[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 좌표평면과 그래프 - 정비례

이번 시간 배울 단어는 정비례입니다 자 우리 정비례에 관해서 배울 건데요 우선이 정비례가 무엇이냐 우리가 정비례 관계라고 하는데요 두 변수 XY 사이에 어떤 관계를 정비례라고 합니다 자 어떤 관계를 정비례라고 하냐 x의 값이 2배 3배 4배 이렇게 될 때 y의 값도 똑같이 2배 3배 4배가 되는 관계가 있으면 우리는 y는 x의 정비를 한다라고 말을 할 거예요 자 정비례 관계는 x의 값이 2배 3배 4배가 되면 마찬가지로 y의 값도 2배 3배 4배가 되는 관계를 말해요

자 밑에 예시가 써 있는데x의 값이 1 2 3 4일 때 일을 기준으로 1을 기준으로 y의 값이 만약에 2였어요 자 x의 값이 두 배로 커지면 y의 값도 두 배로 커지고 x의 값이 3배로 커지면 y의 값도 3배로 커지고 x의 값이 4배로 커지면 y의 값도 4배로 커지는 이런 관계를 우리는 정비례 관계라고 하고 y는 x의 정비를 한다라고 합니다 그러면 이런 관계를 우리는 식으로 어떻게 나타낼 수가 있냐 y는 ax 꼴로 나타낼 수가 있습니다 자 정비를 관계면 이렇게 쓸 수가 있는 거예요 자 여기서 지금요 관계에서 x가 1일 때 y가 2이기 때문에요 식의 x에다 1을 넣고 y에다 2를 집어넣으면2는 a 곱하기 1이구요 자 그래서 요거를요 다르게 표현하면 요렇게도 표현할 수 있어요 x값에 대한 y 값의 b 즉 x분의 y가 항상 a로 일정하다 그래서 x분의 y는a 꼴로도 표현할 수 있습니다 자 그래도 우리는 요렇게 y는 ax의 형태를 더 많이 쓸 거예요 그래서 정비례 관계다 그러면 우리는 가장 먼저이 y는 ax라는 식을 떠올리면 됩니다 자 그래서 우리의 y는 ex에서는 x분의 y가 우리 여기 있는 숫자들을 집어넣으면 1분의 2/2 모두 2로 일정하게 되죠 자 그래서 여기까지 우리 정비례 관계 이해됐을까요 자 가장 중요한 건 뭐라고요 요 식이라고요 오늘 여기까지고 계속 설명을 이어갈 겁니다

우리가 정비례가 아니죠 자 릴을보겠습니다 이번엔 y는 4x고요 y는 ax 꼴이 맞네요 자 y는 3분의 x라고 되어 있는데 얼핏 보면 아니라고 생각할 수도 있지만 3분의 1 x와 같기 때문에 요거는 정비례 관계가 맞습니다 자 요거는 정비례 관계가 아니죠 따라서 기업 리을 리움 이렇게 세 개가 정비례 관계입니다 자 넘어가 볼게요 자 이번엔 정비례 관계의 그래프인데요 우리 정비례 관계라는 것은 두 변수 XY 사이의 관계가이 y는 ax의 형태로 표현되는 것을 정비의 관계라고 할 수 있어요 그랬을 때 우리 여기 a가 0이 되면 안 됩니다 자이 y는 ax의 형태로 표현되는게 정비례 관계인데 이거를 좌표 평면 위에 표현을 해보고 싶어요 표현을 하고 싶은데 예를 들어서 y는 2x에y = 2x의 정비례 관계를 좌표 평면 위에 표현을 한다고 합시다

자 그러면 우선 우리 y는 ex를 표현하기 전에 몇 가지 순서쌍을 찾아서 몇 개의 순서쌍을 찾아서 먼저 표현을 해보도록 할 거예요 자 x에다가 0을 집어넣으면 우리 여기에다 0을 집어넣으면 y는 0이라고 나오죠 자요 점을 지나는 겁니다 0이니까이 0이라는 점을 얘가 지나는 거예요 자 x에다가 1을 집어넣으면 y가 2라고 나오고요 즉 1 2라는 점이 1 2라는 점이 y는 2x라는 정비례 관계의 한 점입니다 자 이번엔 x에다가 -1을 집어넣을 거예요 그러면 y는 -2라고 나오고 순서쌍-1을 지나는 거고요 -1 -2를이 정비를 관계가 지나는 거예요 자 그런데요 점 세 개만 지나냐 아니죠 우리요 x 값에 정수 0과 1과 -1을 집어넣었지만 그 사이에 있는 숫자들도 얼마든지 집어넣을 수 있고요요 사이에 있는 걸 집어넣으면 뭐 여기쯤 진하겠죠 자 그래서 우리 x값의 범위가 수 전체면요이 y는 2x라는 정비례 관계의 그래프는 이런 형태로 직선의 형태로 그려집니다 자 직선의 형태로 그려지는 거예요 자 그래서 어떤 특징이 또 있냐 y=ax 꼴이라면 x에다 0을 넣었을 때 y가 항상 0으로 나오기 때문에 원점의 항상 지나는 거예요 그래서y = ax는 원점을 지나는 직선입니다 자 요거의 그래프를 그리면 원점을 지나는 직선이구나 그렇게 알고 있으면 됩니다 자 아까 y는 2x라는 그래프를 그려봤는데 이번에는 y는 -x라는 그래프를 그려 볼게요 자 x에다가 0을 넣으면 y에다가 y가 0이 나와서이 원점은 항상 지나는 거고요 x의 다 1을 넣으면 y가 -1이니까 1 - 1을 지나는 거예요 즉요 점을 지나죠 -1을 집어넣으면 y가 1이니까 -1도 지나는 거죠 -1도 지나요 그래서 y는 -x는요 직선이고 원점 지나는데 그래프의 방향이 조금 다르죠 우리가 아까는오른쪽 위로 갔다면 이번 그래프는 오른쪽 아래로 오른쪽 아래로 향하는 직선이 되는 겁니다

자 그래서요 특징들을 한번 좀 정리해 보도록 할게요 요 와인은 ax 꼴에서 이 a의 a의 부호에 따라서 그래프가 다르게 그려지게 되는데 요렇게 y는 2x 같은 경우는 a가 양수일 때죠 a가 양수일 때는 그래프가 1사분면과 제1사 문명과 제3사분면을 지나고요 요렇게 생기는 겁니다 자 어디로 향한다고요 오른쪽 위로 향한다고요 자 x값이 증가하면 Y 값도 증가한데요 그래프가 오른쪽 위로 간다는 거는요 점 두 개를 잡았을 때요 점과요 점을 잡았을 때이 점에서이 점으로 올라면 x의 값이 여기에서 여기로증가하는 거죠 그랬을 때이 y의 값도 여기서 여기로 증가하는 거예요 그래서 x값 증가하면 Y 값도 증가한다 자 그리고 x에다가 1을 집어넣으면요 식에다가 x는 1을 대입하면 y는 a라고 나오겠죠 그래서 1 a라는 점도 지나게 됩니다 자 a가 음수일 때는요 a가 음수일 때는 그래프가요 그래프처럼 이렇게 그려져요 자 어디를 지나요 원점 지나고요 제 2사분면과 제4사분면을 지나는 겁니다 자 그래프의 방향은 오른쪽 아래를 향하는 직선이고요 x의 값이 증가하면 Y 값은 감소한대요 자 아까처럼 점 두 개를 잡으면 요 이 점에서 이 점으로 갈 때 x 값은 증가를 했어요 하지만 y 값은감소를 했죠 그래서 x값이 증가하면 Y 값은 감소하는 것까지 확인할 수 있고요 마찬가지로 1 a라는 점은 지나게 됩니다 자 우리 그래프가 지나는 점을 우리가 어떻게 활용을 해줘야 되냐 만약에 그래프가 점 P 콤마 q를 지난다고 하면이 정품 피코마큐가 그래프 위에 있다라고 하면 자 두 가지 표현 모두 우리는 어떻게 활용을 해 줄 거냐 XY 사이의 관계식 즉 y는 ax의 형태에다가 x는 p y = q를 대입을 해서 등식이 성립하게 됩니다 자 그래프가 점 P 콤마 q를 지난다 점핑 콤마 q가 그래프 위에 있다 그러면 여기다가 그대로 대입을 하면이 등식이 성립하는 거예요 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요 개념 이제 볼 건데 정비를 관계 중에 그래프가 제 2사분면과 제4사분면을 지나는 것을 모두 고르라고 했는데요 제 2사분면과 4사분면을 지나는 정비례 관계는요 y는 ax의 형태에서 a가 음수인 거죠 그렇기 때문에 우리 1 2 3 4 5번 중에 a가 음수인 즉 x의 계수가 음수인회를 골라주면 4번하고 5번입니다 따라서 답은 4번하고 5번이죠

자 필수 예제 볼 건데 정비례 관계의 y는 6x의 그래프에 대한 설명으로 옳지 않은 것은이라고 물어봤고요 자 1번 원점을 지난다고 했네요 자 원점은 지나요 자 x에다가 0을 집어넣고 우리가 x에다 0을 집어넣으면 y가 항상 0으로 나오기 때문에 0은 항상 지나는 점이라고 했습니다 원점 지나는 거 맞구요 자 전 -6을 지난다라고 했는데 개입을 해보는 겁니다y에다가 -6을 넣고 x에다가 -1을 집어넣으면 똑같이 마이너스 6이라고 나오죠 자 그러면 지나는 점이 맞습니다 지난다라고 했는데 지금 a가 양수기 때문에 x의 계수가 양수기 때문에 얘는 몇사분면과 몇사분면을 지나요 제1사분면과 제3사분면을 지나는 정비례 관계의 그래프입니다 따라서 옳지 않은 것은 3번이네요 x값이 증가하면 Y 값도 증가한다 우리 요거 a가 양수일 때의 특징 맞죠 오른쪽 위로 향하는 직선도 맞습니다 따라서 답은 3번이에요 자 우리 필수이자 하나 더 볼 건데 다음 그래프가 나타내는 식을 구하라고 했어요 자 그래프가 지금은 어떻게 그려져 있냐면 원점을 지나는 직선이에요 원점을 지나는 직선이니까 y는ax의 그래프고요 이때 여기 지금 4랑 3이 있는데이 4랑 3이 만나는 요점 몇 콤마 몇이에요 4 콤마 3이죠이 4 3을 4 콤마 3을이 y = ax가 지나고 있죠 우리 지나는 점은 어떻게 할 수 있다고요 대입할 수 있다고요 그러면 y에다가 3을 집어넣고 x에다가 4를 집어넣으면 4a는 3이구요 a의 값을 구하기 위해 양변을 4로 나눠주면 a는 4분의 3입니다 따라서 그래프가 나타내는 식은 y는 4분의 3x예요 우리가 이렇게 지나는 점을 어떻게 할 수 있다고요 직접 대입할 수 있다고요 대입할 수 있다는 거 대입할 수 있다는 거 꼭 기억해 두시기 바랍니다

자 여기까지 해서 우리 정비례 관계에 관해 모두 배워 봤고요 우리가 정비례 관계는 이제계속 나오게 되니까요 오늘 배운 내용 꼼꼼하게 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다