[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 문자와 식 - 일차방정식의 뜻과 풀이

자 이번 시간 배울 단어는 1차 방정식의 뜻과 풀입니다 자 우리 1차 방정식이라는 것을 배울 건데요 우선 우리가 방정식이라는 거는 지난번에 배웠었어요 방정식은 미지수의 값에 따라 3과 거짓이 달라지는 등식을 우리가 방정식이라고 배웠는데 우리는 그 방정식 중에서 1차 방정식을 배울 거예요

일단 1차 방정식이 무엇이냐 방정식 중에서 우리가 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이양을 하여 정리를 하였을 때 x에 관한 1차식은 0 꼴로 나오는 방정식을 우리가 1차 방정식이라고 해요 이런 형태겠죠 ax+b는 0 꼴의 형태입니다 자 이때 x라는 항이 계속 있어야 되기 때문에1차항이 존재해야 되기 때문에 우리가 a는 0이 아니라는 조건이 같이 있어야 됩니다 자 x가 사라지면 안 되는 거예요 이런 형태를 우리가 1차 방정식이라고 할 겁니다 자 예를 들어서 2x+3은 5 - 3x라면 우리는 우변에 있는 5-3x를 다 좌변으로 이항을 하면요 ex+3은 5-3x에서 2x + 4 자 5를 이항하면 뭐가 바뀌어서 -5구요 -3x를 이항하면 +3x가 되겠죠 그러면 2x + 3x = 5x고 3 - 5는 -2겠죠 자 이렇게 정리가 되었을 때 좌변이 x에 관한 1차식이면 x에 대한 1차식이면 우리는 요거를 1차 방정식이다라고 할 수가 있는거예요 자 x 제곱은 3x - 4골이라면요 요거를 지금 우변에 있는 3x-4를 모두 좌변으로 이양을 해주면 x 제곱 마이너스 3x + 4는 0골이 되는데 요거는 1차 방정식이 아니죠 자 요거는 아니고요 자 3x+1은 2 + 4x에서 우변에 있는 2+3x를 이항을 할 때요 3x가 좌변으로 넘어가면 -3x가 되는데 3x랑 -3x가 사라져서 -1은 0이 됩니다 자 요것도 1차 방정식이 아니죠 자 우리 두 번째 예시와 세 번째 예시가 이제 1차 방정식이 아닌 가장 대표적인 예시예요 요거는 2차항으로 인해서 1차 방정식이 아닌 거고 여기는 1차항이 없어서 1차 방정식이 아닌 거니까 이렇게 아닌 이유를 같이 알아두면 좋겠죠 자 참고적으로요 우리가 1차 방정식이라는 것이 꼭 x만 들어가야 되냐 그게 아닙니다 다른 문자를 쓸 수도 있어요 만약에 ey + 1은 0이라고 하면 좌변이 2y + 1은 요거는 y에 대한 1차식이기 때문에요 ey + 1은 0이라고 하면 y에 대한 1차 방정식이라고 할 수 있는 겁니다

자 그럼 넘어가 볼게요 다음 중 1차 방정식인 것을 모두 고르라고 했고요 우선은 하나씩 정리를 해보겠습니다 자 1번에서요 x-2는 3+x인데 우변에 있는 3+x를 모두 좌변으로 이항하면 x-2 - 3 -x는 0입니다 자 이때요 x와 -x는 사라지고요 -2와 -3을 하면 -5는 0이라고 나오죠 4밴이 x에 대한 1차식이 아니기때문에 요거는 1차 방정식이 아닙니다 자 2번은 1차 방정식이 아니죠 그냥 3x+1이라고 써 있는 거는 1차식이지 1차식인 것이지 1차 방정식은 아닌 겁니다 우리 방정식에는 등호가 들어가야 돼요 1차 방정식이 아니고요 자 3번 5-2x = 9라고 되어 있는데 9를 2항을 해주면 -2x+5 - 9는 0이죠 자 우리 요거 순서만 좀 바꿔 준 겁니다 교환 법칙으로 자 이렇게 됐을 때 -9를 계산을 해주면 -2x-4는 0이라고 나옵니다 그럼 얘는 1차 방정식이죠 요거 3번은 1차 방정식이 맞습니다 자 4번을 우리가 딱 봤을 때 1차 방정식이 아니라고 생각할 수도 있지만 우리가 우변에 있는 x제곱을 좌변으로 이항하면 -x 제곱이고요x제곱 즉 이차항이 사라집니다 자 -4x까지 좌변으로 이항하면 4x는 0이라고 정리가 되기 때문에 요거는 1차 방정식이 맞아요 자 마지막 5번은요 2의 1-x가 3 - 2x인데 2-2x = 3 - 2x고요 자 좌변으로 좌변으로 모두 이항을 해주면 - 3 + 2x에서 ex가 사라지니까 결론적으로 -1은 0밖에 안 남아서 요것도 1차 방정식이 아니죠 따라서 답은 3번하고 4번이 우리 1차 방정식이죠 넘어가 볼게요 자 그러면 우리가이 1차 방정식은 어떻게 푸냐 우리가 지난 시간에 예시로도 간단한 걸 풀어봤지만 우리가 조금 더 정리를 좀 해볼게요 일단은 계수의 소수나 분수가 있으면 우리가 조금 계산하기가 복잡하기 때문에양변에 적당한 수를 곱해서 계수를 정수로 고친대요 자 소수 같은 경우에는요 우리가 양변에 100 천 요런 숫자들을 곱하게 될 거고요 분수라면요 분수면 우리가 분모를 없애는 최소공배수를 양변에 곱해 줄 겁니다 자 그 다음에 괄호가 있으면 괄호를 풀어서 정리를 해주고요 우리 분배법칙을 쓰는 거겠죠 요거는 분배의 법칙입니다 자 3번은요 x를 포함하는 항은 좌변으로 상수항은 우변으로 이항한데요 우리가 결론적으로 좌변에는 x만 남기고 우변에는 상수만 남기고 싶으니까 우선 x를 포함하는 항은 좌변으로 상수항은 우변으로 이양을 해주는 거예요 자 그 다음에 정리해서 요렇게 ax는 B 꼴로 나타낼 수가 있어요 우리 1차 방정식이니까x의 계수는 0이 아니겠죠 자 그 다음에 x의 계수 a로 양변을 나누어서 최종적으로 해를 구해주면 됩니다 우리 여기서 양변을 a로 나눠주면 최종적인 해는 x는 a분의 B 형태로 해가 나오게 되겠죠 자 그럼 여기 예시를 제가 하나 해 볼 건데요 0.5의 x+2는 0.6x + 0.2라고 나와 있는데 지금 소수가 많이 나와 있죠 소수가 많이 나와 있으니까이 소수를 없애기 위해서 양변에 10을 곱해줍니다 10을 곱해주면 5의 x+2 요거는 6x+2라고 정리가 돼요 자 우리가 여기서 주의해야 될 점은요 우리 여기다가 지금 10을 곱하고 여기에다가 10을 곱한 것인데 여기는 0.6x와 0.2가 다른 항이기 때문에 집을 모두 곱해서 6x+2가 된 거고요 여기는 0.5의 x+2라 그러면 지금 하나의 항이에요 하나의 항 그래서 10을 여기다만 곱해주면 되는 겁니다 그래서 5의 x+2라고 나오기 때문에 자 분배법칙을 통해서 전개를 해주면 ox+10은 6x+2고요 우리가 x는 모두 좌변으로 넘겨주면 OX - 6x 2는 여기는 +10을 우변으로 넘기면 -10이 되겠죠 자 따라서 -x는 -8이 되고요 양변을 -1로 나누어 x의 계수가 -1이니까 -1로 나눠서 x는 최종적으로 8이라고 구할 수가 있는 겁니다 자 이렇게 우리 1차 방정식 푸는 거를 연습을 좀 몇 번 더 해 볼 거예요 우리 1차 방정식 푸는 개인적으로도많이 해주셔야 됩니다 복습하면서 자 넘어가 볼게요

자 개념 예제 볼 건데 다음 방정식의 해를 구하라고 했어요 그러면요 우리가 4분의 3x + 1은 - 4분의 2X + 7에서요 양변에 4를 곱해주면 양변에 4를 곱해주면 분모가 모두 사라지겠죠 그러면 3x + 4는 - x+28이 되는 거예요 자 이거 왜 이렇게 되는 거예요 양변에 4를 곱하는 거는 우리가 분배법칙으로 전개를 했기 때문에 이렇게 곱하고 이렇게 곱하고 이렇게 곱하고 이렇게 곱해서 전개하면 요게 되는 겁니다 자 x를 모두 좌변으로 옮겨 줄 거고요 옮기면 이렇게 되겠죠 여기는 상수는 우변으로 넘겨서 마이너스 4가 됩니다 따라서3x+x는 28 -4가 되고요 4x는 24니까 최종적으로 x는 6이라고 구할 수가 있어요 따라서 다음 방정식에는 x는 6이 됩니다 넘어가 볼게요 자 이번엔 필수 예제에 한번 풀어 볼 건데요요 방정식을 플라고 했네요 자 일단은 분모가 너무 많아요 우리가 분모를 모두 없애기 위해 6과 8과 3을 모두 없애는 숫자를 양변에 곱해 줄 거고요 우리 최소공배수인 24를 곱해주도록 하겠습니다 자 24일 6분의 x-2는 24의 8분의 5X + 3분의 5구요요 24를 이렇게 요렇게 곱해주면 됩니다 그러면 4x-48이구요 여기도 똑같이분배법칙으로 계산을 해주면 24 곱하기 8분의 5X + 24 곱하기 3분의 5죠 자 요거 약분해서 정리하겠습니다 이렇게 돼서 15x + 40이라고 정리가 되겠네요 자 우리 x는 모두 좌변으로 넘길 거니까 15x 넘겨주면 자 x-15x고 좌변에 있는 -48 넘겨주면 플러스 48입니다 따라서 이렇게 되고요 4x에서 15x 빼면 -11x고요 48에 40도 하면 88이죠 자 양면을 -11로 나눠주는 겁니다 그러면 x는 -11이니까 -8이라고 나오죠 따라서x는 -8이라고 나옵니다 자 우리 필수 예제 하나 더 풀어 볼게요 자 두 방정식의 해가 갔대요 자 그런데 뭐가 문제냐면이 두 번째 방정식의 a가 들어가 있어요 그래서 우리가 정확하게 이것만 가지고는 아직 해를 구하지 못해요 그래서요 방정식을 풀어서 해를 먼저 구해 줄 겁니다 그러면 4x-1은 x+8이고요 자 4x-x는 8+1로 바꿔서 3x는 9니까 x는 3이라고 구할 수가 있어요 자 그러면이 x는 3이라고 나온 해가 x는 3이라고 나온 애가요 방정식의 해와 같죠 자 우리가 해는요 대입해서 3이 되는 거니까 재입을 할 수가 있고요 대입을 해주면 -2 곱하기 3 +a는 -5 곱하기 3+2라고 나오니까 -6 플러스 a는 -15 + 2 즉 -13이죠 자 따라서 a는 -13 + 6이구요 a를 -7이라고 구할 수가 있습니다

자 여기까지 해서 우리가 1차 방정식의 특과 풀이 모두 배워 봤고요이 1차 방정식 푸는 거는요 앞으로 계속 나옵니다 계속 나오니까 정확하게 방정식 어떻게 푸는지 완벽하게 이해해 주시고 연습 충분히 해주셔야 돼요 문제 많이 풀면서 정말 금방금방 풀 수 있을 때까지 연습해 주셔야 됩니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다