[수학대왕] 중학수학1-2 개념강의 : 도형의 기초 - 공간에서의 위치 관계

자 이번 시간 배울 단어는 공간에서의 위치 관계입니다 자 우리 공간에서 직선과 직선 직선과 평면 평면과 평면의 위치 관계에 대해서 배워보도록 할 건데요 우선 공간에서 두 직선의 위치 관계를 보도록 하겠습니다

우리 지난 시간에는 평면에서 평면에서 직선과 직선의 위치 관계에 대해 배운 적이 있죠 자 뭐가 있어요 교점이 한 개인 한 점에서 만나는 한 점에서 만나는 경우가 있었고요 상점에서 만난다 병행하는 경우가 있었고 일치하는 경우가 있었죠 요렇게 평면 위에 직선이 있을 때는 직선과 직선의 위치 관계가 이렇게 세 가지가 있었어요 그런데 우리가이 공간에서 두 직선의위치 관계는 하나가 추가됩니다 바로 꼬인 위치라는 것이 추가되는데 공간에서 두 직선이 만나지도 않고 병행하지도 않는 그런 두 직선을 우리는 꼬인 위치에 있다고 합니다

자 우리 예를 들어서요 제가 직육면체를 하나 그릴 건데 우리 직육면체의 모서리들을 하나의 선분 그리고 연장했을 때 직선이라고 생각을 하면 자요 직선과 요직선과 요직선은 어떻게 만나고 있어요 안 점에서 만나고 있죠 자 그러면요 직선과 요 직선은 요 직선은 어떻게 될까요 자 얘는 평행이죠 자 이렇게 평행인데 제가 이번에 긋는 직선요 직선과요 직선은 어떤 관계일까요 자 한 점에서 만나지도 않고요 평행하지도 않고 일치하지도 않아요 자 이렇게 위치 관계가 있는 두 직선을 우리는꼬인 위치라고 합니다 자 우리 꼬인 위치만 하나 추가되는 거예요 그래서 공간에서 두 직선의 위치 관계는 한 점에서 만나는 경우 일치하는 경우 평행한 경우 꼬인 위치에 있는 경우입니다 자 여기 그림에는 한 평면 위에 직선 하나가 있는데 이렇게 직선 하나가 있는데 또 다른 직선이이 평면 위에 있지는 않은데 지금 직선 m과 만나고 있지도 않죠 병행하지도 일치하지도 한 점에서 만나지도 않습니다 우리 요거 하나만 주의해 주시면 돼요

자 밑에 있는 개념예제 이제 한번 볼 건데요 모서리 ab와 평행한 모서리를 찾으래요 자 그러면 ab와 평행한 모서리는 여기 cd도 평행하고요 ef도 병행하고 gh도 평행하죠 그래서 CD 제가 선분이라고 쓸게요 선분 CD 선분 ef 또 선분 gh 이렇게 세기 선분이우리 모서리 ab와 평행한 모서리입니다 자 그러면 모서리 ab와 꼬임 위치에 있는 모서리를 찾을 건데 자 그러면 우리 평행한 건 일단 꼬이 위치가 아니고요 한 점에서 만나는 bc와 bfae와 ad도 아니죠 자 그렇기 때문에 남은요 FG CG eh dh가 꼬이 위치에 있는 모선입니다 자 요거는 기호로 쓸게요 CG FG 그리고 DH 그리고이 H 자 이렇게 써 주시면 됩니다 자 우리 선번으로 표시해도 상관없고요 기호를 활용하여 기호를 활용하여 표시해 줘도 상관없습니다 자 여기까지 됐을까요 넘어가겠습니다

자 이번엔 공감에서 직선과 평면의 위치 관계예요 자 직선과 평면의 위치 관계인데 우리 우선 2번 먼저 볼게요 공간에서직선과 평면의 위치 관계는 3가지가 있대요 첫 번째는 요렇게 한 점에서 만나는 경우가 있고요 두 번째는 포함되는 경우가 있고 세 번째는 평행한 경우가 있어요 자 이렇게 한 점에서 만나는 건 직선이 이렇게 평면과 요렇게 만나고 쭉 가면 딱 한 점에서만 만나겠죠 자 두 번째는 포함된다인데 포함된다는 이렇게 직선 자체가이 평면 안에 들어가 있는 거예요 이런 경우에 포함된다라고 하고요 마지막 세 번째로이 평행하단데 우리 평행하다는 내용을 1번에서 한번 좀 자세히 보도록 할게요 우리 직선과 평면의 평행은요 공간에서 직선 l과 평면 p가 만나지 않는 경우에 평행하다고 표현을 합니다 자 그래서 우리 직선과 직선이 평행할 때 쓰는 기호를 똑같이 요렇게 쓸 수가 있어요 우리 직선과 직선이 평행한 것도직선과 직선이 평행한 것도 결국에는 만나지 않는 경우의 평행하다고 하죠 우리 평면 위에서 말하는 겁니다 평면 위에서의 직선이 벽면 위에서의 직선이 만나지 않을 때 우리는 평행하다고 하는데이 직선과 평면이 평행하다는 말도 두 개가 만나지 않을 때를 우리 말합니다 그래서이 평행하다는 거 이렇게 직선과 평면이 안 만나는 그림이죠 자 그래서 공간에서 직선과 평면의 위치 관계는 요렇게 세 가지가 있습니다 한 점에서 만나는 거 포함되는 거 그리고 평행한 거 이렇게 세 개의 기억해 주시고요 자 우리 직선과 평면이 수직이다라는 거는 정확하게 어떤 의미인지 한번 보도록 할게요 자 교재 내용을 읽어보면 직선 l이 평면 p와 점 h에서 만나고 직선 l이 우선이 평면과 만나야 돼요 그 점을 h라고 하겠습니다 자 만나고이 h를 지나면서h를 지나면서 평면 PF 포함된 모든 직선과 수직이래요 자 이 평면 위에 있는 이평면에 포함된 직선이면서 점 h를 지나면 요런 애들을 그릴 수가 있어요 뭐 이렇게도 그릴 수 있겠죠 이런 직선들과 모두 수직인 거예요 이렇게가 모두 수직일 때 우리는 직선 l과 벽면 b가 수직이다라고 하는 거예요 자 이거를 옆에서 보면 제가 옆에서 보면 어떤 그림이 나오냐 평면이 이렇게 있을 때 직선 일이 요렇게 수직으로 뚫고지나 가는 그림으로 보입니다 자 그래서 요것도 마찬가지로 우리 수직이다 또는 직교한다라고 표현할 수 있고요 기호로 요렇게 나타낼 수가 있습니다 직선 l은요 직선 l은 평면 p의 수선이라고 하고요 이때 만나는 점 h를 수선의 발이라고합니다요 용어까지 같이 기억해 주시기 바랍니다

자 추가적으로요 우리 점과 평면 사이의 거리에 관해 나와 있는데요 점과요 평면 사이의 거리를 구하라 그러면 우리가 점 a를 지나면서 이평면 p와 수직인 직선을 그었을 때 생기는이 교점을 h라고 하면 우리가 아까 수선의 말이라고 하기로 했죠 두산의 달 h인데이 점 a부터 점 h까지의 거리가 바로이 점a부터 점 b까지의 거리입니다 자요 내용에 대해 설명이 되어 있고요 정면 p 위에 있지 않은 점 a에서 벽면 pnl인 수선의 발 h까지의 거리를 우리는 점 a와 평면 p 사이의 거리라 한다라고 나와 있네요 자 여기까지 됐겠죠 자 넘어가 보도록 하겠습니다

자 이번엔 개념예제 한번 보도록 할 거고요 그림과 같은직육면체에서 다음을 구하시오라고 되어 있습니다 자면 abef와 평행한 모서리를 찾는 건데 평행한 모서리는요이 면에 포함되지도 않고 한 점에서 만나지도 않는 그런 모서리를 찾는 겁니다 자 그럼 어떤 모서리들이 있느냐 바로 cd랑 cg랑 gh랑 dh가 되겠죠 그래서 얘네들을 기호로 요렇게 나타내면 되겠네요 자 그러면 두 번째 보겠습니다 전 b와면 efgh 사이의 거리고요 점 b와요 밑에 있는 밑에 있는이 F gh 사이의 거리인데 이거를 구하기 위해서는 전비를 지나면서면 efgh의 수직인 직선을 찾아야 되고요 그 직선이 바로요 ef인 거예요 자요 ef는이 모서리 ef와도 수직이고요 gf와도 수직이기 때문에이 선분bf는면 efgh의 수직이라고 할 수가 있고요 그러면 우리가이 점 h를 수선의 발이라고 할 수가 있겠네요 그래서 점 b와면 efg 사이의 거리는 바로 몇 cm인 거예요 6cm인 거죠 여기까지 됐겠죠 넘어가 보겠습니다 자 이번에는 공간에서 두 평면의 위치 관계인데요 마찬가지로 두 번째 내용을 좀 먼저 볼게요 공간에서 두 평면의 위치 관계는 한직선에서 만나거나 일치하거나 평행한 겁니다 자 우리 직선과 평면처럼 한 점에서 만나는게 아니라 평면 두 개가 있으면 만날 때 요렇게 한 직선에서 만나는 거예요 자 이렇게 한직선에서 만나거나 일치하거나 평행한 건데 자 평행한 것은 무엇이냐 자 공간에서 두 평면 pq가 만나지 않을 때 안 만날 때 평면 p와 q는 평행하다라고 합니다 마찬가지로 이렇게기호로 나타낼 수가 있어요 자 그러면 마지막으로이 두 평면의 수직에 관한 내용을 볼 건데 자 언제 평면이 수직이라고 하냐 평면 피가 평면 q에 수직인 직선 l을 포함할 때 자 평면 p가 여기 있는 평면 p가 평면 q에 수직인 직선 l을 포함하는 겁니다 지금이 직선 l은 l은 추의 수직이에요 자 그랬을 때 평면 p와 평면 주는 수직이다 또는 직교한다라고 할 수가 있습니다 자 이렇게 수직인 직선 하나를 포함하는 평면이면 우리는 이평면피와 평면 q는 수직이 나 또는 직교한다라고 할 수가 있어요 자 마찬가지로 기호로 나타낼 수가 있습니다 자 추가적으로요 두 평면 사이의 거리는 우리가 평행한 두 평면 pq에 대하여 평면 p에서점 a를 하나 요렇게 잡았을 때 점 a에서 평면 q이 내린 조선의 발 h까지의 거리가 바로 두 평면 pq 사이에 거리입니다 자 평행할 때만 우리 평면과 평면 사이의 거리를 구할 수가 있는 겁니다

자 넘어가 볼게요 자 이번엔 개념인지 한번 볼 건데요 그림과 같은 직육면체에서 다음을 구하시오라고 되어 있고요 모서리 bc를 교선으로 갖는 두 면은요 우선이 bc가 포함된 면을 찾아보면 abcd랑 면 abcd랑 또 뭐가 있어요 BC gf죠 면 bcgf요 두 개의 면이 바로 모서리 pc를 교선으로 갖는 두 변입니다 자 이렇게 pc에서 만나고 있으니까 우리가 이렇게 두 개를 골라 주면 되는 거예요 자 두 번째면 AB f2와 자면 abfe와평행한 면을 찾으라고 했는데 병행한 면은 어디에 있어요 반대편에 이렇게 있는 겁니다 우리 만나지 않고 일치하지도 않기 때문에요 cdhg가면 cdhd가 바로면 abfe와 평행한 면이 되는 거예요 자 세 번째는면 abcd와 수직인면인데요면 abcd와 수직인면이면 우리가 4개를 고를 수가 있겠죠 여기에 있는 abfe 면 a b f2도 있고요 bcgf도 있고요면 bcgf면 cdhg도 있죠 hg도 있고 마지막으로 뒤에 있는 면adhe까지 있는 겁니다 이렇게 해서 4개의 수직이면 골라 주시면됩니다 자 여기까지 됐겠죠 넘어가 보겠습니다

자 우리 필수 예제 한번 볼 거구요 공간에서 두 직선의 위치 관계에 대한 설명으로 옳지 않은 것을 고르는 문제인데 자 우리 공간에서 두 직선의 위치 관계라고 하면 일치하거나 병행하거나 한 점에서 만나거나 또는 어떻게 돼요 꼬인 위치라는게 있죠 5인위치이거나 이렇게 4가지 종류가 있습니다 자 첫 번째로 서로 다른 두 직선이 만나면 자 서로 다른이라는 말은 일치하지는 않는다는 말이고요 일치하지 않는 두 직선이 만나면 교점은 한계가 맞죠 자 일치하지 않는데 만나려면 한 점에서 만나는 겁니다 요거는 맞고요 만나지 않는 두 직선은 항상 평행하다라고 되어 있는데 만나지 않는 건 평행하거나 꼬인 이치거나 이렇게 두 가지가 있어요 그래서 꼬인 위치가 있기때문에 2번은 틀렸고요 3번 부직선이 한 점에서 만나면 부직성이 한 점에서 만나면 한 평면 위에 있다라고 되어 있는데 우리 요거는 맞는 말이죠 우리가 두 직선을 한 점에서 만나도록 그렸을 때요 두 직선을 포함한 평면을 항상 찾을 수가 있습니다 자 4번 서로 평행한 두 직선은 한 평면 위에 있다라고 했는데 요것도 맞죠 우리 평행한 직선 그렸을 때에이 병행한 직선을 포함한 평면을 딱 하나 그릴 수 있어요 그래서 서로 평행한 주직선은 한 평면 위에 있습니다 자 한 평면이 있으면서 서로 만나지 않는 두 직선은 한 평면 위에 있으면서 서로 만나지 않는 두 직선은 꼬잉 위치가 아니라 평행이라고 하죠 따라서 답은 2번하고 5번이겠네요 자 됐을까요 넘어가 볼게요

자 두 번째 필수 예제구요 다음 그림과 같은 직육면체에서 모서리ab와 병행하면서면 AB f2와 abfe와 수직인 면을 고르라고 했고요 모서리 ab와 평행해야 되니까 우선 만나면 안 되는데 만나지 않으면서면 abfe와 수직이면은 딱 하나 있죠 바로 efgh입니다 자 이 면은요요 모서리 ab와 평행하고 abfe와는 수직이죠 따라서 답이면 efgh입니다

여기까지 해서 오늘 공간에서의 위치 관계를 모두 배워봤는데 우리가 지난 시간에 배웠던 평면에서의 위치 관계보다는 좀 더 다양한 상황들이 나오죠 우리 그런 상황들에 대해서 헷갈리지 않도록 꼭 꼼꼼하게 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다