[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 문자와 식 - 일차방정식의 활용

자 이번 시간 배울 단어는 1차 방정식의 활용입니다 자 우리 1차 방정식의 활용을 배우기에 앞서서 지난 시간에 배웠던 우리 1차 방정식 푸는 방법에 복습이 완벽하게 끝나져 있어야 됩니다 자 그거를 완벽하게 한 상태로 우리 활용을 들으시기 바랍니다 자 우리 활용 문제는요 학생들이 제일 어려워하는 1학년 1학기 단원 중에 제일 어려워하는 단원입니다 자 문제들이 조금 어렵구요 그 유형 몇 개를 좀 자세하게 설명을 할테니까 집중해서 잘 들어 주시기 바랍니다 우리 활용 문제라는 것은 어떤 방정식이 주어져 있는게 아니라요 어떤 상황이 주어져 있어요 그러면은 그 상황을 가지고 우리가 식을 세워서 그거를 풀어서 배를 구하는 겁니다 우리가 식을 식을 알고 있을 때 해를 구하는 것은 지난 시간에 했던 거고요 요거 자체는 어렵지 않습니다 뭐가 어렵냐 이 상황에 맞추어 식을 쓰는게 어려운 거예요 자 이거에 초점을 맞춰서 연습을 해 볼 거고요

우선이 활용 문제를 풀 때는 단계를 4단계로 나누고 있습니다 우선 미지수를 정해요 뭐를 x라고 할지 뭐를 x라고 할지 정하는 겁니다 이때의 x는요 우리가 구하는 값이라 구하는 값이나 모르는 값을 x라고 잡을 거예요 자 그 다음에 이 x를 가지고 방정식을 세웁니다 자 문제의 뜻에 맞게 x에 대한 1차 방정식을 세울 거예요 그 다음에 방정식을 풀면요 우리가 구하고 싶었던 또는 몰랐던 값 x를 구할 수 있게 되는데 이거를 최종적으로 맞는지 확인해 주시면 됩니다 자 우리 어려운 건 어디라고요 미지수를 정해서 방정식을 세우는게 어려워요

자 그러면 개념 예제 한번 해 볼게요 다음 문장을 방정식으로 나타내고 x의 값을 구하라고 했어요 어떤 수 x의 2를 더하여 두 배를 한 후에 4를 빼면 16이 된대요 자 x의 2를 더하면 x에다가 2를 더한 x+2겠죠이 값의 두 배로 하는 거예요 자 여기서 주의해야 되겠죠 뭘 주의해야 되겠어요 두 배를 하는데 이 x+2라는 값 자체의 도배를 하는 거기 때문에 우리가 괄호를 쳐서 2를 곱해줘야 됩니다 자 그 다음에 4를 빼면 그게 뭐가 된대요 16이 된대요 자 이렇게 방정식을 세우면 이거를 그대로 풀어주면 됩니다 자이 곱하기 2를 분배법칙을 통해서 전개를 해주면요 ex+4구요 자 이때 + 3 - 4 사라지니까 2x는 16이고 x는 8이라고 구할 수가 있습니다

자 넘어가 볼게요 자 우리 여러가지 공식을 이용한 1차 방정식의 활용인데요 우리가 여기가 어려운 유형들이 좀 많아요이 공식을 활용하는 공식은 당연히 외워 주셔야 되고요 우선 하나씩 보도록 할게요 연속하는 수래요 자 연속하는 수에 관한 문제를 풀 때는 우리가 그 수를 문자로 잡아 줘야 되는데 예를 들어서 연속하는 두 정수라 그러면 우리는 x 하나만 가지고 표현을 해야 됩니다 그렇기 때문에 하나를 x라고 잡아 놓으면 연속하는 부정수 중 하나를 x라고 잡아 놓으면 다른 하나는 x-1이라고 하면 그 정수보다 입이 작은 정수가 되겠죠 또는 하나가 x면 다른 하나는 x + 1이라고 잡아도 되고요 그러면 1이 큰 정수가 되겠네요 이런 식으로 1을 더하고 빼서 연속하는 두 정수를 우리가 문자로 잡을 수가 있습니다 자 연속하는 두 짝수 연속하는 두 짝수 또는 홀수는요 예를 들어 1 3 5 7 9라 그러면 우리가 홀수를 쭉 나열한 건데 몇을 더해 줘야 돼요 20 더 해줘야 되죠 다음 홀수가 되기 위해선 20 더 해주는 겁니다 또는 이식 빼줘야 되는 거예요이 빼줘야 되기 때문에 우리가 x-2의 x 또는 x의 X + 2라고 연속하는 두 짝수 또는 홀수를 문자로 잡아줄 수가 있습니다 자 연속하는 세정수는요 우리가 x-1 x x+1로 잡아주면 되겠고 가장 작은 거를 x라고 놓으면 x+1 x+2라고 잡아도 되겠죠 자 상관없습니다

자 마지막으로 연속하는 셋 짝수 또는 홀수인 경우에는요 우리가 차이가 2니까 x-2 x x + 또는 x x+2 x+4라고 잡아주면 됩니다 이렇게 미지수를 x로 하나로 하나를 가지고 연속하는 숫자들을 문자로 세워 주는 거예요 여기 기억해 주시기 바랍니다 자 이번엔 거리 속력 시간인데요 우리가 속력은 시간분의 거리로 구할 수 있고요 시간은 속력분의 거리 거리는 속력 곱하기 시간으로 구할 수가 있어요 자 그러면 요거는 우리가 공식을 어떻게 많이 외우냐면 이렇게 거리 그리고 밑에 속력하고 시간을 쓰면요 중력 시간 자이 그림을 외우면 우리가 속력은 시간분의 거리죠 그래서 이렇게 위아래로 있는 겁니다 자 시간도 마찬가지로동력분의 거리 위아래로 있죠 자 만약에 거리를 구하고 싶어요 그럼 나머지 두 개가 어떻게 되어 있어요 이렇게 곱의 형태입니다 나란히 있으니까 곱셈을 해서 구할 수가 있는 겁니다 자 이렇게요 그림을 이용하여 공식을 외워주시면 됩니다 자 5시간 동안 xkm를 달렸을 때의 속력은 우리 속력은 시간분의 거리죠 동력은 시간분의 거리니까 5분의 x로 구할 수 있고요 지속 5분의 xkm 자 시속 4km로 xkm를 가는데 걸리는 시간이라 그러면 우리 시간은 속력분의 거리니까 4분의 x 시간이라고 구할 수가 있어요 시속 6km로 x 시간 동안 달렸을 때 거리는 자 거리는 속력 곱하기 시간이니까 6x km입니다 그래서 이렇게 우리가 공식을 활용하여어떤 속력 시간 거리의 관계를 이용하여 나타낼 수가 있는 겁니다 자 그러면 넘어가 볼게요 자 우리 이번엔 소금물이 관한 공식을 배워 볼 건데 소금물에 농도는요 소금물의 양분의 소금의 한 곱하기 100으로 구하고요 조금의 양은 100분의 소금물의 농도 곱하기 소금물의 양으로 구한대요 자 이거 두 개 공식 완벽하게 외우고 있어야 됩니다 자 우리 소금의 양을 구할 때 쓰는 공식과 소금물에 농도를 구할 때 쓰는 공식이에요 우리가 소금물에 농도를 구하기 위해서는 소금의 양이 필요한데 그 소금의 양을 구하기 위해이 공식을 이용하는 경우도 있어요 그래서 두 가지 공식 모두 적절하게 활용을 해야 되기 때문에 공식 2개의 꼭 외워 주시기 바랍니다

자 밑에 있는 예시에서 우리 공식을 한번 활용해 볼 건데 물 240g에 소금 60g을 넣었을 때의 소금물에농도래요 우리 농도는 소금물을 양분에 소금물 분해에 소금의 양 곱하기 100으로 계산을 한다 그랬어요 자 소금 60g이니까 여기 소금을 우리가 구할 수가 있어요 자 그런데 소금물은 우리 소금물은 어떻게 구하냐 물 240g의 소금 60g이면 두 개 그대로 합쳐서 소금물은 몇 g이 있는 거예요 300g이 있는 겁니다 그래서 소금을 300g 따라서 300분의 60 곱하기 100이고요 요거 약분해서 계산해 주면 20%라고 구할 수가 있습니다 자 두 번째 5%의 소금물 200g에 들어있는 소금의 양은요 우리 소금의 양은 어떻게 구한다고 했어요 100분의 농도 곱하기 소금물이죠 그래서 100분의농도 곱하기 소금물로 계산해 주면 이렇게 10g이라고 구할 수가 있겠죠 자 그럼 밑에 있는 개념 예제 한번 해 볼 건데 우리 이제 거리 속력 시간 문제입니다 두 지점 ab사일을 왕복을 한대요 자 갔다 올 건데 갈 때는 시속 4km 시속 4km 올 때는 시속 5km로 온대요 자 그랬더니 총 2시간이 걸렸고요 총 2시간이 걸렸고 구하는 거는 AB 사이의 거리를 구하는 겁니다 자 AB 사이 거리를 x키로미터라고 우리가 미지수를 놓으면요 여기서부터 여기까지가 x키로미터인데 자 우리 총 2시간 걸렸다는 것을 어떻게 활용해야 되냐면 갈대 걸린 시간과 올 때 걸린 시간을 합쳐서 2시간이라고 하는 거예요그래서 요식을 우리가 x에 관해서 써주는 겁니다 자 그래서 숫자 2는 갈대 걸린 시간 우리 시간은 뭐예요 속력분의 거리죠 동력분의 거리 4분의 x고요 올 때 걸린 시간은 속력분의 거리니까 5분의 x겠죠 그래서 방정식을 이렇게 세워주면 되는 겁니다 자 이렇게 총괄린 시간을 갈대 걸린 시간과 올 때 걸린 시간이라고 합쳐서 우리가 구할 수 있다는 것을 활용할 수 있어야 돼요 문제에서 요거는 문제에서 정확하게 설명을 안 해주기 때문에요 내용을 기억해 주시기 바랍니다 자 그래서 우리가 새로운 방정식을 풀기 위해서 우리 요렇게 쓸게요 4분의 X + 5분의 x는 2고요 양변에 20을 곱해주면 ox+4x는 42 되겠죠 그래서9x는 40이니까 x는 9분의 40km라고 9분의 40이라고 구할 수 있으니까 a b 사이의 거리는 9분의 40km라고 구할 수가 있습니다 여기까지 됐을까요

자 그러면 첫 번째 필수예제 한번 보도록 할게요 연속하는 새 짝수의 합이 114래요 자 세 수 중에 가장 작은 수를 구하는 거니까요 자 이럴 때는 우리가 어떻게 식을 미지수를 잡아줘야 된다 그랬어요 가장 작은 수 x라고 놓으면 연속하는 새 짝수니까 x x + 2 x + 4라고 잡아주는 겁니다 자 요거를 모두 더해서 모두 더해서 114라고 식을 세우면 되고요 3x+6은 114니까 우리 6을 2항에서 3x는 108이죠 그래서 양변에 3으로 나눠주면x는 36이라고 나오게 됩니다 따라서 가장 작은 수는 36으로 구할 수 있겠네요 자 우리 두 번째 필수 예제구요 x 퍼센트의 소금물 240g에 물 60g을 더 넣었더니 12%의 소금물이 됐대요 자 x의 값을 구하는 건데이 12% 있죠 우리 12%를 구하기 위해서는 소금물 분의 소금 곱하기 100을 할 거예요 자 그럼 이때요 우리 지금 소금물이 몇 g인가 봤더니 소금물 원래 240g 있었는데 물 60g을 더했죠 그래서 새로운 소금물이 300g이 된 거예요 새로운 소금물이 300g이 됐어요 자 얘가 300g이기 때문에 우리는이 12% 소금물에 소금이 얼마나 있는지를 구할 수 있는 거예요 자 제가 이 소금물에 12%의 소금물에 들어있는 소금의 양을 a라고 하면요 조금 a라고 하면 우리는요 a를 구할 수가 있죠 약분해 주면 3분의 a가 10이기 때문에 양변에 3을 곱하면 36이라고 구할 수가 있는 겁니다 즉 소금은 36g 들어있는 거예요 자 그러면 우리가 지금 x%의 소금물 240g에 물 60g을 더 넣어서 소금물을 만든 것인데 이렇게 더 넣은 소금물에 소금이 36g 들어 있다는 얘기죠 자 그러면 우리가 지금 추가로 물을 넣었는데 물을 넣기 전 소금의 양하고 물을 넣은 후 소금에 양하고 변할까요 변하지 않습니다 똑같아요 그래서 x 퍼센트 소금물 240g이 들어있는 소금의 양이36g이다라는 걸 이용해서 우리 식을 세워주는 겁니다 소금의 양은 100분의 농도 곱하기 소금물이고요 약분해서요 5분의 12x는 36이기 때문에 자 양변을 12로 나눠주면 5분의 1x는 3이고 양변을 5로 곱해서 정리해주면 x는 15라고 나옵니다 따라서 답은 15예요 자 우리요 두 번째 필수의 조금 어려웠는데 우리가 12% 소금물에 들어있는이 소금의 양을 먼저 계산을 해서 x 퍼센트 240g이니까 요기 들어있는 소금의 양이 36g이다라고 해서 x를 최종적으로 구해준 겁니다 우리 요거는 한 두세 번 풀어가면서 복습해 주시기 바랍니다

자 오늘 1차 방정식 활용은 여기까지고요 여기는문제가 많이 어려워요 그래서 우리가 문제를 차근차근 공부를 하시는데 하나씩 풀 때 조금 더 꼼꼼하게 그리고 고민을 좀 많이 하면서 시간을 10분 20분 동안 고민을 하면서 문제를 풀어 주시기 바랍니다 자 오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다