[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 좌표평면과 그래프 - 좌표평면과 그래프

자 이번 시간에 배울 단어는 좌표 평면과 그래프입니다 우리가 오늘 순서쌍과 좌표 및 그래프 단원을 처음 배우게 되는데 앞으로 배우게 될 기본적인 용어나 개념들을 오늘 많이 배우게 될테니까 주의깊게 들어주시기 바랍니다

자 우선 우리 수직선 위에 점에 좌표에요 자 수직선이 하나 있다고 하겠습니다 수직선이 이렇게 있을 때 제가 여기에 0이라는 숫자를 쓰고 여기에 3이라는 숫자를 쓸게요 자 그런데 점이 있는 거예요 여기에 이렇게 점이 있어서 우리가이 점을 구분짓기 위해 점의 이름을 붙여줍니다 점의 이름을 붙여주는데 우리 그 점의 이름은 흔히 영어 대문자를 써서 나타내게 돼요 제가 요점에 이름을 5라고 할거고요 점의 이름을 a라고 할 거예요그러면 a의 a라는 점에 해당하는 숫자가 3이죠 이렇게 해당하는 숫자가 3인 걸 뭐라고 표현하냐면 점 a의 좌표가 그래요 저 메이의 좌표는 3이다 이렇게 표현을 할 수가 있습니다 자 요거를 기호로 나타내면요 점 a의 좌표가 3이라는 괄호를 쳐서 이렇게 나타낼 수가 있어요 그래서 이렇게 쓰면 점이 좌표는 3이다라고 표현을 하고 있는 겁니다 자 그리고 우리가 좌표가 0인 점을 좌표가 0인 점을 우리는 흔히 대문자 5를 써서 나타내고요 이거를 원점이라고 따로 부릅니다 자 이렇게 좌표가 0인 점은 대문자 5를 써서 표현하고 원점이라고 불러요 자 그 내용들이 지금 교재에 잘 정리가 되어 있죠 좌표는 수직선 위에 점이 나타내는 수를 그 점의 좌표라고 하는 것이고요 우리가 점 피해자 표가 a면기호로는 이렇게 나타내고요 원점은 좌표가 0인 점 우리 대문자 o를 써서 나타낸다까지 알아두시면 됩니다

자 그러면요 내용은 우리가 이제 예전에 좀 많이 접했던 내용과 겹쳐서 이해하는데 큰 어려움이 없었을 거예요 자 그런데 오늘 배울 내용은 이제 순서쌍이라는 겁니다 순서쌍이 뭐냐면 순서를 생각해서 두 수를 짝지어 나타낸 쌍입니다 자 숫자 2개를 짝짓는 거예요 예를 들어서 우리 1과 2를 짝짓고 싶으면 이렇게 괄호를 쳐서 1 2라고 씁니다 뭐 이런 것도 될 수 있겠죠 마이너스 3 요런 애들을 순서쌍이라고 해요 그러면 우리가 숫자가 하나일 때는 위에처럼 수직선 하나만 가지고 나타낼 수가 있었는데 이렇게 숫자 2개를 묶어 놓으면 우리가 이거를 표현하기 위해서 수직선 2개를사용하는 거예요 자 그거를 좌표 평면이라고 하고요 좌표 평면은 두 수직선을 점 5에서 서로 수직으로 만나게 그린 애를 좌표 평면이라고 합니다 자 오른쪽 그림을 보면요 요렇게 수직선이 가로로 하나 있고 이렇게 세로로 하나 있죠 이렇게 가로로 하나 세로로 하나 있는데를 좌표 평면이라고 하고요 두 수직선이 만나는 점이 바로 원점입니다 원점 x축 y축에 각각 수선을 내려이수선과 x축 y 축이 만나는 점이 각각 a랑 b이면 순서쌍 a 콤마 b를 점 b에 좌표라고 한대요

자 우리 요게 조금 잘 이해가 안 갈 수 있으니까 제가 쉽게 예시를 들어서 한번 설명을 해 볼게요 우리는 좌표 평면 위에 1을 표현을 할 겁니다 자 이때요 1 2에서 앞에 오는 숫자를 x 좌표라고 할 거고요 뒤에 오는 숫자를 y좌표라고 할 겁니다 앞에 오는게 x좌표고 뒤에 오는게 Y 좌표에요 자이 점을 제가이 점의 이름을 b라고 하면요 우리는 점 b의 x 좌표는 1이다 이런 식으로 표현을 할 수가 있는 거예요 자 아까 가로로 있는이 수직선이 x축이라고 했죠 그러면 x축 위에서 x좌표의 숫자인 1을 찾습니다 자 여기쯤이라고할게요 그리고요 뒤에 있는 y 좌표는요이 y축이 세로로 놓여 있는 수직선이라고 했죠 얘가 y축이니까 y축 위에서 y좌표를 찾는 거예요 2면 여기쯤 되겠네요 그러면 점피라는 애는 어디 있는 애냐 바로요 1과요 1과요 2가 만나는 요 점을 말하는 거예요 요점이 점피입니다 좌표 평면 위에 우리가 x좌표 y 좌표를 가지고 이렇게 표현을 할 수가 있어요 자 하나를 더해볼게요 제가 이번에는 -3 -1을 한번 표시를 해 볼게요 자 x좌표는 -3이니까 여기쯤에 표시될 거고요 -1은 y좌표니까 세로축에서 찾아서 여기라고 우리가 찾을 수가 있습니다 그러면-3과 -1이 만나는요 점이 바로 제가 2점 q라고 하겠습니다요 점의 좌표가 주인 거예요 자 이렇게 우리는 좌표 평면 위에 순서쌍을 표시를 할 수가 있습니다 자 그래서 그 내용을 지금 교재에 적어 놓은 거구요 우리 어떤 점피가 x축 y축의 수선을 내려서 그 수선이 x축 y축과 만나는 점을 ab라고 한다 했는데 요거는 이제 요점에서 수선의 발을 내린요 좌표가 1이고 요렇게 y축이 내린 수선의 발이 좌표가 2니까 이거를 가지고 좌표를 만들어낸다 이런 얘기입니다 자 같은 얘기를 하고 있는 거고요 우리 a를 자 p의 a 콤마 b에서 a를 점 b의 x좌표 b를 점 p y 좌표라고도 아까 설명을 했죠 이런 식으로 우리가 점을 순서쌍을 좌표평면 위에 표현할 수 있어야 됩니다

자 그러면 밑에 있는 개념 예제 한번 볼 건데요자 좌표평면 위에 5개이죠 abcde의 좌표를 기호로 나타내라고 했고요 점 a를 보면요 지금 요렇게 수선의 발을 x축에 내리면 요기가 -3이죠 그러면 x 좌표가 마이너스 3인 거예요 자 y 축의 수선의 발을 쭉 내리면요 점 몇이에요 3이죠 그러면 y좌표가 3인 겁니다 자 따라서 a라는 점의 좌표는 -3으로 나타낼 수가 있어요 자 비전도 한번 찾아볼까요 우리 이런 식으로 모두 찾아주면 됩니다이 점은 여기가 1이고 여기가 2니까 x좌표 y좌표 따라서 b는 1 2라고 나오고요 자 우리 c를 볼 건데 c는 지금 어디 위에 있어요 점씨가 x축 위에 있죠 x축 위에 있기 때문에 얘의 y 좌표를 찾으려고 수선의 발을내리면요 쭉 내리면 0이 되는 거죠 그러면 뭐가 0인 것이냐 x축 위의 점은 y 좌표가 0인 거예요 x축과 만나는 점이 바로 x 좌표가 되는 거예요 자 따라서 우리 점씨에서 아 x축 위 점은 x축 위의 점은 y 좌표가 0이구나 y 좌표가 0이구나 요거를 확인할 수가 있겠죠 자 그럼 점d는 지금 어디에 있어요 y축이 있죠 그러면 점 뒤에 x좌표가 0인 겁니다 자 그리고 y축과 만나는 점이 -3이기 때문에 0 -3이라고 구할 수 있겠네요 점 2는요 점 2는 이렇게 쭉 x좌표는 2고 y좌표는 -2라고 찾을 수 있죠 그래서 점이는 2입니다 여기까지 됐을까요넘어가 볼게요 자 4분면과 그래프인데요 자 4분 면이 뭐냐 4분면은요 좌표 평면을 우리가 내 부분으로 나눠서 각 부분에 이름을 붙여준 거예요 좌표축에 의해서 나누는 거고요이 좌표축에 의해서네 부분으로 나뉘어지는데 이때이 각 부분을요 오른쪽 그림과 같이 제1사분면 제2사분면 3사분면 제4사분면이라고 부릅니다 자 이렇게 좌표 평면이 x축 y 축에 의해서 하나 둘 셋네 부분으로 나뉘고요 자 반시계 방향이죠 우리 여기서부터 반시계 방향입니다 1사분면 2사분면 제 3사분면 제4사분면 이렇게 부를 거예요 자 각 4분면의 특징은요 제1사분면에서는 x와 y가 즉 좌표의 X 좌표와 Y 좌표가 모두 양수구요 제2사분면에서는 x좌표는 음수 y 좌표는 양수 제3사분면에서는 x좌표 음수 Y 좌표 음수 제4사분면에서 x 좌표 양수 Y 좌표 음수라고 찾아낼 수가 있습니다 자 추가적으로 좌표축 위에 있는 즉 x축 또는 y축 위의 점은 우리가 어떤 4분면에 속한다고 할 수가 없습니다 자 예를 들어서 만약에 2-3이면 2 -3이면 x 좌표 2니까 여기쯤 있을 거고요 여기쯤 있을 거고 Y 좌표 마이너스 3이니까 여기쯤 있을 거예요 그러면 만나는 요점이 2 -3의 위치고요 우리가 몇사분면에 있다는 걸 확인할 수 있어요 제4사분면 위에 있다는 거를 확인할 수가 있습니다 실제로 x좌표는 양수 y 좌표는 음수라고 나오죠우리 x축에 대해 대칭인 점의 좌표를 찾을 건데 제가 여기에 1사분면에 a b가 있다고 할게요 이렇게 a 콤마 b가 있습니다 [음악] x좌표의 부호가 바뀌어서 마이너스a 콤마 b라고 나오는 거예요 자 마지막으로 원점대칭을 시킬 거고요 원점에디 대칭 이동을 시키면요 점이 이렇게 가요 이렇게 와서 좌표가 몇 콤마 몇이 되어 있느냐 바로 -a-b가 되는 거예요 x좌표와 y 좌표의 부호가 모두 바뀌게 됩니다

자 이번엔 그래프인데요 자 우리 그래프를 알기 위해선 변수라는게 뭔지 알아야 됩니다 자 변수는요 xy와 같이 여러 가지로 변하는 값을 나타내는 문자를 말해요 자 제가 예시를 들 건데요 철수가 자전거를 타고 있어요 자전거를 타면서 속도가 계속 변할 거고요 그 시간에 따른 속도가 변한다고 할 겁니다 그래서 이때의 시간을요 저는 x라고 할 거고 속도를y라고 할 겁니다 이렇게 철수가 자전거를 타고 있을 때 여러가지로 변하는 시간과 속도 같은 이런 문자를 우리가 변수라고 해요 그러면 이거를 어떻게 표현을 할 거냐 그거는 그래프를 이용하는 겁니다 주변 수사이의 관계를 좌표 평면이 그림으로 나타낸 거래요 우리가 시간을 x라고 하고 속도를 y라고 하면요 이거를 좌표평면 위에 나타낼 건데 여기가 시간이고 여기가 속도겠죠 속도가 y고 시간이 있으니까 자 시간에 따른 속도니까 그래프를 다양하게 그릴 수 있지만 저는 요렇게 그려볼게요 이렇게 이렇게 시간과 속도 사이의 관계를 우리 좌표 평면 위에 그래프로 나타낼 수가 있습니다 자 그러면 우리가 그래프가 왜 중요하냐이 두 변수 사이에증가와 감소 등의 변화를 쉽게 파악할 수가 있습니다 자 여기 보면요 여기에서는 시간이 지나면 더 속도가 빨라지고 있는 거죠 왜냐 속도가 y 좌표인데 y좌표가 점점 커지고 있어요 그래서 점점 증가하고 있다가 2구간에서는 여기에서는 시간이 흐름에 따라서 속도가 어떻게 되고 있어요 감소하고 있죠 이렇게 증가 감소를 우리가 쉽게 파악할 수 있고요 두 변수 사이에 변화에 빠르기도 쉽게 파악을 할 수가 있습니다 우리가 얼마나 빠르게 변하는지 숫자를 알고 있으면 변화에 빠르기도 확인할 수 있겠죠 자 그러면 여기까지 하고 뒤로 넘어가 볼게요

자 그러면 개념 예제 한번 보도록 할 건데 다음 중 점유자표와 그 점이 속하는 4분 면이 다르게 짝지어진 것을 모두 고르라고 했네요 자 이렇게 좌표평면 있고요우리가 여기가 제1사분면이고요 제 1사분면 제가 숫자 1만 쓰겠습니다 제2사분면 3사분면 제4사분면이에요 자 제 1상면에서는 x좌표 Y 좌표 모두 양수구요 제 2사분면에서는 x좌표 음수 Y 좌표 양수겠죠 제3사분면은 둘 다 음수구요 제4사분면은 x좌표 양수 Y 좌표 음수라고 했습니다 우리요 내용 외우고 있어야 돼요 자 그러면 보기 하나씩 볼 거고요 2 5가 제1사분면에 속하냐고 했는데이 콤마 5는 x좌표 y좌표가 모두 양수죠 그러면 제 1사분면에 속하는게 맞습니다 자 2번 -3 -7인데 좌표가 둘 다 음수죠 x좌표 Y 좌표 모두 음수인 건 제 2사분면이 아니라 제 3사분면입니다 자5 x좌표 양수 Y 좌표 음수니까 제4사분면에 속하고요 요게 아니라 4사분면이고 자 0 콤마 4는 지금 x좌표가 0이네요 그러면 어디 위에 있다 그랬어요 y축 위에 있는 겁니다 y축 위에서 y좌표가 사인 여기에 0 콤마 4가 있겠네요 그러면 어떤 4분 면에 존재하는 것이 아닙니다 자 마지막으로 -2 6은 x좌표 음수 Y 좌표 양수니까 제 2사분면에 속하는 거고요 5번도 답으로 체크해 주면 되겠네요 따라 4분 1번하고 5번입니다

자 필수 예제구요 두 점 a+4 콤마 -8하고 -3 b-1이 y축에 대하여 대칭이래요 자 y축에 대하여 대칭이라 그랬으면 우리는 x좌표에x좌표의 부호가 만들어라 그랬죠 x좌표의 부호가 반대이기 때문에 우리요 a+ 4랑 -3이랑 하나의 부호를 바꾸면 파져야 돼요 따라서 a + 4는 마이너스 3의 부호를 바꾼 3과 같고요 따라서 우리 a는 마이너스 1이라고 찾을 수 있습니다 자 이때 y 좌표는 어때요 y 좌표는 같아야 되죠 따라서 b-1은 -8이니까 b는 -7이라고 구할 수가 있습니다 따라서 a+b의 값은 -8이라고 나오게 되겠네요 여기까지 됐을까요 자 두 번째 필수 예제고요 물을 끓이기 시작한지 x분 후에 물의 온도를 y도라고 하는데 x와 y 사이의 관계를 그래프로 나타내면 이렇게 생겼대요 자 6분 후 물의 온도를 찾으라고 했고요 6분 후라 그랬으니까이 6분을 어디서찾으면 돼요 x가 6인 거죠 x가 6인 거니까 그때의 y좌표를 찾아주면 되는 겁니다 그때의 y 좌표값 몇이에요 70이죠 따라서 우리 6분 후에 물의 온도는 70도라고 그래프 이용해서 찾아 줄 수가 있습니다

자 여기까지 해서 우리 좌표 평면과 그래프 내용은 모두 마쳤고요 여기도 정말 새로운 용어나 어떤 개념적인 것이 정말 많이 나왔으니까 우리 복습할 때 꼼꼼하게 외워주실 거 외워 주시고요 이해가 안 간 부분은 강의 다시 돌려가면서 완벽하게 이해해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다