[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 정수와 유리수 - 정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈

자 오늘 배울 단어는 정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈입니다 자 우리 덧셈 뺄셈 하는 거 배울 건데요 우리가 뭐를 신경을 써야 되냐 부호를 신경을 써야 됩니다 우리가이 음수라는 것을 배웠기 때문에이 음수의 경우에는 덧셈 뺄셈을 어떻게 하는지 그거를 좀 신경 쓰면서 배워보도록 할게요

자 우선 요 부호가 같은 부수의 덧셈이에요 지금 3분의 2와 3분의 1의 덧셈이 예시로 나와 있는데 제가 조금 더 쉬운 숫자로 해볼게요 자 플러스 2와 + 4를 더한다고 해볼게요 그러면 요거를 계산하기 위해 수직선을 좀 예시로 들면요 +2는 원점으로부터 거리가 2인소이죠 여기가 2예요자 그럼 우리는 여기에다가 플러스 4만큼 더해주는 겁니다 그러면 플러스 4만큼 요렇게 가주면 되겠죠 그래서 숫자가 몇으로 나오는 거예요 6으로 나오는 거예요 그래서 얘는 플러스 6으로 계산이 되고요 만약에 만약에 -2와 -4를 더하면 지금 음수 부호가 음수인 애를 더해주면 우리가 어떻게 계산을 해줘야 되냐면 일단 -2는요 여기 원점으로부터 이만큼 뒤로가 내죠 근데 마이너스 4를 더해주는 거니까 -4면 요렇게 뒤로 사막 흉가는 애예요 그래서 -6이 되는 겁니다 왜냐하면 여기서부터 여기까지 길이가 4야 되니까 우리는 뒤로 4만큼 가는 거라서 -2에다가 마이너스 6을 얻어낼 수가 있는 거예요 자 그러면 우리가 숫자를 어떻게 계산을 해주는 것이 좋냐이 부호가 같은 숫자 2개를 더할 때는요 우리가 부호가 어차피 마이너스로 나오는 것이고 여기 안에 들어가 있는이랑 값인 3분의 2와- 3분의 1의 절댓값인 3분의 1을 더해서 마이너스를 붙여주는 겁니다 요거 두 개 더하면 플러스 1이라고 나오고요 우리 더한 플러스 1에다가요 마이너스를 붙여서 -1이라고 써주면 되는 거예요 자 부호가 다른 두 수의 덧셈은요 부호가 만약에 다르면 우리가 어떤 걸 신경을 써 줘야 되냐 절댓값이 큰게 무엇이냐 그거를 찾아야 됩니다 자 - 3분의 1에다가 지금 플러스 3분의 4를 더할 건데 우리는 절댓값만 비교를 하는 거예요 3분의 1이 커요 3분의 4가 커요 3분의 4가 크죠 얘가 크니까 플러스 붙은 애가 더 커서 플러스라고 결과가 나오는 거예요 플러스라고 계산 결과가 나오고 절대값의 차를 계산합니다 부호가 다를때는 큰애에서 작은 애를 빼주는 거예요 3분의 4가 더 크니까 3분의 1을 빼줍니다 그러면 3분의 4 - 3분의 1이 3분의 3이라 1로 나오기 때문에 우리 부호는 플러스 숫자는 1 그래서 플러스 1이라고 나오는 거예요 자 뭘 먼저 따진다고요이 플러스 3분의 1과 - 3분의 4를 더할 때는 둘 중에 누가 큰지 3분의 1과 - 3분의 사이 절댓값인 3분의 4 중에 누가 큰지 따지는 거예요 이번엔 누가 커요 3분의 4가 크죠 자 3분의 4가 큰데 음수의 절댓값이 더 컸으니까 계산하면 음수로 나와야 되고요 음수로 나와야 되고 차를 3분의 4 빼기 3분의 1로 계산해 주면 됩니다 근거해서 작은 거를 빼서 차를 계산해 주는 거예요그러면 요거는 3분의 4 1이 나와서이 마이너스 부호를 달고 -1이라고 나오는 겁니다 자 지금 절댓값 큰 수의 부호를 따르는 거예요 자 왜냐하면 만약에 -1에다가 + 3을 더하면요 -1이라고 하면 원점으로부터 요렇게 -1을 찾을 수가 있고요 여기다가 3을 더한다는 것은 반대 방향으로 세 칸 가야 되죠 그런데 얘가 크기가 더 크니까 이렇게 최종적으로 양수가 나오는 거예요 여기가 3을 갔으니까 2라고 나오겠죠 자 또한 만약에 -4에다가 + 2를 더하면 우리 음수의 절댓값이 지금 더 크죠 원점으로부터 거리가 4인 이렇게 마이너스 4를 고를 수가 있는데 여기다가 2를 더해도 오른쪽으로 두 칸 가도 우리가 음수로 나오는 겁니다자 그래서 절댓값을 비교를 해서 절대값이 큰 애의 부호를 따른다 큰의 부호가 나온다 그리고 큰 회에서 작은 애를 빼서 절대값의 차를 계산해서 우리가 계산을 해주면 됩니다 자 덧셈을 계산할 때는요 우리가 덧셈의 교환 법칙이 성립을 하는데요 교환 법칙은 뭐냐면 순서가 바뀌어도 똑같은 거예요 예를 들어 우리가 위에서 계산한 마이너스 3분의 1과 플러스 3분의 4를 더하는 것은 플러스 3분의 4에다가 마이너스 3분의 1을 더한 것과 같다라는 의미에요 자 이렇게 순서 바꿔서 계산해도 상관없고요 자 덧셈의 결합법칙은 뭐냐면 우리가 세 개를 더할 때 즉 a+b+c를 할 때 앞에서부터 계산하라 뒤에 두 개를 먼저 계산하나 똑같다 요겁니다

자 예를 들어서 1 + 2 + 3에서 우리는 원래1+1을 먼저 계산을 해주면 3 + 3이라 6이라고 나오죠 근데 요렇게 계산하나 1+2+3에서 [박수] 뒤에 있는 1항 3의 괄호를 쳐서 2 + 3을 먼저 계산하나 똑같은 결과가 나온다는게 바로 결합법칙입니다 자 우리 두 가지 법칙 두 가지 법칙 꼭 기억하시기 바랍니다 자 우리 개념 예제 볼 건데 다음을 계산하시오라고 되어 있어요 자 1번 먼저 보면 지금 -2 + -5가 같은 애를 더하고 있죠 그리고 음수 2개를 더하고 있어요 그런 경우에는 우리 음수 보호를 먼저 쓰고요 절대 값끼리 더해주면 되겠죠 자 2 + 1/5를 계산하려면 뭐 해 줘야 돼요 통분해 줘야 됩니다 자 5로 통분을 하면요 마이너스 5분의 12라고계산이 되죠 이렇게 답을 써 주면 됩니다 자 2번 보면요 -2분의 5 + + 1/5 + +1/15 +1/15인데 우리 앞에서부터 계산을 좀 할게요 자 앞에서부터 계산을 좀 해 줄 건데 부호가 다르네요 부호가 다르면 절대값 중 누가 큰지 찾아야 돼요 -2분의 5의 절제 값은 2분의 5구요 5분의 3의 절댓값은 5분의 3인데 자 크기를 비교하려고 했더니 분모가 달라서 통분까지 해야겠네요 그러면 10으로 통분을 해주면 10분의 25라 10분의 유기적 누가 커요 얘가 크죠 얘가 큰 겁니다 자 즉 음수의 절댓값이 크니까 음수의 절댓값이 크니까 마이너스 부호로 결과가 나올 거고요 여기는큰 거에서 작은 거를 뺀 큰 거에서 작은 거를 뺀 2분의 5 - 5분의 3을 계산을 해줘야겠네요 그러면 우리 요거 계산할 때는 통분해 줘야 되고요 10분의 25 빼기 10분의 6으로 계산을 해주면 됩니다 자 뒤에 우리 플러스 15분의 1도 써 놓을게요

자 그러면 10분의 25 - 10분의 6이면 - 10분의 19고요 우리 마이너스 10분의 19에다가 15분의 1을 더할 거예요 자 이번에도 플러스 하나 마이너스 하나니까 절댓값으로 크기를 비교를 해줘야 되고요 우리 마이너스 10분의 19에 절대 오늘은 10분에 19고 15분의 1이 될 때 값은 15분의 1입니다 자 크기 비교하려 그랬더니 분모가 달라서 통분을 해줘야 되고요 30으로 통분을 해주면 우리 10분의 19는 여기다 분모분자의 3을 곱해서57이 되네요 15분의 1은 30으로 통분하면 30분의 2구요 누가 커요 얘가 크죠 그러면 요게 큰 거고 요거의 절대 값이 더 큰 거니까 음수의 절댓값이 더 크네요 그러면 계산 결과는 음수로 나올 겁니다 그리고 절댓값의 차를 계산을 해주죠 10분의 19에서 15분의 1을 빼주면 되고요 우리 아까 통분해해 놓은 거 그대로 쓰면 됩니다 30분에 57 - 30분의 2구요 - 30분의 55니까 - 30분의 55라고 나와요 자 분모분자 오르 약분해주면 최종적인 답은 마이너스 6분의 11이라고 계산해주면 되겠네요

자 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요 계산 결과 마이너스로 나오고 우리 7하고 4 더해서 마이너스 11이라고 계산할 수가 있습니다 자 만약에 이렇게 -1 -6 -d의 -가 또 있으면 우리가 -를 플러스로 바꿀 때는요 -를 안으로 집어넣었다고 생각하면 지금 -가 두 개죠 마이너스가 두 개면 부호가 플러스로 바뀌어요 부호가 반대로 가는 겁니다 마이너스가 붙으면 그래서 이렇게 바뀌니까 우리 마이너스 1과 플러스 6의 덧셈은 또 앞에 배웠던 대로 해주면 되고요 절대값은 플러스 6이 더 크니까 계산 결과 플러스로 나오고 절대값의 차 6에서 1을 빼서 + 5라고 계산해 주면 됩니다 자 우리 덧셈과 뺄셈이 복잡하게 섞여 있을 때는요 우리 위에서 배운요 내용 활용해서 A7 모두 덧셈으로 고쳐서 계산을 해주면 됩니다 자 그러면 부호가 생략된 수의 덧셈과뺄셈도 있어요 우리가 요렇게 여러 개가 섞여 있으면서 지금 가운데 뺄셈이 있죠 부호가 생략이 되어 있어요 자 이게 무엇이냐 우리 생략된 양수의 양의 부호 +를 넣어주면 되는 겁니다 자 무슨 말이냐 우리 5분의 1에서 5분의 4를 빼는 거는요 사실은 5분의 1에서 플러스 5분의 4를 빼는 거와 같아요 요거와 같으니까 우리는 뺄셈을 덧셈으로 바꿔서 이렇게 계산해 주면 되겠죠 여기 플러스였으니까 부호 받고 -5 이렇게 바꿔서 계산을 해주는 겁니다 자 그래서 전체적으로 모두 바꿔주면 5분의 1은 + 1/5 -5는 -5 이렇게 바뀌고요 마이너스 5분의 2는- 1/5 + 5분의 3은 그대로 플러스 플러스 오븐에서 자 이렇게 나눠주고요 플러스를 여기로 달아주고 여기 달아주고 여기 달아주고 여기 달아주는 겁니다 자 달아준 다음에 asm을 다 덧셈으로 고쳐요 넣어주면 도어가 바뀌어서 - a7을 넣어주면 도어가 바뀌어서 - 자 이렇게 바뀐 상태에서 제가 계산을 해 줄 거고요 제가 교환 법칙을 이용을 해 줄 겁니다 교환 법칙 이용해서 양수는 양수끼리 계산할 거고 음수는 음수끼리 계산할 거예요 우리가 양수끼리 계산하고 음수끼리 계산하는게 더 편하죠 그렇기 때문에 교환법칙 적용해서 순서 바꿔주면 이렇게 되고요 우리 결합법칙 사용해서 얘네끼리 계산하고 얘네끼리 계산할 겁니다 자 플러스 1/5 + 5분의 3은 우리가 그대로 + 1/5+ -5 요거는 둘 다 부호가 마이너스 마이너스니까 계산 결과 -로 나올 거고요 5분의 4랑 5분의 2 더해주면 되겠죠 따라서 -5이라고 나옵니다 그래서 이렇게 -5를 더해준 숫자가 나와 있죠 자 얘는 지금 부호가 다르니까 절댓값을 비교해줘야 되고 요거의 절댓값 5분에서 요거의 절댓값 5분의 6이니까 얘가 더 크네요 그러면 부호는 -로 나오는 거고요 우리가 큰 거에서 작은 거를 뺀 거를 뒤에다 써주면 되겠죠 그래서 밥은 마이너스 1/5로 나오네요 자 우리 요 계산하는 과정 정확하게 알고 있어야 됩니다 우리 어떻게 계산하는지 어떤 순서로 계산하는지 꼭 알아두시기 바랍니다

자 개념이 이제 볼 건데 다음을 계산하시오 라고 되어 있어요 자 우리여기 보면 이렇게 된 거 먼저 좀 계산해 보겠습니다 지금 마이너스 3분의 2 - 2분의 1 + 12분의 5인데요 저는 좀 계산하기 편하게 모든 분모를 통분을 먼저 하겠습니다 통분을 뭘로 할 거냐 12로 통분할 거예요 -12구요 - 12분의 6이고 플러스 플러스 12분의 5입니다 자 가운데 있는요 마이너스를 안으로 넣어 준다고 생각을 해서 - 12분의 파일 플러스 마이너스 12분의 6이고요 + + 12분의 5입니다 그러면 우리요 앞에 있는 두 개 먼저 계산을 해 줄 건데 자 이거 계산을 해주려고 보니까 둘 다 부호가 마이너스죠 그러면 마이너스로 계산 결과 나오고요 절댓값 12분의 8과12분의 6을 더하면 12분의 뭐 나와요 12분의 14 나오죠 그래서 - 12분의 14라고 계산이 되는 겁니다 자 플러스 12분의 5구요 자 지금 -랑 플러스를 계산을 하는데 둘 중에 절대값은 누가 커요 절대값은 얘가 크죠 그러면 음수로 계산 결과가 나올 거고요 그 값은 12분의 14에서 12분의 5를 빼주면 되겠죠 따라서 - 12분의 9고요 분모분자 3으로 약분해서 - 4분의 3이라고 계산 결과가 나오네요 자 2번 볼 거고요 지금 4.6 -2.3 - 5.8 플러스 1.9를 계산을 할 건데 우선 플러스를 만들어 주겠습니다 4.6 플러스 2.3 + 5.8 + 1.9 이렇게 되고요 우리마이너스를 집어넣을게요 요거를 플러스로 바꾸기 위해 집어넣어주면 플러스 4.6 플러스 마이너스 2.3 플러스 마이너스 5.8 + 1.9 이렇게 됩니다 자 이렇게 된 상태에서 우리가 양수끼리 계산할 거예요 요거끼리 계산하고 음수끼리 계산하기 위해 교환 법칙을 쓰겠습니다 순서를 바꿔주면 돼요 4.6 + 1.9 + -2.3 + - 5.8 그러면 이렇게 두기 계산해 줄 거고 이렇게 두개 계산해 줄 건데 자 앞에 있는 두 개 계산할 때 지금 둘 다 플러스니까 계산 결과 플러스로 나올 거고요 절대값 4.6 절대값 1.9 계산해주면 두 개 그대로 더한 6.5가 되겠네요 자 플러스 지금-2.3 - 5.8이면 계산 결과 마이너스로 나올 거고요 절대값 2.3 -5.8이 절대값 5.8 두 개의 더해주면 8.1입니다 그래서 -8.1로 나오네요 이번엔 플러스 6.5 + -8.1이고 우리가 절대값을 먼저 비교를 해주죠 절대값은 누가 커요 얘가 크죠 그러면 음수의 절댓값이 크니까 계산 결과 음수로 나올 거고요 절댓값 큰 애에서 작은 애 빼주면 되겠죠 마이너스 1.6이라고 계산 결과가 나옵니다 자 됐을까요

자 우리 필수 예제도 한번 풀어볼 거고요 우리 계속 계산 연습하는 겁니다 우리 계산하는 거 보면서 연습해 주셔도 좋고요 직접 해보면서 들으셔도 좋습니다 자 다음에 계산하시오라고 되어 있는데 우선은 저는 모두 통분을 먼저 해 줄 거예요통분을 해야 크기 비교하기도 편하고 덧셈 뺄셈하기도 편하죠 자 분모를 12로 통분을 할 거고요 12분의 8 12분의 6 12분의 4 - 12분의 10 자 그러면 우리 여기 있는이 마이너스 안으로 집어넣어서 플러스로 바꿔 줄 거고요 플러스 12분의 8 + - 12분의 6 + - 12분의 4 + 12분의 10입니다 그러면 교환법칙으로 우리 5+는 + 길이 좀 계산을 해 주도록 할게요 그러면 플러스 12분의 8 그리고 플러스 12분의 10 플러스 마이너스 12분의 6 + - 12분의 4구요 우리가 앞에 있는 두 개는 그냥 플러스 두 개로 하는 거니까 플러스 두 개 더해서 12분의18이라고 계산할 수가 있고요 뒤에 있는 두 개는 둘 다 마이너스죠 그럼 마이너스로 나오고 절대값끼리 더해서 12분의 6 + 12분의 4니까 12분의 12죠 그러면 두 개 절댓값을 비교했을 때 누가 더 크나요 절대값은 얘가 더 크죠 그러면 양수의 절댓값이 크니까 양수로 나올 거고요 12분의 18 - 12분의 10 이렇게 절댓값의 차로 계산해서 답 내주면 되겠네요 자 4로 약분하면 + 3분의 2고요 우리 플러스 떼고 3분의 2라고 답사 주면 됩니다 여기까지 됐을까요

자 그러면 우리 필수 예제 하나 더 보고 마치도록 하겠습니다 6보다 마이너스 3만큼 큰 수를 a라고 한대요 자 그대로 쓰는 겁니다 a는 뭐냐 6보다 큰데요-3만큼 큰 거예요 크니까 더해주는 겁니다 근데 -3만큼 크다 했으니까 -3을 더해주는 거예요 자 6 + -3은요 요렇게 계산하면 되니까 몇 나와요 절대 값은 얘가 더 크니까 플러스 6에서 3을 뺀 3으로 나오죠 그래서 a는 3입니다 자 b는요 3분의 1보다 작대요 얼마나 작냐면 2분의 1만큼 작은 겁니다 그래서 그대로 옮겨 적으면 요식이 나오고요 계산을 해주기 위해 + 1/3이라고 바꿔주고 - 바꿔주면 플러스 마이너스 2분의 1이죠 자 그러면 통분하면 6분의 2 더하기 -6분의 3이구요 자 절대값 비교하면 얘가 더 크죠 얘가 더 크니까 계산 결과 음수로 나올 거고요 그네에서 작은의 빼서-6분의 1이라고 나오네요 자 그러면 우리 a+b의 값을 구하는 거니까 + 4 + -6분의 1이죠 자 통분합시다 6분의 18이고요 + -6분의 1이니까 절댓값은 양수의 절대 값이 커서 플러스고 절대값의 차이 계산해주면 17이겠죠 따라서 6분의 17이라고 답 계산해 주면 됩니다 답은 6분의 17이에요 자 여기까지 해서 우리가 오늘 정수와 유리수의 덧셈 뺄셈 모두 맞췄고요 우리가 지금까지 하던 계산과는 다르게 좀 많이 복잡한 거 같아요 그죠 부호가 하나 추가됐기 때문에 신경 써야 될게 많습니다 하지만 우리가요 단원을 제대로 하지 않으면 우리가 앞으로 배울 수학에서 정말 많은 어려움을 겪게 돼요 그러니까요 내용 확실하게 계산하는 거 연습하고 이해하고 넘어가시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다