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중학수학1-1
01-18

[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 문자와 식 - 등식의 성질

✏️ Editor's Note
안녕하세요 제임스쌤입니다. 오늘은 중학교 중학수학1-1 문자와 식 등식의 성질 에 대해 강의를 준비했어요. 또한 요약본인 개념집과 예시 문제까지 풀어보고 확실하게 이해해 수학 실력을 올려보세요!

개념강의

이번 강의에서는 등식의 성질에 대해서 배워요.

하이라이트

  • 등식의 성질을 활용하여 방정식을 푼다.
  • 등식이란 좌변과 우변이 같은 식을 말한다.
  • 양변에 같은 수를 더하거나 뺄 때도 등식은 성립한다.
  • 양변에 같은 수를 곱하거나 나누어도 등식은 성립한다.
  • 다만, 나눌 때는 0이 아닌 같은 수여야 한다.
  • 방정식을 푸는 과정에서 등식의 성질을 이용하여 x를 구할 수 있다.
  • 방정식을 풀 때 좌변에 x만 남도록 연습해야 한다.

개념집, 문제, 해설은 해당 강의와 관련이 떨어질 수 있어요. 관련된 학습을 하려면 수학대왕에서 확인해주세요.ddddddddd

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자 이번 시간 배울 단어는 등식의 성질입니다 자 우리가 등식의 성질을 배우게 될 건데요 요거를 활용해서 방정식 푸는 방법까지 배우게 될 거니까 집중해서 잘 들으시기 바랍니다

자 등식이 성질에서요 우선 등식이라는 것은 우리가 좌변과 우변이 같은 식을 등식이라고 해요 자 이렇게 좌변과 오변이 같은 거를 등식이라고 하는데 양변이 같은 수를 더해도 등식은 여전히 성립하겠죠 어차피 같았는데 똑같은 수를 더해도 여전히 같은 겁니다 자 똑같이 같은 수를 빼도요 등식은 성립하겠죠 예를 들어서 우리 등식에다가 5를 똑같이 뺐어요그래도 등식은 여전히 성립을 하는 겁니다 자 이번엔 양변의 같은 수를 곱해도 등식은 성립하겠죠 예를 들어서 2를 곱하면요 여기다 2를 곱하고 여기다도 2를 곱하면 결국 같은 식에다가 똑같이 1을 곱한 거기 때문에 우리가 등식은 성립하는 겁니다 자 이번엔 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한대요 자 양변을 7로 나눴다고 해볼까요 우리 7로 나누면 여전히 성립하겠죠 우리 똑같은 수로 나누면 등식 성립하는 겁니다 자 주의해야 될 점은 0이 아닌 수입니다 영이 아닌 같은 수로 나눌 때에요 우리 영이 아니라는 거는 잘 기억해 두시기 바랍니다 자 그래서 요거를이 등식이 성질네 가지를 우리가 문자를 이용하여 식으로 나타내면 a랑 b랑 같을 때 a + c는 b + c가 성립하고요 왜냐a랑 b라고 원래 같았는데 똑같은 c를 더해도 등식이 성립하는 겁니다 자 똑같은 걸 빼도 성립하고요 똑같은 걸 곱해도 성립하고 똑같은 걸로 나눠도 성립을 합니다 이때 나눌 때 우리 0이 아닌 수라 그랬죠 우리 그래서 c는 0이 아니다 이렇게까지 달려 있어야 됩니다 우리요 4가지 식으로 나타낸 것까지 요것도 잘 기억해 두시기 바랍니다

자 그래서 이 등식의 성질을 이용하여 방정식을 풀 건데요 방정식을 어떻게 푸느냐 예를 들어서 지금 교재에 나와 있는 예시인 ex-1은 3을 가지고 한번요 방정식을 풀어볼게요 자 우리가 방정식을 푼다는 것은 결국에 x값이 무엇인지를 찾고 싶은 거예요이 방정식을 성립하게 하는 x값이 무엇인지를 찾고 싶기 때문에 우리가 좌변에 좌변에x만 남기고 싶습니다 자 그러면 우선 어떻게 하냐 좌변에 x만 남기고 우변엔 상수만 남기는 거예요 자 그러면 좌변에 지금 ex-1이 있기 때문에이 마이너스 1을 없애고 싶습니다 x만 남기려면 -1을 없어져야겠죠 자 그럼 -1을 없애려면 우리가 ex-1은 3이라는 등식에서 어떻게 해야 -1이 없어질까요 우리 양면에 똑같은 수를 더하거나 뺄 때 여전히 등식이 성립하니까 -1을 없애기 위해서는 양변의 1을 더해주는 겁니다 그러면 좌변은 ex가 되고요 우변은 4가 되죠 자 그럼 이번엔 좌변을 x만 남기기 위해선 x의 계수인 2가 사라져야 되고요 양변을 2로 나눠 주는 겁니다 이렇게양변을 2로 나눠주면 우리가 여전히 등식이 성립하기 때문에 요런 성질을 이용하는 거예요 그러면 약분 되고요 여기도 약분돼서 x는 2라고이 방정식의 해를 구할 수가 있는 거예요 자 그리고 어떤 x에 대한 방정식을 풀 때요이 등식의 성질을 이용하여 x는 숫자 요런 꼴로 바꾸어서 해를 구할 수가 있는 겁니다 우리가 어떻게 좌변에 x만 남기는지요 과정까지 완벽하게 연습해 주시기 바랍니다

자 그러면 우리가 이 방정식을 구하는 과정에서 아까 이용했던 예시를 좀 더 써볼게요 아까 ex-1은 3이라는 예시를 가지고 설명을 드렸는데 제가 여기서이 마이너스 일을 없애기 위해 좌변우변에 즉 양변에 1을 더했어요 양변에 1을 더했는데-1과 플러스 1이 계산해서 0이 되니까 2x는 3+1이라고 정리가 됐죠 자 그러면 우리가 이거를 조금 더 간편하게 해보자 이겁니다 조금 더 간편하게 볼 거고요 ex-1은 3이라는 식에서 2x는 3 + 1이 되는데요 -1을 좌변에 있는 -1을 우변으로 옮겨 준다라고 생각을 하는 거예요 옮겨 줄 때 우리가 그냥 옮겨주는게 아니라 부호를 바꿔서 옮겨 주는 겁니다 자 이렇게 우리가 항을 항을 다른 한쪽으로 옮기면서 부호 바꿔주는 것을 바로 이항이라고 해요 자 교재에 있는 내용 한번 읽어 볼게요 등식이 성질을 이용하여 등식의 어느 한 변에 있는 항을 부호만 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라고 한대요 자 여기에 있는 -1을 우리는 우변으로 보내고 싶으니까우변으로 보내주고 부호를 플러스 1로 바꿔주는 것을 이항이라고 하는 거예요 자 그러면 플러스 a를 이항을 할 때는 -a가 될 거고요 -a를 이항할 때는 + a가 되겠죠 자 우리 예시 하나만 더 해봅시다 4x+1은 -x-2에서요 저는요 마이너스 x를 이항을 먼저 시키겠습니다 자 -x를 이항을 해주면 넘겨올 때에 부호가 바뀌겠죠 원래 4x+1이었는데 -x가 넘어오면서 부호가 바뀐 플러스 x가 되는 거고요 자 이번에는 여기에 있는이 플러스를 반대쪽으로 넘겨 줄 건데 반대쪽으로 넘겨주면 좌변에는 4x+x만 남구요 우변에는 -1 - 2만 남게 됩니다 우리 +1에 부를요렇게 -1로 바꿔 줘야겠죠 자 이항할 때는 어떻게 된다고요 부호만 바꿔 준다고요 자 됐을까요

자 그러면 개념의 재해 한번 보도록 할 건데요 옳지 않은 것을 고르라고 했습니다 2분의 a가 b와 같으면 a는 1이래요 자 2분의 a가 b에서 a는 2b가 되려면 양변에 2를 곱해주면 되겠죠 그렇기 때문에 등식이 성질에 의해서 만들어진 시기니까 맞는 말입니다 자 2번 3a는 2b이면 2분의 a는 3b에요 자 우리 뒤에 있는 b는 신경 쓰지 말고요 3a가 2분의 a가 되려면 똑같은 수 육으로 나눠준 거죠 그러면 2b도 6으로 나눠 줘야 되는 거예요 그러면 2b를 6으로 나눴을 때는 3분의 b가 되는게 맞죠 그러면 양변을 똑같이 6으로 나눈 시기니까 요것도 맞습니다자 3번 보면요 -a가 b이면 5 - a는 B + 5래요 자 - a가 5 - a가 되기 위해서는 양변에 5를 더해주면 되고요 우변에 있는 b에도 똑같이 5를 더해주면 B + 5가 되겠죠 자 요것도 맞는 말입니다 자 우리 4번 보면요 우리 조건 복잡하니까 여기다 다시 셀게요 a가 3b이면 a가 3b랑 같으면 a - 3은 3의 b - 3과 같냐고 물어봤어요 자 우리 여기 있는 3의 b-3을 우리가 분배법칙을 이용하여 정리를 해주면 3b-9라고 나오고요 좌변은 a였는데 a 마이너스 3이 된 것은 3을 빼준 거죠 그러면 여기 있는 3b에도 우리가 똑같이 3을 빼 줘야 되는데 3을빼도 - 3B - 3이 나오는 것이지요 3B -9가 나오는 것이 아니기 때문에 요거는 옳지 않습니다 자 마지막 5번 이고요 자 5번은 a+b가 x+y =요 제가 이항을 할 겁니다 x를 좌변으로 이항하면 요식하고 다르죠 우리 다른 결과 나왔으니까 5번도 올지 않다라고 할 수 있습니다 따라서 답은 4번 5번이에요

자 그러면 넘어가 볼게요 자 필수 예제인데요 다음 중 밑줄 친항을 바르게 이항한 것은이라고 되어 있어요 자 1번에서-3을 이제 우변으로 넘겨주면 도어가 바뀌고 플러스 3이 돼야겠죠 + 3이 돼야 되는데 여기 마이너스 3이라고 되어 있습니다 바르게 이항한 것이 아니네요 자 여기 있는 -2x도 이항을 해주면 우리가 플러스 2x가 돼야 되는데 -2x라고 나와 있으니까 틀렸고요 자 3번에서요 플러스 x를 좌변으로 넘기면 -x가 돼야 되겠죠 요것도 아니고요 자 여기 플러스 2인데 우변으로 넘어갈 때 부호가 바뀌어서 -2가 돼야 됩니다 자 -2가 제대로 적혀 있죠 요거는 바르게 이항을 한 거네요 자 5번에서 플러스 1을 일단은 우변으로 넘겨주면 우변의 마이너스 1이 돼야 되고요 여기 있는 -x를 좌변으로 넘겨주면 플러스 x가 돼야 됩니다 여기 플러스 1의 부호만 틀렸죠 요거는 맞는데 여기가 플러스 1이 부호가 반대로 되어 있습니다요게 틀렸네요 따라서 답은 4번입니다

자 우리 필수 예제 하나 더 볼 거구요 자 a는 ca는 b이면 a + c는 b+c이다 요거는 맞나요 자 이거는 맞죠 똑같은 수 더해 준 겁니다 a+c가 B + c와 같으면 a는 b다라고 나와 있어요 자 얘는 어떻게 해준 거예요 양변에다가 - c를 해준 겁니다 양변에 c를 빼준 거예요 등식의 성질을 이용한 거니까 맞는 거고요 자 3번 a랑 b랑 같으면 a c는 bc다 똑같은 c를 곱한 거기 때문에 요것도 맞고요 자 4번 ac가 bc면 a는 b다라고 나와 있어요 얼핏 보면 맞는 것 같지만 요거는 틀렸습니다 왜냐면 우리가 ac가 bc에서 a는 b라고 나오려면 좌변 우변을 모두c로 나눠줘야 되는데 이때 c로 나눌 때 무슨 조건이 필요해요 영이 아니라는 조건이 필요합니다 영이 아니라는 조건이 있어야 양변을 똑같은 숫자로 나눠줄 수 있기 때문에 요거는 틀린 거예요 자 마지막 5번 볼 거고요 a랑 b랑 같으면 c분의 a는 c분의 b다라고 나와 있어요 근데 이때 똑같은 c로 나눴는데지가 0이 아니다라는 조건이 달려 있죠 요거는 맞는 복입니다 따라서 답은 4번이에요

자 여기까지 해서 우리 등식의 성질 모두 배워 봤구요 다음 시간에 이제 계속요 내용을 이용하여 우리가 배워 나가니까 오늘 배운 내용 꼭 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다

개념집으로 이해도를 높여봐요

개념집, 문제, 해설은 해당 강의와 관련이 떨어질 수 있어요. 관련된 학습을 하려면 수학대왕에서 확인해주세요.

개념집

예제

문제

해설

해설

개념집으로 이해도를 높여봐요

개념집

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문제

해설

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수학대왕에서는 이렇게 공부할 수 있어요

개념강의 : 빠르고 쉽게 이해되는 강의로 개념을 이해

수학대왕에서 자체 제작한 강의를 통해 빠르고 쉽게 개념을 익힐 수 있어요

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선택 문제 : 기출 문제를 단원별, 난이도를 골라서 학습

수학대왕에서는 기출 문제, 기출 문제와 수학대왕 오리지널 문제를 골라서 풀 수 있고, 원하는 난이도와 과목, 단원을 선택해서 문제를 학습할 수 있어요.

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문제 풀이 : 문제, 해설, 개념, 힌트, 필기기능까지

수학대왕에서는 문제를 학습할 때 문제에 대한 힌트를 받을 수 있고, 해설, 해설강의, 문제에 사용된 개념강의와 필기 기능까지 사용할 수 있어요!

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해설 강의 : 문제에 대한 자세하고 이해가 쉬운 해설강의

문제를 풀다가 틀려서 해설을 봤는데 이해가 안되는 경우가 있지 않으셨나요? 수학대왕에서는 문제에 대해서 자세하고 친절한 해설강의를 볼 수 있어요!

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개념집 : 수학 개념의 핵심을 쉽고 빠르게 학습

수학대왕 개념집에서는 일반 모드, 암기 모드를 활용해 개념에 대해 완벽하게 학습할 수 있어요.

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공부한 문제들 : 자동으로 생성되는 나만의 오답노트

오답노트 중요한 건 알겠지만 오답노트를 만드느라 귀찮지 않으셨나요? 수학대왕에서는 학습한 모든 문제를 공부한 문제들에서 모아볼 수 있어요! 자동으로 실시간으로 생성되는 오답노트로 복습하고, 더 연습하고 싶은 문제가 있다면 유사 문제 기능을 통해서 학습할 수 있어요.

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개념 학습의 중요성 명문대생 인터뷰

개념을 정확하게 이해하고 있어야 모든 문제에 대응이 가능해요. 아래는 개념 학습의 중요성에 대한 명문대생의 인터뷰 중 일부예요.

개념의 기본에 충실하는 것이 중요

고3인 경우는 메가스터디 인강을 찾아봐도 고난도 문제 풀이 강의, 넘치는 사설 모의고사 자료 등으로 혼란을 많이 겪으실것으로 예상합니다. 마음이 조급해지는 것이죠. 새롭고 양질의 문제를 찾고, 남들보다 더 특별한 자료로 공부하고 싶은 그 마음은 백번 이해합니다. 또한 개념은 이미 다끝냈다고 생각 해 계속 어려운 문제만 찾기도 하죠. 하지만 이럴 때일 수록 기본에 충실하는 것이 중요합니다. 의외로 개념에서 혼동이 발생 해 문제를 틀린 경우도 많기 때문이죠.제가 수험생활을 할 때 이런 말이 있었습니다. '수학 96점은 천재지만 수학 98, 97 점은 천하의 바보이다.' 즉, 어려운 4점문제를 틀리는 것은 용인이 되지만, 개념을 묻거나 심지어 눈이 달린지 물어보는 문제가 절대다수를 차지하는 2,3점문제를 틀리는 것은 정말 바보같은 행위라는 것입니다. 진짜 소수의 4점 킬러문제 한 문제를 풀기위해 많은 어려운 인강공부에 시간을 쏟기보다는, 개념과 준킬러 문제를 공부하는 것이 가성비가 높을 때도 있습니다.

개념 공부의 중요성!

1. 개념공부의 중요성 : 저는 고등학교 3년 동안 공부를 아예 하지 않은 것은 아니었습니다. 때로는 4점 짜리 수학 문제를 풀어보기도 하고, 국어 기출을 한 두어 회 정도 분석해보기도 했습니다. 그런데, 어째서 저는 수능 시험에서 4점 짜리 수학 문제는 하나도 풀지 못하고 국어 지문을 보는 순간 사고가 멈췄을까요? 제대로 된 개념/기초 공부를 한 번도 하지 않았기 때문이라고 생각합니다. 개념이 차곡차곡 머릿속에 정리되어 있지 않으니 당장 풀고 있는 문제가 어떤 개념에 대해 묻는 것인지 모르고 그저 해설을 따라 적기만 한 것입니다. 비슷한 유형의 문제도 볼 때마다 새로우니 공부할 의욕도 떨어지고 어렵다는 생각만 들었습니다.재수를 하며 처음으로 개념 공부를 하고, 개념 공부 만으로 대부분의 3점 짜리 수학 문제를 스스로 풀 수 있다는 것을 알고 나서야 개념의 중요성을 깨달았습니다.
2. 개념은 어느 정도까지, 어떻게 공부해야 할까요? : 개념은 모래와 같다고 생각합니다. 특히 저처럼 공부를 처음 시작하는 노베이스 분들은 개념이 모래라고 생각하고, 수능 날까지 계속 다져주어야 합니다. 모래 위에 성을 짓는 것은 어쩔 수 없지만 성이 무너지지 않게 모래를 꼭꼭 눌러 건물을 세우기 아주 좋은 땅처럼 단단하게 만들 수는 있겠죠!
3. 구멍 난 개념을 어떻게 메우면 좋을까요? : 간혹 문제를 풀다가 해설을 듣거나 답지를 봤을 때 어? 이거 뭐지? 하는 순간이 올 수도 있습니다. 이럴 때는 당황하지 말고 개념서를 다시 들춰봐야 하는데요, 개념에서 구멍이 났을 확률이 높기 때문입니다. 이럴 때는 모르는 부분만 다시 보지 마시고 ‘모르는 부분이 속한 파트’를 통째로 다시 보는 것을 추천 드립니다. 저는 개념도 맥락을 따라 공부하면 훨씬 기억에 오래 남는다고 느꼈습니다.

개념강의의 효과

수학대왕의 개념강의 기능을 쓰면 이런 점이 좋아요!

  • 빠르게 개념을 배울 수 있어요 : 1시간 짜리 긴 인강은 이제 그만! 10-20분 만에 필요한 단원만 골라서 공부해요.
  • 개념예제, 필수예제로 연습할 수 있어요. : 강의를 듣기만 하면 자신의 것으로 만들 수 없죠! 강의를 듣고 바로 적용해볼 수 있어요.
  • 맞춤 난이도 문제로 실력 UP! : 쉬운 문제로 연습을 마쳤다면 배운 단원의 더 높은 난이도 문제를 풀어볼 수 있어요. 어려워져도 걱정 말아요! 해설 강의로 더 완벽하게 이해할 수 있어요.
내신 기출 문제 풀이의 중요성

수학대왕 대표 최민규 선생님의 조언

수학 공부에 대한 최민규 선생님의 조언 & 공부자극 영상을 보고 꼭 원하시는 목표 이루길 바랄게요!

에디터 한마디

✏️ Editor's Last Note

어려운 수학 문제는 대부분 쉬운 수학 개념 여러 개가 섞여 만들어져요. 즉, 쉬운 개념들에 대하여 확실하게 이해하고 있다면 어려운 수학 문제도 어렵지 않게 해결할 수 있어요. 수학대왕은 여러분의 성장을 위해 항상 최선을 다하겠습니다. 또한, 여러분의 성장을 응원하겠습니다.

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