[수학대왕] 중학수학1-2 개념강의 : 도형의 기초 - 점, 선, 면

자 이번 시간 배울 단어는 점선면입니다 자 우리 점선면에 관해서 배워 볼 건데 우리 도형의 기본 요소가 바로 점선면이에요

어떤 도형은요 점과 선과 면으로 이루어져 있는 겁니다 자 그러면이 점선면 사이엔 어떤 관계가 있느냐 점이 연속적으로 움직이면 선이 된대요 예를 들어서요 점이 이렇게 움직여서 여기까지 왔다고 합시다 그러면 움직이는 동안 점이 이렇게 선을 만들어 냈죠 이렇게 점이 연속적으로 움직이면 선이 되는 거고요 마찬가지로 선이 연속적으로 움직이면 면이 되는 겁니다 이렇게 움직이면우리가 요런 면이 만들어지죠 이렇게 선이 연속적으로 움직이면 면이 되는 거예요 자 그래서 선이라는 것은 무수히 많은 점으로 이루어져 있고 면이라는 것은 무수히 많은 선으로 이루어져 있습니다 그렇다면이 도형이라는 것은 어떻게는 아니느냐 평면도형과 입체 도형으로 나뉘어요 평면도형은요 우리 삼각형 원처럼 한 평면 위에 있는 도형을 평면 도형이라고 합니다 입체 도형은 직육면체 원기둥 9와 같이 한 평면 위에 있지 않은 도형을 입체 도형이라고 해요 자 우리 모든 도형은 점선면으로 이루어져 있다고 했죠 그래서 평면도형 입체 도형 모두 점점 면으로 이루어져 있는 겁니다 자 이렇게 만날 수도 있어요 이렇게생긴 면과 이렇게 옆면이라고 하는 옆면이라고 하는 면이 만나서 이런 교선이 생기는 겁니다 자 우리 평면과 평면의 교선은 직선이라고 나와 있죠 자 얘가 곡선이 아닙니다 평면과 평면이 만나서 생기는 교선은 직선이에요 자 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요

자 개념 이제 볼 건데 정육면체에서 교점 개수와 조선의 개수를 찾으라고 했어요 자 교점이라는 것은 이런 점들 말하는 거죠요 점을 보면요 직선들이 만나고 있어요 즉 꼭짓점을 찾으라는 겁니다 두 개 세 개네 개 다섯 여섯 일곱 여덟 개죠 교점은 8개고요 교수는 어디를 말하는 거냐요 면과요 면이 만나면 이런 교선이 생기죠 즉이 정육면체에서 교선이라는 것은 모서리입니다 모서리 모서리는 몇 개예요 우리 총 모서리는12개죠 모서리는 12개입니다 그래서 교점 개수 8개의 교선 계수 12개 요렇게 찾을 수가 있겠죠 자 이번엔 직선 반직선 선분입니다 저에게 직선의 결정 조건이 나오는데 직선의 결정 조건이라는 것은 우리가 직선이 딱 하나로 나오기 위한 조건이에요 자 그러면 요렇게요 점을 지나는 직선은요 딱 하나로 정해지지 않아요 직선은 여러 개 그을 수 있죠 자 그런데 점을 만약에요 점과 요점 이렇게 두 개를 지나는 직선을 그리라고 하면 우리는 직선을 딱 하나밖에 못 그리죠 자 그렇기 때문에 여기 내용을 보면 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다 라고 나와 있습니다 그래서 두 점을 지나는 직선은 요렇게 딱 직선 하나로 정해지는 겁니다 자 이번엔직선 반직선 선분인데요 자 직선 ab라고 하면 점 a와 점b가 이렇게 있을 때 ab를 지나면서 양쪽 끝으로 쭉 뻗어나가는 선이에요 자 계속 이어지는 겁니다 요거는 그래서 기호로 이렇게 화살표를 양쪽 끝에 달아서 직선 ab를 표현합니다 자 반직선 ab라고 하면 우리가 양쪽 끝으로 뻗어나가는게 아니라 한쪽 끝으로만 가는 거고요 만약에 기호를 이렇게 a에서 B 방향으로 화살표가 이렇게 그려져 있으면 a에서 B 방향으로만 쭉 뻗어 나가고 여기서는 끝나는 겁니다 여기는 선이 없는 거예요 그래서 반직선은 요렇게 점 a에서 전기 방향으로만 쭉 이어지는 선이다

자 그러면 선분은 무엇이냐 선분 ab라고 하면 우리가 점 a와점 b만 딱 이은선이에요 자 그래서 요거는 기호로 요렇게 1/3b는 이렇게 표시를 해줍니다 자 우리 참고를 보면요 이렇게 AB 직선과 b의 직선은요 어차피 양쪽 끝으로 쭉 뻗어나가기 때문에 서로 같은 직선을 의미해요 자 그런데 이렇게 반직선 ab와 반직선 ba는 우리가 뻗어나가는 방향이 다르기 때문에 여기에 써 있는요 ab반직선은 아까 그림요 반직선을 의미한다면 여기에 있는이 ba 반직선은 b에서 출발해서 1로 쭉 가는 방직선을 의미하기 때문에 서로 다른 반직선을 나타내는 겁니다 자 선분은 같은 거겠죠 ab와 ba는 같은 선물입니다

자 그러면 개념이 이제 한번 볼 건데 그림과 같이 직선 L 위의 점 abcd가 있을 때 서로 같은 것끼리 짝지으라 그랬어요 자 그러면지금 여기에 직선 ab가 나와 있는데 직선 ab는 양쪽 끝으로 쭉 뻗어나가는 거죠 그러면 얘는 뭐와 같냐요 직선 cd와 같은 겁니다 어차피 ab도 2위에 있고 cd도 2위에 있으니까 이거를 기준으로 양쪽 끝으로 쭉 뻗어 나가는 것은 같은 걸 의미하죠 그래서 AB 직선과 cd 직선은 같은 거를 의미해요 자 이번엔요 a 씨와 같은 걸 한번 찾아볼게요 자 요거는 제가 빨간색으로 한번 표시를 해보겠습니다 선분 a 씨는요 요만큼만 딱 의미하죠 그럼 얘는 뭐와 같냐 바로 ca와 같겠죠 그래서 선분 AC 선분 C 요거는 같은 겁니다 자 이번엔 여기에 있는 반직선 bc를 표시를 하면 요렇게 생긴 만직선이고 여기에 있는 반직선 db를 표시하면요 이렇게 생긴 거겠죠뒤에서 B 방향으로 쭉 뻗어가는 자 우리 그림이 좀 겹쳐 있으니까 제가 기존에 있던 건 좀 지우겠습니다 자 db를 다시 그리면 이렇게 생긴 겁니다 이렇게 자 da를 그리면요 d를 제가 빨간색으로 그릴 건데 여기서부터 여기 방향으로 쭉 가는 거니까 이렇게 생긴 거죠 그럼 누구랑 누구랑 겹치죠 바로요 bc가 아닌 단직선 db와 관직선 da가 같은 방식선입니다 따라서 이렇게까지 묶어주면 되겠네요 자 됐을까요 넘어가 볼게요

자 이번엔 두 점 사이의 거리인데요 우리가 두 점 a와 b 사이의 거리라고 하면 무수히 많은 선 중에서 자 요점과 요점을 잇는 선은 엄청 많아요 이렇게 생긴 선이 있을 수도 있고요 이렇게 생긴 선이 있을 수도 있고 무수히 많은데 거리라고하면 가장 짧은 가장 짧은 선인 선분 ab의 길이입니다 자요 길이가 바로 점 a와 점 b 사이의 거리를 의미예요 자 그러면 선분 ab의 길이가 2cm면 우리는 요렇게 나타낼 수 있을 거고요 우리 선분 ab와 선분 CD 길이가 같다면 기호로는 요렇게 나타낼 수가 있습니다 자 선분 ab의 중점이라고 하는 건요 우리 중점은 가운데 있는 점이에요 가운데 있는 점 가운데 있는 점 그래서 선분 ab에서 딱 가운데는 여기쯤이라면 a에서의 거리와 b에서의 거리가 같기 때문에 점의부터 점 m까지의 거리와 점비에서부터 m까지의 거리가 같기 때문에 기호로는 이렇게 선분 am과 bm이 같다라고 표현을 할 수가 있고요이 위치가 중점이라는 걸 알겠죠 자 그러면요 m이라는 점에 의해서요길이와요 길이가 같으니까 우리 am은 MB 그리고 요거는 선분 ab의 1/2배이다 절반이다 이렇게까지 식을 쓸 수가 있습니다 자 그럼 우리 3등분점이라는 건 뭐겠어요 3등분하는 점입니다 선분 ab를 3등분하는 점이라 그러면 요렇게 요렇게 되니까요 길이가 같아서요 점과요 점이 3등분하는 점이 되겠네요 자 그러면 am은 m에는 mb일 거고요 요거는 선분 AB 길이의 3분의 1이 되겠죠 자 그리고 an은요 여기서부터 여기까지는 3등분 한 거 중에 두 조각이니까 우리는 전체의 3분의 2라고 쓸 수가 있습니다 당연히 mb도 똑같이 쓸 수가 있겠죠 자 됐을까요 넘어가 볼게요

자 개념예제인데요 자 다음을 구하라고했어요 하나씩 보겠습니다 1번 두 점 a와 b 사이의 거리예요 몇 cm예요 7cm죠 두 번째 정비와 점씨 사이의 거리래요 그러면 선분 bc의 거리와 같은 거구요 6cm죠 자 이번엔 정비와 점비 사이 거리니까 여기서부터 여기까지 거리는 바로 5cm네요 자 쉽죠 넘어가 볼게요

자 첫 번째 필수 예제인데요 다섯 개 이전 abcde가 다음 그림과 같이 있을 때이 중 2점을 이어 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수를 구하래요 그러면 우리가요 점을 지나는 직선을 어떻게 구할 수 있냐 요렇게 a를 지나는 점 a와 점이를 동시에 지나는 직선 하나 점이와 점비를 지나는 직선 하나 이렇게 된 직선 하나 점 2와 점 c를 지나는 직선하라 점 2와점d를 지나는 직선하라 이렇게 해서 일단 4개를 그릴 수가 있고요 점 a와 점b를 지나는 직선을 구하면 요렇게 된 직선을 그릴 수가 있죠 그런데 요거는요 점 a와 점 b를 골라도 이렇게 나오고 점 c와 점디를 골라도 이렇게 나오고 뭐 abcd 중에 아무거나 두 개를 골라도요 직선이 나오는 겁니다 그래서 우리가이 중에 두 점을이어서 만들 수 있는 직선은요 요렇게 총 5개가 됩니다 답은 5개예요

자 두 번째 필수 이제 볼 거고요 ab와 bc의 종점이 각각 m과 n이에요 그래서요 길이랑요 길이랑 같을 거고요 요 길이랑 요 bn의 길이랑 nc의 길이가 같을 거예요 자 그리고 ac가 지금 28cm인데 m&a 길이를 구하라고 했어요요 부분에 길이를 구하래요 자 그러면요 mb의 길이를 제가a라고 하고 bn의 길이를 b라고 하면 중점이라고 했으니까요 길이도 a고요요 길이도 비겠죠 그래서 2A + 2b는 28cm인 거고요 우리가 구하는 선분 m&의 길이는 여기서부터 여기까지니까 a+b입니다 자 그러면 2A + 2b가 28cm니까 a+b는 14cm겠죠 따라서 전분의 m&a 길이는 14cm라고 구할 수가 있습니다

자 여기까지 해서 우리 오늘 점선면에 관해 모두 배워 봤고요 우리가 이제 도형의 관해서 처음 배우는 날이니까이 용어들 확실하게 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다