[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 정수와 유리수 - 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈

자 이번 시간 배울 단어는 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈입니다 자 우리가이 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈을 배워 볼 건데요 우리가 지난 시간에 유리수에 덧셈 뺄셈 했죠 우리 오늘은 곱셈하고 나눗셈입니다 자 이 곱셈은요 비교적 비교적 단순합니다 자 부호가 같은 부수의 곱셈은요 우리 절댓값의 곱에다가 양의 부호를 붙이고요 부호가 다른 두 수의 곱셈은 절댓값의 곱에다가 음해보호를 붙여요 그러니까 부호가 같은지 다른지만 확인해 주면 되는 거예요

자 우리 예시가 있는데 + 1/2을 곱하면 지금 부호를 먼저 보는 겁니다 부호가 같아야 달라요 같죠 그러면 플러스로 나오는 거예요 그 다음에 우리는 숫자만 보고 숫자끼리 곱해주는 거죠 계산해주면 + 1/2이 나오겠죠 자 - 1/3과 -2도요 가장 먼저 부호를 보는 겁니다 부호를 보호가 어때요 같네요 부호가 같으면 플러스로 나오고 숫자만 계산합니다 숫자를 이렇게 계산해주면 플러스 1/2 나오죠 자 그런데 부호가 다르면 어떻게 되냐 우리 플러스 3분의 1 하고 -2분의 3하고 곱하면 지금 부호가 어때요 안 하는 플러스고 하나는 마이너스죠 그렇기 때문에 곱하면 -가 나오고요 숫자끼리 곱해줍니다 이렇게 곱하면 -2분의 1이죠 앞에 마이너스고 뒤에 플러스여도 똑같이 마이너스 2분의 1로 계산되는 거예요 뭐만 확인하면 돼요 부호가 곱했을 때곱하는 투수의 부호가 같은지 다른지만 같은지 다른지만 확인해주면 되는 겁니다 자 곱셈의 계산법칙인데요 곱셈의 교환법칙은 우리가 곱하는 순서를 바꿔도 똑같다가 곱셈이 교환법칙입니다 a와 b를 곱하나 b와 a를 곱하나 같다는 거고요 예를 들어서 2분의 1 곱하기 4다 4 곱하기 2분의 1이나 어차피 똑같이 2죠 이렇게 순서를 바꿔도 되는게 교환 법칙이고요 곱셈의 결합법칙은요 우리가 앞에서부터 곱하는게 아니라 앞에서부터 곱하는게 아니라 뒤에 있는 거를 먼저 곱해도 우리 세계를 곱할 때 뒤에 있는 거 두 개를 먼저 곱해도 똑같다 요게 바로 곱셈의 결합법칙입니다 우리 두 개는 자유롭게 사용해 주시면 됩니다 자 이렇게 되고요 이번에 곱할 때는 -끼리 같은 부호끼리 곱하니까 +가 되고 숫자는 6이 될 거예요 자 이렇게 계산해도 되지만 한 번의 계산을 해주는 겁니다 어차피 마이너스가 짝수개면 이렇게 -가 짝수개면 두 개를 먼저 곱해서 플러스가 되니까 플러스가 되니까 -가 짝수 개면 결국엔 플러스가 나오는 거니까 우리는 부호를 마이너스의 개수로 결정을 해주겠다 이겁니다

자 그래서 여기 같은 경우에는 교재에 나와 있는 대로 계산을 해주면 -가 짝수니까 + 구요 그다음 숫자끼리 그냥 곱해버리는 거예요 플러스 6으로 자 만약에 -가 홀수개예요 여기에 숫자를 하나 더 곱해봅시다 -1 * -3 곱하기 -2예요 그러면-가 몇 개니까 세 개니까 홀수개구요 계산하면 -가 나오는 것이고 숫자 2랑 1과 3과 2를 그냥 쿠페 버리면 되는 거예요 그래서 -12 이렇게 나오는 거죠 자 우리 교재에 있는 예시도 한번 볼게요 마이너스 3분의 4 곱하기 마이너스 4분의 1 곱하기 + 1/2이면요 우리 우선 - 계수를 세서 몇 개죠 두 개죠 두 개는 짝수 개니까 +가 되는 거고요 숫자를 모조리 곱해줍니다 약분할 거 해서 + 6분의 1이라고 계산이 되는 거예요 자 이번엔 분배법칙을 볼 건데요 우리 세수 abc에 대하여 a 곱하기 B + c를 어떻게 계산을 할 수가 있냐면 6 곱하는 a를 비에도 곱하고 c에도 곱해서 더해주는 겁니다 a 곱하기 ba 곱하기 c를 더해서 계산을 할 수가 있어요 자 우리 곱하기가 뒤에 달려 있어도 됩니다 곱하기 c가 이렇게 a+b의 d의 곱해서 있을 때도 2 곱하기 c를 a에 곱해주고 b의 곱해서 a 곱하기 c + b 곱하기 c로 계산을 할 수가 있는 거예요 자 예시 하나 해볼게요 예를 들어서 2 곱하기 3 + 1이면 물론 3 + 1을 먼저 계산해도 되지만 우리가 분배법칙으로 6 곱하기 2를 3에 달아주고 1이 달아줘서 2 곱하기 4 + 2 곱하기 1 따라서 6 + 2인 8로 계산을 할 수가 있는 거예요 자 그럼 밑에 있는 개념 예제 한번 볼 거고요 1번 보면 지금 숫자 세 개를 곱해놨네요 그러면 두호를 면적 결정할 거고요 마이너스가 짝수개네요 그러면 플러스로 나오는 거고요 14분의 5 곱하기 2분의 3 곱하기 10분의7 이렇게 숫자만 모아서 계산해 버리면 됩니다 자 약분할 거 약분해 주겠습니다 요렇게 되고 약분해서 2가 되고 따라서 8분의 3으로 나오죠 자 두 번째 우리 18 * 9분의 2 - 1/6인데 요거를 0 우리가 안에 있는 분수의 계산을 먼저 해주는게 아니라 요렇게 좀 볼게요 자 18 곱하기 18 곱하기 + 9분의 2 + -6분의 1이니까 우리가 18을 곱해 줄 겁니다 분배법칙으로 이렇게 요렇게 곱해주면 18 곱하기 + 9분의 2 + 18 곱하기 -6분의 1이니까 우리 요거는 플러스 4가 되고요 요거는 자 양수랑 음수로 곱했죠 +1 하니까 -로 나오고 요 숫자는 3으로 나오겠네요 따라서 플러스 4 + -3이면 우리 절댓값은 4가 더 크니까 절댓값은 4가 더 크니까 +로 나올 거고 4에서 3을 빼서 1이라고 나오죠 자 이 과정에서 우리가 직접 분수의 계산을 뺄셈을 해줘도 되지만 요렇게 분배법칙을 통해서 통분하지 않고 계산을 할 수가 있었어요 그래서 필요에 따라서는 이렇게 분배법칙으로 좀 더 편하게 계산을 할 수가 있습니다

자 이번엔 유리수의 나눗셈인데요 우리가 나눗셈을 할 때는 어떻게 계산을 할 거냐면 똑같아요 곱셈하고 절댓값에 나눗셈의 몫에다가 양해보호를 붙이는 거예요 언제 부가 같을 때 자 절댓값은 나눗셈의 목에다가 음의 부호를 붙이는 건 언제겠어요 부호가 다를 때죠 우리 곱셈하고 상황이 똑같은데 나눗셈이면 그냥 나눗셈 계산해 주면 되는 거예요 자예를 들어서 +6 나누기 + 2면 도어가 같으니까 +로 나오고 숫자만 나눠서 3이 되겠죠 자 -6을 -2로 나누는 경우에도요 두 개의 불과 같으니까 +로 나올 거고 숫자는 3으로 나오겠죠 자 플러스 6이랑 -2를 나눠주면 +6을 -2로 나눠주면 부호가 다르니까 부호는 마이너스고 숫자는 3이고 자 -6 나누기 플러스 2도 우리가 숫자 전에 부호를 먼저 보면 부호가 다르기 때문에 마이너스로 나오고 숫자는 3으로 나오겠죠 자 이런 식으로 부호가 같은지 다른지만 우리 항상 체크해 주면 됩니다 자 우리 역술한게 있는데요 우리 역수를 활용해서 분수에 나눗셈을 계산할 수가 있어요 자 역수는 뭐냐 두 수의 곱이 1일 때 한 수를 다른 수의 역수라고 해요 자 예를 들어서 우리 마이너스 2분의 1이있는데 - 2분의 1의 역수는 무엇이냐 하면 곱해서 1이 되는 숫자를 말해요 그렇기 때문에요 마이너스 2를 곱했을 때 1이 되죠 그래서 -2분의 1의 역수는 -2예요 또 이렇게도 표현할 수 있어요 마이너스 2의 역수는 -1/2이다 자 우리 역수를 편하게 구하는 방법은 분모와 분자를 바꿔주는 겁니다 자 예를 들어서 우리 2분의 3의 2분의 3의 역수는 분모 분자를 바꿔서 3분의 2예요 2분의 3에다가 3분의 2를 곱하면 1이 되죠 자 그렇기 때문에 역수는 분모 분자를 바꾸는게 제일 편하게 구할 수 있는 거고요 예를 들어 5의 역수다 그러면 분모가 1이라고 생각을 하고 역수를 구해주면 되는 거예요 5분의 1이죠 자 음수인 경우에는 어떻게 될까요 마이너스 2분의 7의역수는요 우리 부호는 똑같이 나옵니다 변하지 않아요 7분의 2가 역수에요 자 그러면이 역수를 어디에 활용을 하냐 바로 유리수의 나눗셈에서 우리가 역수를 활용하여 계산을 할 수가 있어요 예를 들어서 플러스 4와 나누기 -5는 곱셈으로 바꿔서 역수를 취하면 됩니다 곱셈으로 바꾸고 우리 지금 나눗셈이 곱셈으로 바꿨죠 곱셈으로 바꿨으면 숫자를 역수로 바꿔주면 돼요 마이너스 1/5의 역수는 부호 안 바뀌고요 분모 분자 맡긴 2분의 5입니다 그러면 플러스 4와 마이너스 2분의 5를 곱할 때는 부호가 같은지 다른지를 확인해야 되죠 부호가 같아야 달라요 다르니까 마이너스고 숫자 4와 2분의 5를 그대로 곱해서-10이라고 나옵니다 자 우리 유리수의 곱셈과 나눗셈의 혼합계산은요 우리 나눗셈을 모조리 곱셈으로 바꿔서 계산을 하는게 편하구요 곱셈으로 바꾼 다음에 우리 뭘 먼저 결정하는게 좋았어요 부호를 먼저 결정을 하죠 음수가 마이너스가 짝수냐 홀수냐 -가 짝수개 있냐 홀수개 있냐에 따라서 부호를 결정을 먼저 해주고 숫자끼리 모두 곱해서 계산을 해주면 됩니다

자 그러면 그 개념이지 한번 해 볼 건데요 자 첫 번째로요 마이너스 3분의 16 나누기 +1/15 자 우리 나눗셈은 어떻게 계산해요 나눗셈은 곱셈으로 바꾸고 역수를 취하죠 역수를 구해주는 겁니다 15분의 4의 역수는 4분의 15예요 그러면 두 수에 부호가 다르죠 다르면 마이너스로 나오고숫자끼리 곱해주면 됩니다 자 약분할 거 약분해주면요 계산했을 때 마이너스 20이라고 나오네요 자 두 번째 문제 해 볼게요 자 두 번째 문제를 보면 지금 곱셈도 있고 나눗셈도 있어요 그런 경우에는 우리가 뭐를 먼저 해준다고요 나눗셈을 곱셈으로 먼저 바꿔 주는 거예요 자 김 있는 플러스 12분의 5를요 곱셈으로 바꾸기 위해 역수를 구해주면 5분의 12죠 돈을 바뀌지 않습니다 자 숫자 세 개를 곱할 때는 부호를 먼저 결정을 해주는데 마이너스가 한 개니까 - 하나 나올 거고요 홀수개라 마이너스로 나오겠죠 그 다음에 숫자끼리 곱해주면 됩니다 자 요렇게 되니까 우리가 약분이 지금 되는게 없죠 이런 경우에 그냥 곱셈을 해주면 되겠습니다 자 요렇게 분자는 144가 나오고요 분모는 25라고 계산이 됩니다 자 필수 유지 한번 해 볼 건데요 자 이것도 좀 복잡하게 생겼죠 하나씩 해 볼게요 자 우선 뭐를 먼저 해 줄 거냐 2분의 3의 제곱을 먼저 처리를 해 줄 거예요 자 2분의 3의 제곱의 의미는 뭐예요 2분의 3을 두 번 곱한 거죠 그러면 2분의 3 곱하기 2분의 3이니까 4분의 9입니다 곱하기 4분의 9 나누기 - 12구요 자 나눗셈을 이번엔 곱셈으로 바꾸겠습니다 곱셈으로 바꿔주면 25분의 3은 3분의 25구요 그다음 4분의 9는 그대로 있고 뒤에 나누기 마이너스 10인데 마이너스 10을 곱셈으로 바꿔서 역수를 구해주면 부호 안 바뀌고 10분의 1로 되는 거죠 자 그러면 이제 곱셈을 한 번에 할 건데-가 몇 개예요 두 개죠 짝수개네요 그러면 플러스로 나오는 거고요 숫자를 한 번에 곱해 버리면 됩니다 3분의 25/4 자 그러면 우리가 약분되는 것들이 있어요 이렇게 약분해주고 오로약분하면서 3 없어지고 5로 약분하면 이렇게 되니까 남는게 플러스 1/2밖에 없네요 자 이렇게 한 단계씩 차근차근 계산해 주면 됩니다 자 필수 예제 하나 더 볼 거고요 우리 3분의 5의 역수를 a라고 한대요 a는 뭐예요 분모분 잡았고 5분의 3이죠 마이너스 5분의 7의 역수를 b라고 한대요 b는 - 7분의 오겠죠 자 a 곱하기 b는 5분의 3 곱하기 마이너스 7분의 5고요 우리 부호가 플러스와 마이너스니까 부호가 달라서 곱셈했을 때는 마이너스로 나오고 5분의 3 곱하기 7분의 5를 해주면 마이너스 7분의 3이라고 나옵니다 요게 답이죠

자 여기까지 해서 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈까지 모두 했어요 자 우리가 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈 모두 배웠고요 음수가 들어갔을 때이 4층 연산하는 연습을 충분히 해주셔야 돼요 위에 헷갈리면 안 됩니다 정말 많은 계산 문제 풀어 주시고요 풀었을 때 틀린게 있다면 자기가 뭘 잘못 계산했는지 어떤 방법으로 잘못 계산했는지까지 완벽하게 이해하면서 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다