[수학대왕] 중학수학1-2 개념강의 : 평면도형 - 다각형의 내각과 외각

자 이번 시간 배울 단어는 다각형이 내각과 외각입니다 자 우리도 여러가지 내용을 좀 배울 건데요 우선이 다각형과 정사각형에 관한 내용을 보도록 하겠습니다

다각형이 뭐냐면 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 다각형이라고 합니다 자 선분으로 둘러싸인 도형이에요 선분으로 둘러싸임 평면도형을 다각형이다라고 알고 있으면 됩니다 각 부분의 명칭이 있는데요 우리 다각형의 사각형을 이루는 선분을 변이라고 합니다 다각형을 이르는 선분을 변이라고 하고요요 끝에 변과 변이 만나는 점을 꼭짓점이라고 하죠 자 변과 변이 만나는 점 꼭짓점 자 그리고 여기 안에 있는 각도를 내각이라고 해요 다각형에서 이웃하는 주변이 이루는내부의 각을 내각이라고 합니다 이렇게 안쪽에 있는 각을 내각이라고 하니까 이것만 내각인 것이 아니라 요것도 내각이고요 이것도 내가 이것도 내가 이것도 내각이겠죠 자 외각이 있는데요 외곽이 뭐냐면 이웃하는 두 변에서 한 변과 다른 한 변의 연장선이 이루는 각이래요 자 이웃하는 두 면에서 한 변과 다른 변의 연장선이 이루는 각인데이 도형의 바깥쪽에 있는 거예요 바로 이쪽입니다 이쪽 여기를 외각이라고 해요 여기뿐만 아니라 여기를 외곽이라고 할 수도 있겠죠 여기도 외곽입니다 그래서 한 내각의 대한 외곽은 두 개예요 지금 여기 있는 각 내각에 대해서 우리가 외곽을 두 개 그릴 수 있었죠 자 그런데 우리요 외곽은 맞꼭지각으로 크기가 같기 때문에 우리 하나만 생각하면 됩니다굳이 항상 두 개를 신경 쓸 필요는 없어요 이렇게 내각의 외각이라 그러면 한 변의 연장선을 쭉 그어서이 반대쪽에 있는 각이라고 생각해 주시면 됩니다 자 그렇기 때문에이 한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 180도입니다 우리의 연장선 위에 있는 각도들이기 때문에이 각과 이각을 더하면 180도가 나오는 것이죠

자 이번엔 정다각형인데요 우리 다각형 중에서도 모든 면의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 사각형을 정다각형이라고 해요 우리 예를 들어서 알고 있는 걸로는 정삼각형이나 정사각형 같은 도형들이 바로 정사각형입니다 자 요거뿐만 아니라요 뭐 정오각형 정육각형 이런 애들이 있겠죠 변의 개수에 따라 얼마든지 종류가 다양하게 존재합니다 그래서 정다각형은 우리가 변의 길이가 모두동일하고 모든 내각의 크기가 동일하다 이렇게 알고 있으면 되겠죠

자 넘어가 볼게요 꼭짓점 각 a에서의 외곽의 크기를 구하라고 했어요 자 꼭짓점 각 a에서의 외곽의 크기니까 전분요 AD 즉 변 ad의 연장선을 쭉 그어줬을 때요 각의 크기가 외각이고요 우리 85도랑 더해서 85도랑 더해서 180도가 나와야 되니까 제가 구하는요 외곽을 x라고 하면 각익스랑 85도를 더해서 180도가 나와야 되고요 가격수는 95도라고 구할 수가 있습니다 따라서 답은 95도에요 자 이번엔 삼각형의 내각과 외각의 관계인데요 우리 삼각형 내각의 크기의 합 즉요 삼각형 abc에서 각이 더하기 각 b+각시가 180도 나오는 거는 우리 많이 봤었죠 우리 안에 있는 각도 3개 모두 합쳐서 180도 나와야 됩니다 자 그러면이 내각과 외각의 관계는 어떤 것이 있느냐 한 외곽의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 동일합니다 자 제가 여기 각도를요 외곽의 크기를 x라고 하면요 여기를 y라고 하겠습니다 가과이 가격스 자 그랬을 때 각 a + 각 B + 각 y는 180도고요 우리 각 x 즉 외각을 180 - 각 y라고 구할 수가 있죠 그러면요 위에 식에서 요거를 각 y에 대해서 정리를 해주면 180도 - 가격이 마이너스 각 b니까요 각 y를 여기다가 대입을 해주면요180 - 180-각a - 각도이고 정리해주면 가게 2 + 각 b라고 나오겠네요 따라서 우리이 각 외곽을 각 x를 가게이와 각 b의 합으로 계산할 수가 있어요 조각도와 요각도를 더해서 요거를 더해서 가격스를 만들어 낼 수가 있습니다 그래서 외곽의 크기를 구할 때는 다른 두 내각의 크기의 합과 같으니까 이직을 이용하여 구해주면 됩니다

자 개념 예제 한번 보도록 할게요 자 여기 있는 105도는 외곽이죠 이거 외각입니다 요거 외곽이니까 다른 두 대각 x랑 45도를 더해서이 105도가 되는 거겠죠 그래서 그렇게식이 세워주면 됩니다 가계 X + 45도는 105도니까 가격대를 60도라고 구할 수가 있겠죠 어렵지 않죠넘어가 볼게요 자 이번엔 다각형의 내각과 외각의 크기의 합인데요 자 다각형의 내각의 크기의 합은요 우리가 어떻게 구하냐면 n각형이라면 그 4각의 크기의 합은 180 X m-2입니다 자 만약에 삼각형이면요 삼각형이면 n이 몇이니까 n이 1이니까 3이니까 n이 3이니까 내각의 크기의 합은 180 x 3 -2 즉 180도로 계산이 되고요 예를 들어 오각형이다 오각형이다 하면 180 x 5-2니까 180x3이어서 540도라고 이런 식으로 구해주면 되는 겁니다 자 외곽은요 우리 외곽의 크기의 합은 항상 360도예요 요거는 따로 알아두시기 바랍니다 우리 처음 나오는 내용이죠n각형의 외각의 크기 합은 몇 각형이든 상관없이 항상 합은 360도입니다 자 밑에 있는 개념이지 한번 볼게요 다음 다각형의 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합을 각각 구하는 건데 자 내가 기합을 구해 보겠습니다 내각의 크기의 합 내각의 크기의 합은 1번은 육각형이니까 n이 6이어서 180 x n - 2죠 따라서 180 x 4구요 계산해주면 720도라고 나옵니다 자 외곽의 크기 합은 몇일까요 외각의 크기의 합은 우리 몇 각형이든 상관없이 항상 360도인 겁니다 따라서 내가 크기와 720도 외곽 약 360도 자 이번엔 10일각형이고요 11각형의 내가 크기의 합은요 n이 11이니까 180 곱하기 11 -2 180 x 9고요계산해주면 우리 1,620이라고 계산할 수가 있습니다 자 그러면 1620도라고 구해주면 되고요 외곽의 크기 합은 뭐라고요 변함없이 360도입니다 따라서 내가 크기야 1620도 외곽 크기압 360도 이렇게 구해주시면 되겠죠 자 넘어가 볼게요 자 이번엔 정다각형에서요 한 대각과 한 외곽의 크기입니다 그러면 우리 앞에서 배운 거를 정 엔각형이니까 정 엔각형이면 어떻게 하면 되겠어요 그대로 n으로 나눠주면 되는 겁니다 자 예를 들어서 우리 아까 오각형의요 오각형의 내각의 크기의 합을 계산하면 540도가 나왔었는데 540도가 나왔으니까요 한 각도의 크기를 구하기 위해서는 어떻게 하면 돼요 540도를 5로 나눠주면 되는 거죠 오각형이니까 5로 나눠서108도로 계산해 주면 되는 겁니다 자 그래서 정 n각형의 한 내각의 크기는 1/n - 이구요 정 n각형의 한 외각의 크기는 뭐겠어요 외각의 합이 360도로 변함없으니까 그냥 그대로 n으로 나눠서 한 외곽의 크기를 구해주면 됩니다

자 밑에 있는 개념 이제 한번 볼게요 정육각형의 한 내각의 크기를 구하라고 했어요 우선 내가 크기의 합을 구하면요 내가 크기의 합을 구해주면 m이 4니까 180 곱하기 n이 6이죠 자 6 - 2로 계산해 주면 되고요 180 x 4니까 우리 720도라고 나오네요 그러면 한 내각은 우리 정육각형이면 각이 총 6개 있으니까 6으로 나눠서 계산해주면 120도라고 구할 수가 있습니다 자 이번엔 한 외곽의 크기를 구하기 위해서요 한외곽의 크기는 360도를 각도 6개니까 6으로 나눠주면 되고요 60도라고 구해줄 수 있겠죠 자 이번에는 정십각형이고요 n이 12죠 그러면 내각의 합은요 180 x 8이니까 우리 계산해주면 자 88,440도라고 구할 수가 있습니다 그러면 한 내각의 크기는 우리 1440도를 집으로 나눈 144도라고 구할 수가 있어요 자 한 외곽은요 우리 360도를 360도를 10으로 나눠주면 되는 거고요 36도라고 구할수 각 c의 외곽의 크기가 126도일때요 각 x의 크기를 구하는 문제고요 우리 하나씩 구할 수 있는 거 구해주면 됩니다 여기 126도니까 여기 찾을 수 있죠 여기는 두 개 더해서 180도니까 180-126 즉 54도라고 구할 수가 있습니다 자 그러면 이등변 삼각형이니까 여기도 54도구요 요각x는요 각 x는 어떻게 구하겠어요 내각 두 개를 더해서 구해주면 되죠 따라서 가격수는 54도 더하기 54 즉 108도라고 구할 수가 있습니다 자 넘어가 볼게요 60도60도 85도 + 가와이 더하기 65도 + 75도 이렇게 다 더해서 360도가 나와야 되니까 이렇게 계산하면 145도구요 요렇게 계산하면 140도입니다 그러면 이렇게 계산했을 때 285도니까 가구 아이플러스 285도는 360도 따라서 가구 아이는 우리 75도라고 구할 수가 있습니다 따라서 각 x는 85도 가구 아이는 75도 이렇게 구해주면 되겠죠

자 여기까지 해서 우리 다각형의 내각과 외곽에 관한 내용 모두 배웠고요 무료 공식들은 우리가 더 많은 도형에 관한 내용을 배울 때마다이 내용을 얹어서이 내용을 기본으로 활용하는 상태로 우리가 새로운 내용을 배우기 때문에이 내용에 대한 복습이 꼭 필요합니다 자 익숙해질 때까지 많은 복습해 주시고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다