[수학대왕] 중학수학1-1 개념강의 : 좌표평면과 그래프 - 반비례

자 이번 시간 배울 단어는 반비례입니다 자 우리가 반미례를 배울 건데 지난 시간에 정비례를 배웠어요이 정비례와 반대되는 것이 반비례입니다

자 그러면 정확하게 어떤 것이냐 두 변수 x와 y 사이에 x의 값이 두 배 세 배 4배로 커질 때 y의 값은 거꾸로 2분의 1배 3분의 1배 4분의 1배가 되는 관계를 우리는 반비례 관계라고 해요 그리고 이거를 y는 x의 반비례한다라고 표현을 할 수가 있습니다 자 예를 들어서요 우리 x의 값이 1이고 그때 y 값이 10이라고 할게요 그런데 x의 값이 2배 3배 4배로 커져서각각 2 3 4가 됐을 때 y의 값은 어떻게 변하는 거냐면 거꾸로 2분의 1 배 돼서 6이 되고 3분의 1배 돼서 4가 되고 4분의 1배 돼서 3이 되는 요런 관계를 우리는 반비례 관계라고 해요 그리고 y는 x의 반비례한다라고 표현을 합니다 그러면 이런 반비례 관계에서는이 관계식이 어떻게 나오느냐 우리 정비례에서는 y는 ax의 형태로 나왔었죠 반비례는요 y는 x분의 a의 형태로 관계식이 나옵니다 자 이때 a는 0이 되면 안 돼요 자 그러면이 밑에 있는 예시는 밑에 있는 예시는 어떤 관계식이냐 우리요 y는 x분의 a가 반비를 관계식이니까요 a값만 찾아주면 정확한 관계식을 찾을 수 있는 거죠 x가 1일 때y가 12라고 했으니까 x에다 1을 집어넣고 y에다 11을 집어넣으면 a는 12이기 때문에 어떤 관계식이라고 정리가 되는 거예요 y는 x분의 12라고 관계식이 나오는 겁니다 자 우리 반비례 관계다 그러면 y는 x분의 a의 형태로식이 나오지만 a값은 달라질 수 있는 겁니다 a값에 따라 어떤 반비례 관계인지가 결정되는 거예요 자 그러면 이런 반비례의 관계식에서 어떤 성질을 우리가 찾아낼 수 있냐면 xy의 값은 항상 a로 일정하다라고 우리가 찾을 수가 있어요요 와인은 x분의 a라는 관계식에서 양변의 x를 곱해주면 xy는 a라고 나오죠 즉 x와 y를 곱했을 때 어떤 숫자로 똑같이 결과가 나오는 거예요

자 우리 아까 예시로 들었던요 1이랑 12를 곱해도 12가 나오고요 1항6을 곱해도 12가 나오고 3이랑 4를 곱해도 12가 나오고 4랑 3을 곱해도 12가 나오죠 바로 이게 반비례의 성질이에요 자 그래서 y = x분의 12가 위에 있는이 반비례 관계식이라고 했고요 양변의 x를 곱해서 xy는 항상 12라는 숫자로 일정한 겁니다 자 그래서 반비례 관계식하고 반비례의 성질을 나타내는 시까지 두 개 잘 기억해 두시기 바랍니다

자 넘어가 볼게요 자 그럼 개념인지 한번 볼 건데요 우리 y가 x의 반비례하는 것을 모르고르라고 했어요 우리 반비례 관계는요 어떤 식을 만족해요 y는 x분의 a라는 관계식을 만족을 하죠 자 그러면 기역은 반비례 관계가 맞나요 자 이거는 정비례 관계죠 니은도 정비례 관계고요 자 디귿은 우리 반비례의 성질을 나타내는 시기죠양변을 x로 나누면 y는 x분의 -4라서 우리 반비례 관계식도 찾아낼 수 있고요 요식은 반비례 성질을 나타내는 거니까 디귿은 반비례가 왔습니다 자 리을은 우리 아니고요 미음은 y는 마이너스 x분의 1이니까 요거는 요렇게 표현이 되죠 자 그래서 반비례 관계식으로 표현이 가능하니까 요거는 반비례가 맞습니다 자 비읍은 반비례가 아니죠 양변에 x를 곱하면 y는 3x이기 때문에 반 미래가 아닙니다 따라서 반비례는 비극과 미음 두 가지죠 이렇게 골라 주시면 됩니다

자 이번엔 반비례 관계의 그래프인데요 우리가 정비례 관계를 좌표 평면 위에 그래프로 표현했듯이 반비례 관계도 한번 그래프로 표현을 해 보도록 하겠습니다 자 우선요 우리는 이 와인은 x7의 a의 그래프를 그릴 건데 우리가 여기서 일단 a가 0이면 안 되고요 우리 x에다가 집어넣을 수 있는 숫자가 수 전체가 아니에요 뭐를 하나 빼야 되냐 0을 제외를 해야 됩니다 0을 제외한 수 전체에서 그래프를 그릴 거예요 왜냐하면 분모의 x가 있기 때문에 x가 0이 될 수 없겠죠 그래서 0을 제외한 수전체에서 그래프를 그릴 건데 자 예를 들어서 y는 x분의 1이라는 그래프를 그려보겠습니다 자 x에다가 1을 집어넣으면 몇이 나오나요 x에다가 1을 집어넣으면 y가 1이 나오죠 즉 1이라는 점을 지나는 그래프고요 x에다 만약에 2를 집어넣으면 y는 1/2이 나옵니다 그래서 여기는 2분의 1을 지나요 자 2면 여기고요 2분의 1은 여기쯤 되겠죠 이렇게요 점을 지납니다자 우리가 요거를요 면역을 해서 x y는 1이라고 했을 때 x에다가 2분의 1을 집어넣으면 y가 몇이 나와요 2가 나오죠 그래서 1/2라는 점도 지나기 때문에요 점을 지나요 이렇게 생긴요 점을 지납니다 자 그러면 우리가 요거는 x에다가 몇 가지 숫자만 집어넣은 거고 연속한 숫자들을 집어넣었을 때 그래프가 어떤 형태로 그려지냐면 요렇게 생긴 그래프가 그려져요 그리고 x에다가 음수도 집어넣을 수 있기 때문에 음수를 집어넣는 경우에는 그래프가 이렇게 그려져요 자이 그래프는 어떤 특징이 있느냐 우리가 제일 중요한 특징이 뭐냐면 이게 가까워는 지는데 그래프가 이렇게 쭉 내려가면서 x축과 가까워는 지는데 만나지는 않아요 우리가 이렇게 가까워는지는데 만나지 않는다는 것을 알고 있어야 됩니다 자 이쪽 방향으로도 가까워는 저요 y축하고 가까워하는 지는데 만나지 않는 겁니다 자 이쪽도 만나지 않고요 일로 가도 만나지 않습니다 우리 x축 y축과 계속 가까워지지만 만나지 않는다는 거 그 내용을 꼭 기억해 두시기 바랍니다 자 그래서 제가 지금 a가 양수일 때요 그래프에서 a가 양수인 y는 x분의 1의 그래프를 그려봤구요요 내용을 정리를 하면요 우선 그래프는 요렇게 그려져요 이렇게 곡선의 형태로 이렇게 이렇게 그려지고요 a가 양수일 때는 제1사분면과 제3사분면을 지난다는 거 알고 있어야 됩니다 그리고 그래프가 이렇게 가면 요점에서 자 요 점에서 요 점까지 온다고 했을 때 x좌표는 어떻게 돼요 증가하죠그런데 y 좌표는 어떻게 되고 있어요 감소하고 있습니다 그래서 x좌표는 증가하지만 y 좌표는 감소한다요 내용까지 같이 기억해 두시기 바랍니다 자 우리가 a가 음수일 때는요 그래프가 어떻게 그려지냐면 이렇게 그려집니다 제2사분면과 제4사분면에 그래프가 그려져요 제2사분면과 4사분면이 그래프가 그려지고요 점에서이 점까지 온다고 했을 때 x좌표는 증가하고 그때 y 좌표도 증가하게 됩니다 그래서 a가 음수일 때는 x 값이 증가할 때 y 좌표도 증가한다요 내용까지 기억해 주시면 됩니다 자 두 그래프는 공통적으로 좌표 축이 점점 가까워지면서 한없이 뻗어나가는 한 쌍의 곡선이다 좌표축에 가까워지지만 만나지 않는다는 거 우리 그 내용까지 같이 봐주시기 바랍니다 넘어가 볼게요

자 개념예제 볼 건데 반비례 관계에와인은 -x6의 그래프에 대한 설명으로 옳지 않은 것은이라고 되어 있어요 자 첫 번째 한 쌍의 곡선이다 우리 그래프는 한 쌍의 복선으로 그려지죠 원점을 지나지 않는다 자 우리 정비례와는 다르게 y는 x분의 a 골의 그래프는 원점을 지나지 않습니다 요것도 맞는 말이고요 전 - 12를 지난다라고 했는데 요거는 대입을 해봐야 되죠 x에다가 -12를 집어넣으면 y는 - 12분의 6이고요 요거는 마이너스 12분의 -6과 같은데 분모 분자를 똑같이 마이너스 6으로 나눠 줄 거예요 그러면 2분의 1이 나오죠 따라서 - 12분의 1을 지나는 그래프고요 요거는 틀렸네요 따라서 답은 3번이에요 자 4번 제 이사분면과 제4사분면을 지난다고 했는데 우리 요거는a가 음수인 반비례 그래프기 때문에 제 2사분면과 4사분면을 지나는 거 맞구요 x축 y축과 만나지 않는다고 했죠 한없이 가까워지지만 만나지 않는 겁니다 따라서 답은 3번이에요

자 우리 필수 예제 볼 건데 반비례 관계 y는 x분의 a의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르라고 했어요 하나씩 볼게요 자 원점 지나는 거 맞나요 자 우리 원점을 안 지난다고 했습니다 1번 아니고요 3a를 지난다고 했는데 x에다가 3을 집어넣으면 y는 1/3이기 때문에 3 콤마 3분의 a라는 점을 지나는 겁니다 a가 0보다 크면 즉 양수이면 x가 양수인 범위에서 x값이 증가할 때 y 값은 감소한다라고 했어요 자 a가 양수면 그래프가 제1사분면과 3사분면에 존재해서 여기에 생기고요 x가 양수인범이라는 건요 부분을 말하는 거죠요 부분 여기를 말하는 겁니다 여기는 여기를 말하는 거예요 자 x값이요 점에서 요점까지 온다고 했을 때 증가하면 Y 값은 감소하니까 3번은 맞는 말이죠 자 4번 a가 음수이면 자 그러면 그래프가 이렇게 생긴 거죠 a가 음수이면 요렇게 요렇게 제 이사분면과 제4사분면을 지나는 거 맞네요 자 a의 절댓값이 클수록 원점에 가깝다라고 했는데 자 우리 y는 x분의 1의 그래프와 y는 x분의 2의 그래프를 좀 비교를 해볼게요 자 y는 x분의 1의 그래프는요 x에다가 1을 집어넣으면 x에다가 1을 집어넣으면y가 1이 나오니까 1을 지나는 1이라는 점을 지나는 이렇게 생긴 반비례 그래프예요 자 그런데요 아이는 x분의 2의 그래프를 그리기 위해서 x에다가 1을 집어넣으면 y가 2가 나오고요 즉 1을 지나는 그래프여서 1면요 점을 지나는 반비례그래프죠 그래서 그림을 그리면 요렇게 생긴 겁니다 여기도 이렇게 그려져요 자 둘 중 원점에 가까운 건 누구냐면이 빨간 그래프가 원점에도 가까운 거예요 그렇기 때문에 두 개를 비교했을 때요 a 값이 1과 2에서 원점에 더 가까운 건 누구였어요 얘가 더 가까웠죠 즉 분자에 있는 a 값이 작을수록 원점에가까운 겁니다 원점에 가깝다 그런데 지금 a가 양수인 경우에 했지만 우리가 음수인 경우에도 우리가 부호를 신경 쓰지 않고 절대값으로 신경을 써주면 절댓값이 작을수록 정확하게는 a의 절댓값이 작을수록 절댓값이 작을수록 원점에 가까운 겁니다 자 요 빨간게 라인은 x분의 1의 그래프였다면 y는 x분의 -1의 그래프는 이렇게 그려지고요 얘가 y는 - x분의 1의 그래프고 y는 x분의 -2의 그래프는 이렇게 생겨요 그래서 요거는 위치만 달라지는 거기 때문에 이거는 위치만 달라지는 거기 때문에 절대값이 작을수록 원점에 가깝다요 내용까지 꼭 기억해 두시기 바랍니다 자 이 문제의 답은 몇 번과 몇 번이에요 3번과4번이죠 자 그래서요 몫까지 됐습니다

자 우리 필수 예제 하나 더 볼 거고요 다음 그림은 원점에 대하여 대칭이란 쌍의 곡선이래요 자 우리 요거는 반비례 관계니까 y는 x분의 a라는 관계식이고요 지금 지나는 점이 두 개가 있어요 하나는 여기 1 -1을 지나고 있고요 여기 몇 콤마 몇일 지나요 K 2분의 3을 지나고 있죠 자 우선 우리가 이 관계식을 찾기 위해서는 요거를 먼저 쓰는게 아니라 온전하게 점의 좌표를 모두 알고 있는 예를 써야 됩니다 자 이 좌표를 대입해주면요 마이너스 2는 1분의 a니까 그냥 a죠 a는 -2라고 구할 수가 있어요 그러면 우리가요 반비례 관계를 나타내는 관계식은 y=x -2구요 여기에다가요K 콤마 2분의 3을 대입하면 되는데 자 그러면 2분의 3은 k-2구요 양변에 k를 곱해주는 겁니다 2분의 3k는 -2고 양변에 1을 곱해주면 삼키는 -4고 양변을 3으로 나눠주면 k는 - 3분의 4라고 t값도 구할 수 있겠죠 자 이렇게 우리 그래프가 주어져 있을 때 지나는 점 정확히 찾을 수 있어야 되고요 대입해서 관계식 찾아주고 대입해서 점이 좌표 찾아주고 그렇게 문제 풀어 주시면 됩니다

자 여기까지 해서 반비례는 모두 배워봤구요 우리가 정비례하고 반비례 특징들 비교해서 잘 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다