[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 문자와 식 - 등식의 성질

자 이번 시간 배울 단어는 등식의 성질입니다 자 우리가 등식의 성질을 배우게 될 건데요 요거를 활용해서 방정식 푸는 방법까지 배우게 될 거니까 집중해서 잘 들으시기 바랍니다

자 등식이 성질에서요 우선 등식이라는 것은 우리가 좌변과 우변이 같은 식을 등식이라고 해요 자 이렇게 좌변과 오변이 같은 거를 등식이라고 하는데 양변이 같은 수를 더해도 등식은 여전히 성립하겠죠 어차피 같았는데 똑같은 수를 더해도 여전히 같은 겁니다 자 똑같이 같은 수를 빼도요 등식은 성립하겠죠 예를 들어서 우리 등식에다가 5를 똑같이 뺐어요그래도 등식은 여전히 성립을 하는 겁니다 자 이번엔 양변의 같은 수를 곱해도 등식은 성립하겠죠 예를 들어서 2를 곱하면요 여기다 2를 곱하고 여기다도 2를 곱하면 결국 같은 식에다가 똑같이 1을 곱한 거기 때문에 우리가 등식은 성립하는 겁니다 자 이번엔 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한대요 자 양변을 7로 나눴다고 해볼까요 우리 7로 나누면 여전히 성립하겠죠 우리 똑같은 수로 나누면 등식 성립하는 겁니다 자 주의해야 될 점은 0이 아닌 수입니다 영이 아닌 같은 수로 나눌 때에요 우리 영이 아니라는 거는 잘 기억해 두시기 바랍니다 자 그래서 요거를이 등식이 성질네 가지를 우리가 문자를 이용하여 식으로 나타내면 a랑 b랑 같을 때 a + c는 b + c가 성립하고요 왜냐a랑 b라고 원래 같았는데 똑같은 c를 더해도 등식이 성립하는 겁니다 자 똑같은 걸 빼도 성립하고요 똑같은 걸 곱해도 성립하고 똑같은 걸로 나눠도 성립을 합니다 이때 나눌 때 우리 0이 아닌 수라 그랬죠 우리 그래서 c는 0이 아니다 이렇게까지 달려 있어야 됩니다 우리요 4가지 식으로 나타낸 것까지 요것도 잘 기억해 두시기 바랍니다

자 그래서 이 등식의 성질을 이용하여 방정식을 풀 건데요 방정식을 어떻게 푸느냐 예를 들어서 지금 교재에 나와 있는 예시인 ex-1은 3을 가지고 한번요 방정식을 풀어볼게요 자 우리가 방정식을 푼다는 것은 결국에 x값이 무엇인지를 찾고 싶은 거예요이 방정식을 성립하게 하는 x값이 무엇인지를 찾고 싶기 때문에 우리가 좌변에 좌변에x만 남기고 싶습니다 자 그러면 우선 어떻게 하냐 좌변에 x만 남기고 우변엔 상수만 남기는 거예요 자 그러면 좌변에 지금 ex-1이 있기 때문에이 마이너스 1을 없애고 싶습니다 x만 남기려면 -1을 없어져야겠죠 자 그럼 -1을 없애려면 우리가 ex-1은 3이라는 등식에서 어떻게 해야 -1이 없어질까요 우리 양면에 똑같은 수를 더하거나 뺄 때 여전히 등식이 성립하니까 -1을 없애기 위해서는 양변의 1을 더해주는 겁니다 그러면 좌변은 ex가 되고요 우변은 4가 되죠 자 그럼 이번엔 좌변을 x만 남기기 위해선 x의 계수인 2가 사라져야 되고요 양변을 2로 나눠 주는 겁니다 이렇게양변을 2로 나눠주면 우리가 여전히 등식이 성립하기 때문에 요런 성질을 이용하는 거예요 그러면 약분 되고요 여기도 약분돼서 x는 2라고이 방정식의 해를 구할 수가 있는 거예요 자 그리고 어떤 x에 대한 방정식을 풀 때요이 등식의 성질을 이용하여 x는 숫자 요런 꼴로 바꾸어서 해를 구할 수가 있는 겁니다 우리가 어떻게 좌변에 x만 남기는지요 과정까지 완벽하게 연습해 주시기 바랍니다

자 그러면 우리가 이 방정식을 구하는 과정에서 아까 이용했던 예시를 좀 더 써볼게요 아까 ex-1은 3이라는 예시를 가지고 설명을 드렸는데 제가 여기서이 마이너스 일을 없애기 위해 좌변우변에 즉 양변에 1을 더했어요 양변에 1을 더했는데-1과 플러스 1이 계산해서 0이 되니까 2x는 3+1이라고 정리가 됐죠 자 그러면 우리가 이거를 조금 더 간편하게 해보자 이겁니다 조금 더 간편하게 볼 거고요 ex-1은 3이라는 식에서 2x는 3 + 1이 되는데요 -1을 좌변에 있는 -1을 우변으로 옮겨 준다라고 생각을 하는 거예요 옮겨 줄 때 우리가 그냥 옮겨주는게 아니라 부호를 바꿔서 옮겨 주는 겁니다 자 이렇게 우리가 항을 항을 다른 한쪽으로 옮기면서 부호 바꿔주는 것을 바로 이항이라고 해요 자 교재에 있는 내용 한번 읽어 볼게요 등식이 성질을 이용하여 등식의 어느 한 변에 있는 항을 부호만 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라고 한대요 자 여기에 있는 -1을 우리는 우변으로 보내고 싶으니까우변으로 보내주고 부호를 플러스 1로 바꿔주는 것을 이항이라고 하는 거예요 자 그러면 플러스 a를 이항을 할 때는 -a가 될 거고요 -a를 이항할 때는 + a가 되겠죠 자 우리 예시 하나만 더 해봅시다 4x+1은 -x-2에서요 저는요 마이너스 x를 이항을 먼저 시키겠습니다 자 -x를 이항을 해주면 넘겨올 때에 부호가 바뀌겠죠 원래 4x+1이었는데 -x가 넘어오면서 부호가 바뀐 플러스 x가 되는 거고요 자 이번에는 여기에 있는이 플러스를 반대쪽으로 넘겨 줄 건데 반대쪽으로 넘겨주면 좌변에는 4x+x만 남구요 우변에는 -1 - 2만 남게 됩니다 우리 +1에 부를요렇게 -1로 바꿔 줘야겠죠 자 이항할 때는 어떻게 된다고요 부호만 바꿔 준다고요 자 됐을까요

자 그러면 개념의 재해 한번 보도록 할 건데요 옳지 않은 것을 고르라고 했습니다 2분의 a가 b와 같으면 a는 1이래요 자 2분의 a가 b에서 a는 2b가 되려면 양변에 2를 곱해주면 되겠죠 그렇기 때문에 등식이 성질에 의해서 만들어진 시기니까 맞는 말입니다 자 2번 3a는 2b이면 2분의 a는 3b에요 자 우리 뒤에 있는 b는 신경 쓰지 말고요 3a가 2분의 a가 되려면 똑같은 수 육으로 나눠준 거죠 그러면 2b도 6으로 나눠 줘야 되는 거예요 그러면 2b를 6으로 나눴을 때는 3분의 b가 되는게 맞죠 그러면 양변을 똑같이 6으로 나눈 시기니까 요것도 맞습니다자 3번 보면요 -a가 b이면 5 - a는 B + 5래요 자 - a가 5 - a가 되기 위해서는 양변에 5를 더해주면 되고요 우변에 있는 b에도 똑같이 5를 더해주면 B + 5가 되겠죠 자 요것도 맞는 말입니다 자 우리 4번 보면요 우리 조건 복잡하니까 여기다 다시 셀게요 a가 3b이면 a가 3b랑 같으면 a - 3은 3의 b - 3과 같냐고 물어봤어요 자 우리 여기 있는 3의 b-3을 우리가 분배법칙을 이용하여 정리를 해주면 3b-9라고 나오고요 좌변은 a였는데 a 마이너스 3이 된 것은 3을 빼준 거죠 그러면 여기 있는 3b에도 우리가 똑같이 3을 빼 줘야 되는데 3을빼도 - 3B - 3이 나오는 것이지요 3B -9가 나오는 것이 아니기 때문에 요거는 옳지 않습니다 자 마지막 5번 이고요 자 5번은 a+b가 x+y =요 제가 이항을 할 겁니다 x를 좌변으로 이항하면 요식하고 다르죠 우리 다른 결과 나왔으니까 5번도 올지 않다라고 할 수 있습니다 따라서 답은 4번 5번이에요

자 그러면 넘어가 볼게요 자 필수 예제인데요 다음 중 밑줄 친항을 바르게 이항한 것은이라고 되어 있어요 자 1번에서-3을 이제 우변으로 넘겨주면 도어가 바뀌고 플러스 3이 돼야겠죠 + 3이 돼야 되는데 여기 마이너스 3이라고 되어 있습니다 바르게 이항한 것이 아니네요 자 여기 있는 -2x도 이항을 해주면 우리가 플러스 2x가 돼야 되는데 -2x라고 나와 있으니까 틀렸고요 자 3번에서요 플러스 x를 좌변으로 넘기면 -x가 돼야 되겠죠 요것도 아니고요 자 여기 플러스 2인데 우변으로 넘어갈 때 부호가 바뀌어서 -2가 돼야 됩니다 자 -2가 제대로 적혀 있죠 요거는 바르게 이항을 한 거네요 자 5번에서 플러스 1을 일단은 우변으로 넘겨주면 우변의 마이너스 1이 돼야 되고요 여기 있는 -x를 좌변으로 넘겨주면 플러스 x가 돼야 됩니다 여기 플러스 1의 부호만 틀렸죠 요거는 맞는데 여기가 플러스 1이 부호가 반대로 되어 있습니다요게 틀렸네요 따라서 답은 4번입니다

자 우리 필수 예제 하나 더 볼 거구요 자 a는 ca는 b이면 a + c는 b+c이다 요거는 맞나요 자 이거는 맞죠 똑같은 수 더해 준 겁니다 a+c가 B + c와 같으면 a는 b다라고 나와 있어요 자 얘는 어떻게 해준 거예요 양변에다가 - c를 해준 겁니다 양변에 c를 빼준 거예요 등식의 성질을 이용한 거니까 맞는 거고요 자 3번 a랑 b랑 같으면 a c는 bc다 똑같은 c를 곱한 거기 때문에 요것도 맞고요 자 4번 ac가 bc면 a는 b다라고 나와 있어요 얼핏 보면 맞는 것 같지만 요거는 틀렸습니다 왜냐면 우리가 ac가 bc에서 a는 b라고 나오려면 좌변 우변을 모두c로 나눠줘야 되는데 이때 c로 나눌 때 무슨 조건이 필요해요 영이 아니라는 조건이 필요합니다 영이 아니라는 조건이 있어야 양변을 똑같은 숫자로 나눠줄 수 있기 때문에 요거는 틀린 거예요 자 마지막 5번 볼 거고요 a랑 b랑 같으면 c분의 a는 c분의 b다라고 나와 있어요 근데 이때 똑같은 c로 나눴는데지가 0이 아니다라는 조건이 달려 있죠 요거는 맞는 복입니다 따라서 답은 4번이에요

자 여기까지 해서 우리 등식의 성질 모두 배워 봤구요 다음 시간에 이제 계속요 내용을 이용하여 우리가 배워 나가니까 오늘 배운 내용 꼭 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다