[수학대왕] 중학수학1-2 개념강의 : 입체도형 - 다면체

자 이번 시간 배우 단어는 다면체입니다 자 다면체가 무엇이냐 다면체는 다각형 모양의 면으로만 둘러싸인 입체 도형이에요 사각형 모양의 면으로만 둘러싸여 있어야 되고요 우리 주의사항을 먼저 보면 원기둥 원뿔 구 등과 같이 원이나 곡면으로 둘러싸인 입체 도형은 다면체가 아니겠죠 이 원이나 곡면은 다각형이 아니기 때문에 다각형이 아니기 때문에요 원기둥 원뿔 구는 다면체라고 할 수가 없는 겁니다

자 이 다면체는요 다면체는 면과 모서리와 꼭짓점으로 이루어져 있는데 자 면은 다면체를 둘러싸고 있는다각형 모양의 면이라고 되어 있죠 자 모서리는 무엇이냐요 면에 면에 지금이 다각형이 있는데이 다각형의 변이 바로이 다면체의 모서리입니다 자 얘네들도 모서리가 되겠죠 얘도 모서리 이거 요거 자 꼭짓점은 무엇이냐 다면체를 둘러싸고 있는 다각형의 꼭짓점이에요 그러니까이 면에 꼭짓점이 이면에 꼭짓점이 다면체의 꼭짓점이 되는 겁니다 그래서 우리 용어까지 됐겠죠 자 다면체는 금연의 개수에 따라서 4면체 5면체 6면체가 된대요 자 여기는 면이 몇 개니까 면이 4개니까 우리는 4면체라고 할 수가 있는 겁니다 면이 5개면 오면체가 되겠죠 이런 식으로 이름도 우리가 붙여줄 수가 있겠죠 자 넘어가 볼게요 자 이번엔 각뿔대인데요 각뿔대는 무엇이냐갚을 때는 각뿔을요 밑면의 평행한 평면으로 자를 때 생기는 두 입체 도형 중에서 각뿔이 아닌 것이라고 되어 있어요 자 만약에 요렇게 생긴 사각뿔이 있어요 이렇게 사각뿔이 있는데 사각뿔에서 우리가 어떻게 자를 거냐면이 밑면의 밑면의 평행한 평면으로 요렇게 자를 거예요 이렇게 자르면 위에 작은 각 뿌리 하나 생기고요 이렇게 각 뿌리 하나 생기고 밑에도 하나 생기죠 도형이 자 밑에 입체 도형이 지금 하나 생깁니다 이렇게 생기는데이 중에 각뿔 때는요요 아랫부분 요 위에 있는 각뿔이 아닌 아래에 있는 애를 우리가 각뿔대라고 합니다 자 그러면 우리가 그림을 이렇게 그릴 수가 있는데 각 부분에 명칭을 좀 보도록 할게요 우리 우선밑면이라는 것은 각뿔대에서 평행한 두 면을 말하는 거고요 요거를 밑면이라고 하고 요거를 밑면이라고 합니다 무게를 밑면이라고 불러요 자 옆면은 요 각뿔대에서 밑면이 아닌 면을 말하는 것이고 요런 애들을 옆면이라고 하겠죠 자 요런 애들을 옆면이라고 합니다

자 이번에는 높이고요 높이는 각뿔대에서 두 밑면 사이의 거리고요이 면에서부터이 면사 면사이까지의 거리 즉 여기를 말하는 거죠요 길이가 바로 높이가 되는 겁니다 자 각뿔대의 밑면의 모양은 다각형이고요 옆면의 모양은 모두 사다리꼴이래요 자 우리 밑면은 우리가 항상 다각형으로 나와야 되고요 여기는 다각형 다각형이고 우리가 이거를 윗면에 평행하게 자르면서 옆면의 모양이 어떻게 형성이 되냐 옆면이 항상 이런 사다리꼴로 나오는 거예요 자 그래서 각 볼 때도요각뿔대도 우리가 다면체처럼 밑면의 모양에 따라서 삼각뿔대 사각뿔대 5각불대라고 이름을 붙일 수가 있어요 자 여기는 밑면이 사각형이니까 밑면이 사각형이니까 사각뿔대라고 할 수가 있겠죠 이렇게 이름을 붙일 수가 있습니다 자 밑에 있는 개념이 이제 보면 다음 그림과 같은 각뿔대의 이름과 몇몇 체인지 구하라고 했어요 자 그러면 얘는 지금 밑면이 뭐예요 오각형이죠 밑면이 오각형이고 각뿔대라고 했으니까 오각뿔대라고 할 수가 있고요 몇몇 체인지 구하려면 면이 몇 개인지 세야죠 여기 밑면 하나 여기 밑면 둘 그리고 옆면이 총 몇 개 있어요 5개 있죠 그래서 총 면이 7개이기 때문에 칠면체라고 할 수가 있습니다 자 여기까지 됐을까요 넘어가 보겠습니다

자 이번엔 다면체의 성질인데요 우리가 다면체에서 종류를 좀 나눠서 어떤 밑면의 모양이나 모서리 개수 이런 걸 한번 정리해 보도록 할게요 자 n각 기둥에서요 냉각기둥에서 밑면의 모양은 우리가 n각 기둥이라고 하면 여기가 이제 밑면이 무슨 모양인지를 나타내는 거예요 n각이 만약에 삼각기둥이다 그러면 밑면이 삼각형인 거고요 사각 기둥이다 그러면 밑면이 사각형인 거죠 그래서 밑면은 냉각형으로 나오는 거고요 밑면의 개수는 두 개겠죠 이렇게 밑면의 개수는 두 개입니다 항상 자 옆면의 모양은요 항상 무슨 모양이에요 이렇게 생긴 직사각형 모양이죠 냉각기둥에서 옆면은 항상 직사각형 자 면의 개수는요 우리가 만약에 밑면이 삼각형이면 옆면이 이쪽에 하나 이쪽에 하나 이쪽이 하나 있죠 그래서옆면이 n개고요 옆면 n개에다가 밑면은 항상 두 개니까 n + 2개의 면이 있는 겁니다 자 여기는 사각 기둥이니까 밑면이 사각형이고 사각형이고요 그러면 옆면이 여기 하나 여기 하나 여기 하나 여기 하나 총 4개 있겠죠 4개에다가 밑면 두 개를 더해서 6개가 되니까 이렇게 면의 개수는 n+2라고 쓸 수가 있는 겁니다 자 모서리 개수는요 우리 모서리의 개수는 우리요 밑면의 지금 삼각기둥이면 3개가 있죠 여기도 3개가 있겠네요 그러면 그 사이에이 밑면과 밑면을 연결하는 모서리가 또 3개가 있어요 이렇게 3개 그래서 총 9개가 되는데 만약에 n각 기둥이다 그러면 냉각기둥이다 그러면 밑면의 모서리엔게 밑면의 모서리 n개 그리고 그 밑면과 밑면을 연결하는 모서리가 또 n개 있어서총 3엔개의 모서리가 있는 겁니다 자 꼭지점은요 우리가 밑면에 있는 꼭짓점 세고 밑면에 있는 꼭짓점 세면 끝이죠 그렇기 때문에 n각기둥에서 밑면이 n각형이면 여기에 꼭짓점이 n개 있으니까 한 밑면의 꼭짓점이 n개 있으니까 총 2n개의 꼭짓점이 있는 겁니다

자 이번엔 n각뿔이고요 자 n각뿔은요 우리가 n에 따라서 n에 따라서 삼각뿔이 될 수도 있고 사각뿔이 될 수도 있죠 자 삼각뿔은 밑면이 삼각형인 거고 사각뿔은 밑면이 사각형인 겁니다 그래서 밑면의 모양이 n각형이고요 얘는 n각 기둥과는 다르게 밑면의 개수가 몇 개예요 이렇게 한 개 있는 것이죠 자 옆면 모양을 보면 옆면 모양은 어떻게 생겼어요 삼각형으로 생겼죠 그래서 옆면은삼각형입니다 자 면의 개수를 잴 건데 자 일단 밑면 1개가 있고요 옆면의 개수를 세 보면 밑면이 삼각형일 때 옆면은 이렇게 세게 생기죠 사각뿔에서 밑면이 사각형이니까 옆면이 몇 개 생겼어요 4개 생겼죠 그래서 면의 개수는 옆면 개수 n개에다가 밑면 한 개를 더해서 n + 1 개가 나오는 겁니다 자 모서리 개수는요 우리가 밑면의 모서리는 n개겠네요 밑면이 n각형이니까 n개인데 요렇게 각 꼭짓점에서 꼭짓점에서 모서리가 하나씩 더 생기는 거예요 여기는 사각뿔이니까 꼭짓점에서 모서리가 총 4개 더 생겼죠 그래서 요거는 2n개로 구할 수가 있겠네요 윗면 모서리 n개 그리고 각 꼭짓점에서 한 개씩 더 있으니까 n개를 더한 end 자 꼭짓점의 개수는 아까도 세 봤죠 우리 윗면에 있는요 꼭짓점 개수n개에다가 요기요 위에 있는 꼭짓점 하나를 더해서 총 n + 1개인 겁니다 냉각뿔대에서 우리가 밑면의 모양은 n각형이겠죠 마찬가지로 우리가 삼각뿔대라 그러면 밑면이 삼각형인 거고요 사각뿔대라고 하면 밑면이 사각형인 겁니다 자 이때 밑면의 개수는 밑면의 개수는 우리가 n각뿔 때는 밑면이 요것만 있는게 아니라 여기에도 있죠 여기에도 있기 때문에 밑면은 두 개인 거고요 우리 옆면의 모양은 앞에서 했었죠 항상 무슨 모양이 된다 그랬어요 사다리꼴이 된다고 했습니다

자 면의 개수는요 냉각기둥과 똑같죠 우리가 밑면 두 개에다가 옆면 n개를 더한 n + 2개가 되는 거고요 자 모서리도 똑같습니다 개수가 모서리는 밑면 n개 그리고 밑면 n개 그리고 두 밑면을 연결하는 모서리 n개그래서 총 3연계라고 나오는 거고요 [음악] 그러면 다 센 거죠 그렇기 때문에 총 2n개라고 우리 꼭짓점 개수까지 구할 수가 있습니다 자 우리요 내용은요 우리 외우고 있어야 돼요 우리요 내용을 외우고 있어야 되고 헷갈리면 그때그때 그림을 그려가면서 확인을 해줘도 좋지만 우리가 문제를 풀 때는 확실하게 알고 있어야 되기 때문에 우리가이 구하는 과정까지 보면서 외워 주시면 쉽게 외울 수 있을 겁니다 자 넘어가 볼게요 자 개념이지인데요 다음 그림과 같은 다면체의 면에게 수 모서리 개수 꼭짓점 개수 구하래요 자 얘는 어떤 단면체죠 육각 기둥이죠 육각기둥 자 밑면이 육각형이기 때문에 그리고 두 밑면이 평행하고 두 밑면의 모양도 같아요 그러면서 이렇게 모서리가 지금 이렇게 연결되어 있으니까 우리 요거는 육각기둥이라고 할 수가 있습니다 자면은 몇 개예요 면은 우리 n + 2니까 8개의 구해도 되고요 옆면 6개인 거 보고 밑면 2개인 거 가지고 8개라고 구해줘도 좋습니다 자 모서리는 몇 개예요 모서리는 3인계니까 18개라고 구할 수 있고요 밑면에 6개 요기 밑면도 6개 그리고 두 밑면을 연결하는 모서리가 이렇게 6개 있는 것이죠 그래서 18개고요 꼭짓점의 개수는 우리 꼭짓점의 개수는 총 몇 개 en 개니까 12개죠 우리 꼭짓점은 요렇게 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 밑에도 6개 그래서 총 12개인 겁니다 넘어가 볼게요 자 모서리 개수가 21개인 각골대의 밑면 모양은 n각형이래요 자 밑면 모양이 n각형인 각뿔대의 모서리 개수는 어떻게 구해요 우리가밑면의 n개 그리고 밑면의 n개 밑면 연결하는 모서리 n개에서 3n개죠 그게 지금 21인 거니까 n을 7이라고 구할 수가 있습니다 자 그래서 우리가요 식을 잘 알고 있으면 문제 푸는데 어려움이 없죠 답은 아니면 7이에요

자 우리 필수 예제 하나 더 보고 끝낼 거고요 다음 그림과 같은 다면체의 꼭짓점 개수 면의 개수 모서리 개수 제가 모서리랑 면을 바꿔서 말했네요 꼭짓점 개수 모서리 개수 면의 개수를 각각 구하라고 했어요 자 그러면 요거는 지금 뭐 기둥이나 어떤 각뿔이 아니에요 그렇기 때문에 그냥 우리가 일일이 세주면 되고요 꼭짓점은 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 일곱 여덟 아홉 열 꼭짓점은 몇 개예요 10개입니다 자 모서리 재볼게요 모서리를 세 보면 여기 하나 둘셋 넷 다섯 여섯 일곱 여덟 아홉 열 열하나 열둘에 우리 뒤에 안 보이는 13 14 15 총 15개죠 즉 모서리는 15개입니다 모서리 15개 자 이번엔 면에게 쓰고요 우리 면은 여기 하나 여기 하나 여기 하나 그리고 여기까지 해서 지금 4개죠 4개에다가 뒤에 여기 하나 여기 하나 여기 하나 세 개 더해서 면은 총 7개입니다

자 여기까지 해서 우리 오늘 다면체에 관한 내용 모두 배워 봤고요 우리 조금 외워야 될 내용이 있었죠네 무작정 외우기보다는 우리가 정확하게 그게 왜 나오는지 그걸 이해를 해서 좀 공부를 해주시면 외우는 것보다는 그냥 바로바로 우리가 적용을 시킬 수 있을 거예요 자 어쨌든 복습을 꼭 꼼꼼하게 해주시고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다감사합니다