5와 8의 공약수를 찾아보면 1밖에 없습니다 1밖에 그래서 최대공약수가 1이죠 이렇게 최대공약수가 1인 두 자연수를 우리는 서로소라고 하는 거예요 5와 8은 서로소입니다 자 서로 다른 두 소수는 항상 서로소이다라고도 나와 있죠 자 예를 들어서 우리 2와 7은요둘 다 소수죠 소수인데 소수는 약수가 1과 자기 자신밖에 없어요 그렇기 때문에 최대공약수도 우리 1로 나올 수밖에 없어서 우리 이렇게 서로 다른 두 소수는 항상 서로소인 겁니다 자 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요 자 그래서 우리가이 최대공약수 구하는 방법을 배워 볼 건데 우리 첫 번째로 소인수분해를 이용하는 방법을 보도록 하겠습니다 자 18을 소인수분해라면요 2 곱하기 3의 제곱이구요 우리 42를 소인수분해하면 2 곱하기 3 곱하기 7이에요 자 최대공약수라는 거는 우리 18의 약수면서 42의 약수인 거기 때문에 우리 최대공약수를 찾으려면 우리 약수들 중에 공통인 걸 찾아 줘야 돼요 그래서 여기 지금 지금 소인수분해한 걸 보면이가 어때요둘이 똑같이 하나씩 들어가 있죠 그러면 최대공약수에도 2가 똑같이 하나 들어갈 수가 있고요 3은 18회는 2개 들어가 있고 42에는 하나가 들어가 있어요 그러면 최대공약수에는 하나가 들어가는 겁니다 두 개의 공통으로 들어가 있는 걸 찾는 거기 때문에 하나가 두 개 있고 하나가 한결 가지고 있으면 우리는 작은 걸 골라 주는 거예요 작은 걸 그래서 3까지 들어갔고 자 7은 7은 42에만 들어있죠 자 얘는 18을 나눌 수 없기 때문에 우리가 공약수에는 7을 넣으면 안 됩니다 그래서 우리 적은 걸 공통인걸 찾아서 요렇게 최대공약수를 찾아낼 수가 있어요 자 우리 아까 했던 아까 했던 12와 18의 최대공약수도 한번 찾아볼게요 우리 11을 소인수분해를 해주면 2의 제곱 곱하기 3이고요2 곱하기 3의 제곱입니다 자 그래서일 때 우리가 여기서 최대공약수를 찾으려면 공통으로 들어가 있는 적게 들어가 있는 걸 골라야 된다 그랬어요 2가 두 개 2가 하나면 2는 하나여야 되고요 3이 하나 3이 두 개면 3도 하나여야겠네요 따라서 최대 공약수는 6이다라고 구할 수가 있는 거예요 자 교재 내용 보면 각수를 소인수분해하여서 조인수의 거듭제곱에서 지수가 작거나 같은 것을 택하여 곱해주면 최대공약수를 구할 수 있다 나와 있죠 자 방법 2번 볼 거구요 공약수로 나누어 구하는 방법인데 우리가 28과 42를 연달아 나눠주는 겁니다 자 연달아 나눠주는데 지금 우선 2로 나눠지죠 2로 나눠져서 9와 21이 되고요이 9와 21은둘 다 3으로 나누어지니까 3으로 나누는 겁니다 그러면 3과 12 되겠죠 자 이때 우리가 나눌 수 있었던 숫자들 2와 3을 곱해서 최대공약수를 구해주는 겁니다 우리가 소인수분해하는 방법하고 조금 비슷하죠 자 여기 나눠주는 숫자는 18하고 42를 둘 다 나눌 수 있는 숫자로 계속 나눠 주는 겁니다 자 교재 내용 보면 1 2회의 공약수로 각수를 나눈다 그래서 공약수가 없을 때까지 공약수가 없을 때까지 공약수로 계속 나누는 거고요 공약수가 없다는 것은 우리가 뭐예요서 하는 거겠죠 이외의 공약수를 말하는 겁니다 1로 나누는 건 의미가 없기 때문에 자 나누어 준 공약수를 모두 곱해서 최대 공약수를 닫아주면 되는 거예요 자 밑에 있는 개념 예제 한번 볼 거고요 1번 보면 75와 90의 최대공약수를 구하래요 제가 방법 1로 할게요 75를 소인수분해해주면 3 곱하기5의 제곱으로 나오고요 90의 소인수분해 해주면 요거는 2 곱하기 3의 제곱 곱하기 5라고 나와요 자 최대공약수를 찾을 때는 지수가 작거나 같은 것을 곱해야 되고요 2는 여기에만 있으니까 골라주면 안 되고 3이 여기 한 개 여기 두 개 있으니까 3 하나 골라주고 5가 두 개 5가 하나 있으니까 5도 하나 골라 줘야 되겠네요 따라서 15가 최대 공약수입니다 요게 최대공약수에요 자 이번엔 2번 해볼 건데 63과 84와 147의 최대공약수를 구하래요 자 요것도 마찬가지로 우리가 첫 번째 방법 조인수분해를 이용하여 한번 최대공약수를 찾아볼 거고요 63은 3의 제곱 곱하기 7이고 84는 요거는 2의 제곱 곱하기 3 곱하기 7입니다 자 147은 숫자가 조금크니까 제가 여기 오른쪽 위에다가 한번 소인수분해를 해볼게요 자 얘는 3으로 나눠 떨어지고요 3 42 39 27로 나눠서 7이니까 3 곱하기 7의 제곱으로 소인수분해가 됩니다 자 그러면 우리가 최대공약수를 찾을 때는 지수가 작거나 같은 것을 곱한다 했어요 2는 여기에만 있으니까 고르면 안 되고요 3위 2개 321 321 가장 작은 점 하나를 골라주면 되고요 7이 하나 시리 한 개 CD 두 개 그럼 지를도 하나만 골라주면 되겠네요 따라서 최대공약수는 21이라고 구할 수가 있어요 자 넘어가 볼게요 자 최대공약수의 활용인데요 우리 최대공약수를 활용하여 푸는 문제들이 있어요 자 여기 예시 세 가지가 있는데 첫 번째는 일정한 양을 되도록 많은 사람에게 나눠주는 문제 두 번째는 직사각형을 가장 큰 정사각형 또는가장 적은 수의 정사각형으로 빈틈없이 채우는 문제에 세 번째는 몇 개의 자연수를 모두 나누어 떨어지게 하는 가장 큰 자연수를 구하는 문제입니다 자 우리가 이렇게 세 가지 문제를 개념 예제랑 필수 예제를 통해서 모두 풀어볼 거고요 우리 이런 문제들은 공통적으로 되도록 많은 가장 큰 최대한 등의 표현이 있어요 이런 표현이 있는 경우에 대부분 최대공약수를 이용한다라고 되어 있는데 우리가 이런 문제는 최대공약수를 이용해야 되는구나라고 외우기보다는 왜 최대공약수를 구해야 되는지 이해하는데 초점을 맞춰서이 수업을 들으시기 바랍니다 자 그러면 하나씩 풀어 보도록 할게요 자 첫 번째 개념 예제구요 사과 24개와 배의 30개를 되도록 많은 학생에게 나누어 준대요 자 그러면 우리가 24개랑 30개를 나누어 주는데 학생수가 똑같아요학생수가 만약에 2명이면요 두 명이면 사과를 12개씩 그리고 배를 15개씩 가져가겠죠 2로 나눠주면 되니까요 학생 3명이 나눠 가질 수도 있습니다 3명이 나눠 가지면 사과는 8개씩 가져갈 거고요 그리고 배는 10개씩 가져갈 거예요 자 그런데 우리 학생 4명이 요거를 가져갈 수 있을까요 사과는 6개씩 가져가면 되는데 우리 30 제가 30개 있는데이 30을 4로 나눌 수 없기 때문에 똑같이 나눠 가질 수가 없는 겁니다 그래서 우리가이 학생 수로 가능한 것들은 바로 24와 30의 공약수에서만 가능한 거고요 우리가 구하는 건 많은 학생에게 나누어 주는거니까이 공약수 중 가장 큰 최대 공약수를 찾는 문제가 되는 거예요 그래서 24와 30의 최대공약수를 구해 줄 거고요 24는 2의 3제곱 곱하기 3이고 30은 2 곱하기 3 곱하기 5니까 우리 최대공약수는 2가 1개 3위 한 개에서 6이라고 나오네요 자 따라서 6명한테 나눠주는게 바로 가장 많은 학생에게 똑같이 나누어 주는 거고요 만약에 6명한테 나눠주면 우리가 사과는 4개씩 가져가고요 배는 5개씩 가져가는 것까지 추가로 알고 있으면 됩니다 자이 문제의 답은 6명이에요 6명 자 넘어갈게요 자 필수 예제 볼 거고요 x와 y의 최대의 공약수가 10이래요 자 xy의 최대공약수가 10이면 우리 공약수는 어떻게 구해요최대공약수의 약수들이 공약수입니다 그래서 최대공약수 10의 약수는요 1 2 5 10이죠 따라서 공약수는 1 2 5 10입니다 자 쉽게 나오죠 자 두 번째 필수 예지 볼 거구요 가로의 길이가 90 세로의 길이가 108 높이가 144인 직육면체 모양의 나무토막을 같은 크기의 정육면체로 남김없이 쪼갠대요 자 그러면 제가 요렇게 좀 그려 볼게요 가로 세로 높이 이렇게 된 지금 직육면체가 있는데 요거를 정육면체로 쪼개는 거예요 자 그러면 정육면체는 가로 세로 높이가 모두 똑같기 때문에 요렇게 쪼개고 요렇게 쪼개는데이렇게 쪼개는데 지금 가로 길이가 90이고 세로 길이가 108이에요 자 나무도막의 나무도막 우리가 이제 정육면체의 한 변의 길이가 여기 한 변의 길이가 21 수 있을까요 20은 안 되죠 우리가 가로로 90을 채워야 되는 거기 때문에 20으로는 90을 나눌 수가 없어서 90을 나눴을 때 나누어 떨어지지 않아서이 정육면체의 한명 길이로 20을 쓸 수가 없어요 그러면 한 변 길이로 쓸 수 있는 건 뭐예요 90을 나눴을 때 나눠 떨어지는 90의 약수들만 가능한 겁니다 자 그러면 세로를 채운다고 했을 때도 한 변 길이는 108의 약수들만 가능하고요 우리요 높이가 144인데 우리 요거 위로도 채울 거니까 위로도 요렇게 채울 거니까 이 위로 채울 때 정육면체 한 병 길이는 마찬가지로 144의약수여야 하는 거예요 그런데 우리는 우리가이 같은 모양의 정육면체로 쪼개기 때문에 90과 108과 144의 공약수로만 정육면체 한 변 길이를 정할 수가 있고요 우리가 지금 가장 큰 정육면체를 구한다고 했으니까 가장 큰 정육면체라고 하면 요게 한 변 길이가 가장 큰 거죠 한 변 길이가 크다는 거는 우리가이 공약수 중에서 뭘 구르는 거예요 최대공약수를 골라 주는 겁니다 최대 공약수 자 그래서 우리는 90과 108과 144의 최대공약수를 찾는 거고요 90은 2 곱하기 3의 제곱 곱하기 5고 108은 우리가 소인수분해를 해주면 108은 제가 따로 계산을 해 볼게요 2로 나누면 54 2로 나누면 27 3으로 나누면 9 3으로 나누면 32의 제곱 곱하기 3의 3제곱이에요 자 144도 우리가 소인수분해를 해 줄 거고요 144는 2의 72 2의 36 2의 18 2의 9 3 1 3 2의 네제곱 곱하기 3의 제곱입니다 자 그래서 최대공약수를 고해주면 2가 가장 적은 한 개구요 3은 가장 적은게 몇 개예요 두 개네요 5는 여기밖에 없으니까 우리 최대공약수는 18이라고 찾을 수가 있습니다 따라서 우리가 가장 큰 정육면체 모양으로 쪼갤 때 그 정육면체의 한 병 길이는 18이에요 답은 18입니다 자 우리가 2로도 쪼갤 수 있어요 조금 더 보충 설명을 하자면 요게 한면 길이가 9고 반면 길이 108 한명 길이 144면 2로 한면 길이가 2인 정육면체로 쪼갤 수가있습니다 근데 우리가 가장 큰 정육면체 모양을 찾는 거니까 우리가 최대공약수를 찾아 준 거예요 자 그리고 어떤 문제가 나오기도 하냐면이 정육면체가 몇 개로 쪼개지냐라고 물어볼 때도 있는데 한면 길이가 18이면요 우리 이쪽으로는 이쪽으로는 몇 개 채울 수 있어요 90을 18로 나눠서 우리 여기 5개 들어간다고 찾을 수 있고요 108의 18로 나누면 108의 18로 나누면 6이 나오니까 여기는 6개 채울 수 있는 거고 여기 144를 144를 18로 나눠주면 여기는 8이 나옵니다 따라서 정육면체가 8개 들어가는 거예요 그래서 5 곱하기 6 곱하기 8로 정육면체 개수도 찾을 수가 있는 겁니다 정육면체 240개 자 여기까지 이해하셨으면 됐고요 자 오늘 배울 내용은 여기까지고 우리가이 최대공약수는요 뒤에서 배울 최소공배수하고조금 헷갈리기 때문에 복습을 정말 철저하게 하고 그 다음 강의를 들으시기 바랍니다 자 오늘 수업 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]