[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 소인수분해 - 최소공배수

수학대왕 [음악] 자 오늘 배울 단어는 최소공배수입니다 우리가 지난 시간에 최대공약수에 관해서 배웠는데 오늘은 최소공배수에 관해서 배워 볼 거예요 자 우선 공배수가 무엇인지 볼 건데요 공배수가 지금 뭐라고 되어 있냐면 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수라고 적혀 있습니다 제가 예시를 들 건데 숫자 6과 숫자 9의 배수들을 한번 쭉 써볼게요 자 6위 배수들은요 6의 배수들은 뭐 뭐 있어요 육아고 12하고 18하고 24 몇 개 더 적어보겠습니다 36 42 이렇게 가죠 자 9의 배수들도 한번 제가 적어 볼게요 9의 배수는9 18 27 36 45 자 그리고 54 요정도만 적어 볼게요 자 공배수라고 하는 것은 두 개 이상의 자연수에서 공통인 배수를 말합니다 즉 6과 9의 공배수라 그러면 6의 배수면서 9의 배수인 걸 말하는 거고요 우리가 지금 배수들을 쭉 나열을 했을 때 6의 배수면서 9의 배수인 숫자를 찾아보면 여기 18이 6의 배수면서 9의 배수인 숫자죠 자 여기 36도 있네요 36도 있고 이렇게 우리가 공배수 18과 36을 찾아낼 수가 있습니다 자 그 중에서 우리가 최소공배수라고 하는 거는 공배수 중에서 가장 작은 것을 말하고요 가장 작은 것이니까 우리 여기서는 최소공배수가 바로 18이 최소공배수가 되겠네요 요게최소공배수입니다 최소공배수 자 최소공배수의 성질에는 어떤 것이 있냐면 우리 두 개 이상의 자연수의 공배수는요 공배수는 최소공배수의 배수예요 그럼 우리가 만약에 공배수를 찾아야 된다 그러면 계속 공배수를 찾아서 최소공배수의 배수를 찾아주면 되겠죠 자 여기도 실제로 최소공배수가 18이니까 18의 매수인 36 54 요런 숫자들이 바로 공배수가 되는 거고요 우리가 아까 나열하면서 찾았던 2 36도 공배수로 들어가 있죠 자 요렇게 최소공배수의 배수가 공배수다 요거 알고 있으면 됩니다 자 서로소인 두 자연수의 최소공배수는 두 자연수의 곱과 같다라고 되어 있어요 예를 들어서 서로소인 두자연수 4와 5의 공배 최소공배수를 한번 찾아볼 건데요 우리 여기다가 배수들을 쭉나열을 해줄게요 4의 배수 4 8 12 16 20 24구요 오늘 15 20 25 이런 숫자들입니다 가장 처음에 나오는 공배수 어딨어요 22죠 자 최소공배수가 20입니다 그런데 우리 최소공배수가 뭐라는 거를 찾을 수 있어요 우리 서로소인 두 후 4와 5의 곱으로 찾아낼 수 있다는 것을 찾을 수 있죠 자 이렇게 서로소인 두 자연수의 최소공배수는 두 자 국과 같습니다 자 밑에 있는 예시는 제가 설명하면서 다 사용한 예시고요 유가구의 최소공배수는 18이고 그렇기 때문에 6과 9의 공배수는 18의 배수인 18 36 54 요렇게 되는 숫자들입니다 4와 5는 서로소이기 때문에 서로 소일 때이 두 자연수의 최소공배수는 몇이라구요 4와 5의 곱과 같은20입니다 자 이번엔 최소공배수 구하는 것을 직접 해볼 건데요 첫 번째 방법은 우리가 소인수분해를 이용하는 방법입니다 자 소인수분해를 이용하는 방법인데요 우리가 지금 예시로 18과 28과 42가 있어요 그러면 각각 소인수분해를 해주는 겁니다 18의 소위 수분해해주면 2 곱하기 3의 제곱이고요 28은 소인수분해하면 2의 제곱 곱하기 7이고 42를 소인수분해해주면 2 곱하기 3 곱하기 7입니다 자 이때요 우리가 최소공배수를 찾기 위해서는 어떻게 구한데요 공통이 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱한대요 자 이때 지수는 자 우리 최대공약수구 할 때는 지수가 작거나 같은 걸 골랐죠 우리 최소공배수를 구할 때는 크거나 같은 것을 골라 주는 거예요 지수가 크거나 같은 것을 골라요 자 2가 지금 보면 한 개 두 개 한 개 있죠 자 이때 우리 최소공배수를구하려면 많은 걸 골라 줘야 됩니다 자이가 많은 이의 제곱을 골라주고요 3은 두 개 한 개니까 3의 제곱을 골라주고요 여기는 7이 똑같이 하나씩 있죠 여기 7이 없지만 그래도 골라 주는 겁니다 우리는 그거나 같은 걸 골라 주는 거기 때문에 없는 거를 신경 쓰지 않고 있는 것 중에서 제일 많은 거 여기는 같으니까 그냥 7을 그대로 골라주면 되겠죠 따라서 최소공배수는 252라고 구할 수가 있어요 자 두 번째 방법은 공약수로 나누어 구하는 방법인데 자 18 28 42가 있을 때 우리 18과 28과 42에 공약수로 하나씩 나눠주는 겁니다 자 우선이 세 개가 모두 2로 나누어지니까 2로 나눠주고요 2로 나누면 9 14 21이 되죠 자 이때 우리가 최대공약수 구할 때와 다른 점은 뭐냐면 우리는 세수의 공약수가 없으면 최소공배수를구할 때는 부소의 공약수로 나누어 줍니다 자 그냥 두 개만 나눠줘도 두 개만 나눠 주는 거예요 공약수가 없는 수는 그대로 내려요 자 지금 여기서 9랑 14랑 21이 있는데 14랑 21이 7로 나눠지지만 9는 나눠 떨어지지 않죠 하지만 실로 나눠주는 겁니다 9는 그대로 오고요 2랑 3이 남습니다 자 이번엔 3호로 나눠주면 3이 되고 2가 되고 1이 되죠 자 이때 어떤 애들을 곱해주냐이 오른쪽에 있는 애들과 밑에 있는 숫자들을 모두 곱하면 최소 공배수가 나오는 겁니다 자 요렇게 우리 최대공약수 구하는 거랑 최소공배수 구하는 거랑 차이점이 무엇인지 명확하게 알고 있어야 됩니다 자 그러면 넘어가 볼게요 자 두 수 12와 30의 최소공배수를 구하라고 했고요 우리 모두 첫 번째 방법으로 구해 볼 겁니다 11월 소인수분해해주면 2의 제곱 곱하기3이고요 30을 소인수분해해주면 2 곱하기 3 곱하기 5예요 자 최소공배수는 우리 크거나 같은 거 고르죠 2가 두 개 한 개니까 두 개를 골라주고요 3위 모두 하나씩 있네요 그러면 3 골라주고 5는 여기 없지만 여기 있으니까 5도 골라 줘야 됩니다 따라서 계산을 해주면 4x3 곱하기 5니까 우리가 요거를 60이라고 최소공배수를 구할 수가 있는 거예요 자 두 번째 방법도 해볼 거구요 우리 11회 소인수분해하면 2의 제곱 곱하기 3이고 15를 소인수분해해주면 3 곱하기 5구요 24를 소인수분해 해주면 2의 3제곱 곱하기 3입니다 자 이때 2의 제곱과 2의 3제곱 중에서 우리 2의 3제곱 골라주고요 모두 3이네요 그러면 3을 그대로 골라주고 5는 하나밖에 없지만골라 줘야 됩니다 따라서 우리 최소공배수는 8 곱하기 3 곱하기 5와 같구요 발사믹 24니까 120이라고 최소공배수를 구할 수가 있습니다 자 이번엔 최소공배수의 활용인데요 우리 최소공배수를 활용한 문제의 예시로는 속력이 다른 두물체가 동시에 출발하여 다시 만나는 지점을 묻는 문제에 직육면체를 싹 가장 작은 정육면체를 만드는 문제 몇 개의 자연수로 모두 나누어 떨어지는 가장 작은 자연수를 구하는 문제 등이 이제 최소공배수를 활용한 문제의 예시고요 자 우리가 이런 문제는 되도록 적은 가장 작은 최소한 다시 만나는 등의 표현이 있는 경우가 많습니다 그래서 우리가 이런 표현이 있는 경우에는 최소공배수를 이용할 수도 있다라고 힌트를 얻는다 생각을 하면 되고요 우리가 문제를 풀 때이 세 가지 경우에 관한문제를 풀면서 이게 왜 최소공배수를 이용해서 문제를 풀어야 되는지 이해를 해야 돼요 안 그러면 우리가 외우는 유형을 외우는 방법으로 밖에 안 되기 때문에 그렇게 공부하지 마시고 우리가 문제를 풀면서 왜 최소공배수를 써야 되는지 특히 최대공약수와 구분을 잘해야겠죠 그거를 이해하면서 연습을 해주시기 바랍니다 자 우리 뒤에 문제 몇 개 풀면서 연습하기로 하고요 우선 우리 3번 볼게요 자 최대공약수와 최소공배수의 관계인데요 자 우리가 만약에 a라는 숫자와 b라는 숫자가 있어서 우리 최대공약수와 최소공배수를 구한다고 생각을 하면 계속 공약수로 나눠주죠 나눠주다가 여기에 a와 b가 됐다고 합시다 더 이상 안 나눠지는 상태고요 더 이상 안 나눠지는 상태에서는요 숫자들이 뭐예요 서로소인 거죠 그래서 ab는 일단 서로소예요 a랑 b는서로소고 우리가 최대공약수는 여기 오른쪽에 왼쪽에 왼쪽에 있는 숫자들을 모두 곱해서 최대공약수라고 하죠 자 우리가이 최대 공약수를 g라고 할 겁니다 최대공약수 g라고 할 거고요 그러면요 a라는 애는 요만큼 최대공약수로 나눠서 a가 된 거죠 따라서 우리가 요렇게 식을 쓸 수가 있어요 a는 g에다가 a를 곱한다 자 마찬가지로 b에다가도 어떤 식을 쓸 수 있냐 g에다가 소문자 b를 곱하면요 대문자 b가 된다 우리 이렇게 쓸 수가 있습니다 제가 예시로 하나를 해볼게요 18과 24라고 하면요 2로 나눠서 9 12 3으로 나눠서 3 4 5 더 이상 안 나눠지는 3과 4는 저로수죠 자 KD 공약수는 몇이에요 6이네요그러면 우리요 6과 6과 3을 곱하면 18이 나오는 거구요 6과 4를 곱하면 24가 나오는 겁니다 자 요런식이 일단 성립을 해요 자 그리고 우리가 최소공배수는요 요만큼을 다 곱하죠 최소공배수는 여기부터 여기까지 다 곱합니다 얘가 요만큼이 요만큼이 최소공배수예요 우리 최소공배수를 뭐라고 할 거냐면 l이라고 할 겁니다 자 그랬을 때 뭐가 성립하냐면 a b는 a 곱하기 b는 g 곱하기 l이라는요 관계가 성립을 해요 자 우리 위에서요 예시에서 한번 볼게요 18 곱하기 24가 우리 최대공약수 6에다가 최소공배수 제소공배수 요거 다 곱하면 몇이에요 2 곱하기3 곱하기 3 곱하기 4니까 여기 18 72네요 72와의 곱이 같은지 한번 계산을 해 볼게요 우리 18 곱하기 24는요 8432 192 24 그러면 432라고 나오고요 6 곱하기 72도 계산해주면 432가 나와요 자 똑같이 나오죠 일단은요 관계가 성립하는 거고요 왜냐하면 우리가 요거를 바꿀 수가 있어요 우리 최소공배수 l은요 최소공배수 l은 최대공약수에다가 a와 b를 곱한 거와 같죠요 최대공약수 g에다가 요거랑 요거를 곱해야 최소공배수가 나오니까 이런 관계가 성립을 하기 때문에 요거를 이용해서 우리가 g 곱하기g 곱하기 a 곱하기 b라고 하면 여기 써 있는 ga가 a와 같고요 여기 써 있는 g와 b가 b와 같기 때문에 우리요 관계가 성립한다고 볼 수가 있는 겁니다 자 따라서 우리가 정리된 내용을 한번 다시 볼게요 두 자연수 ab의 최대공약수가지고 계속 공배수가 l이면요 일단 이렇게 우리 a와 b를 이런 식으로 최대공약수와 a의 곱 최대공약수와 b의곱으로 표현할 수 있고요 최소공배수 l은 g 곱하기 a 곱하기 b고 그리고 a 곱하기 b는 a 곱하기 g라고 표현할 수가 있습니다 자 우리요 3번 내용 꼭 알아두시기 바랍니다이 공식처럼 외우고 있어야 돼요 자 그러면 개념 예제 한번 보도록 하겠습니다 a는 16분 간격으로 출발하고요 자 검은색으로 쓸게요a는 16분 간격으로 출발을 하고 b는 8분 간격으로 출발을 하고 c는 20분 간격으로 출발을 하는데 오전 10시에 동시에 출발했대요 자 그러면 a가 출발하는 건요 16분 후 32분 후 48분 후 64분음 요렇게 돼 있고요 b가 출발하는 시간은 8분 후 16분 후 24분 후 32분 후 자 c는 20분 40분 60분이겠죠 자 처음으로 동시에 출발하는 시간은 우리가요 뭘 찾는 거겠어요이 세 개의 3개의 숫자가 같아지는 걸 찾는 거니까 공 배수를 찾는 겁니다 공배수 근데 처음으로 출발하는 거니까 최소공배수를 찾는 거겠죠 따라서 16과 8과 20의 최소공배수를 찾는 문제구요 우리 16은 소인수분해해주면 2의 네제곱이고다른 2의 3제곱요 [음악] 20은 20은 2의 제곱 곱하기 5예요 따라서 최소공배수를 찾아주면 이에네 제곱 곱하기 5여서 80입니다 따라서 80분 후에 다시 처음으로 동시에 출발하는 거구요 10시로부터 80분 후니까 우리 11시 오전 11시 20분에 다시 출발한다고 할 수가 있겠네요 답은 오전 11시 20분입니다 자 우리 필수 예제 한번 보도록 하겠습니다 10과 15의 어느 수로 나누어도 나머지가 4인 자연수 중에서 300이 가장 가까운 수를 찾는 건데 우선요 10과 10으로 어느 수로 나누어도 나머지가 4인 자연수를 좀 먼저 찾아볼 거예요 자 10으로 나눴는데 나머지가 4일려면 어떻게 해야 되냐 자 10은요 10으로 나눴을 때 나머지가 없죠 나누어 떨어져요 그런데 우리가 여기다가4를 그대로 더해주면 얘가 바로 나머지로 나오는 겁니다 14를 4로 나누면 나머지 뭐 나와요 4 나오죠 자 그럼 이번엔 무료 10의 배수인 20에다가 4를 더해도 24니까 나머지가 4로 나오고요 30에다가 4를 더해서 34를 만들고 10으로 나눠도 나머지가 4라고 나오는 겁니다 자 이런 식으로 우리가 나누어 떨어지는 후에 4를 더해주면 나머지가 4로 나와요 근데 우리가 지금 찾는 건 10과 15의 어느 수로 나누어도 나머지가 4이기 때문에 우선 뭘 찾아야 되냐 10과 15의 공배수를 찾아야 되고요이 공배수는 나누어 떨어지기 때문에 20과 15의 공배수는 15로도 나누어 떨어지고 15로도 나누어 떨어지기 때문에 여기다가 4를 그대로 더해주면 나머지가4인 자연수가 나오는 거예요 자 그러면 우리가 10과 15의 공배수를 찾기 위해서는 뭘 찾아야 돼요 제소공배수를 찾아 줘야 되죠 자 10과 15의 최소공배수를 찾기 위해 소인수분해를 할 겁니다 집은 2 곱하기 5구요 15는 3 곱하기 5니까 최소공배수는 2 곱하기 3 곱하기 5 즉 30이라고 나옵니다 자 최소공배수가 30이기 때문에 우리는 30에다가 4를 더한 34가 10으로 나눠도 15로 나눠도 둘 다 나머지가 4인수예요 자 그러면 60에다 4를 더해도 마찬가지로 10으로 나눠도 15로도 나눠도 나머지 강상 4로 나오겠죠 자 우리가 찾는 300의 가장 가까운 수는요 300에다가 4를 더한 34개네요 우리 300도 30의 배수니까 이렇게잡아낼 수가 있습니다 답은 304예요 자 두 번째 필수 예제 한번 볼 거구요 두 자연수 84와 x의 최대공약수가 14고 최소공배수가 421이에요 자연수 x의 값을 구하는 문제구요 자 우리 요런식이 성립한다 그랬어요 두 자연수 a와 b의 곱은 그 두 자연수에 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다라고 했습니다 자 그러면 84 곱하기 x는 14 곱하기 420과 같아요 자 우선 14랑 420을 곱해 볼 거고요 420과 14를 곱하면 요렇게 5,880이라고 나옵니다 그러면 84에다가 뭔가를 곱해서 5,880이 나온 거면 우리 요거는 어떻게 구할 수 있겠어요5,880을 거꾸로 84로 나눠주면 되겠죠 자 그러면 요거를 계산을 해 줄 거고요 5.880 / 84를 하기 위해서 우리 84에다가 7을 한번 곱해주면요 7 8에 56 588이 나와서 조기가 7입니다 그러면 여기는 0이니까 70이 나오겠네요 자 따라서 우리 자연수 x는 70이라고 찾아낼 수가 있습니다 자 여기까지 해서 우리가 최소공배수에 관한 내용 모두 마쳤고요이 최대공약수와 비슷한 내용이 많으니까 두 개를 잘 구분 지으면서 확실하게 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다 [음악]