[수학대왕] 중학수학1-2 개념강의 : 입체도형 - 정다면체

자 이번 시간 배울 단어는 정다면체입니다 자 우리 정다면체에 관해서 보도록 할 건데요 정다면체가 무엇이냐 각 면의 모양이 모두 합동인 정다각형이고요 각국지점에 모인 면의 개수가 같은 다면체를 정라면체라고 합니다

자 두 개를 만족시켜야 돼요 각 면의 모양이 모두 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체여야 됩니다 자 우리 각국 지점에 모인 면의 개수가 같다는게 무슨 의미인지는 우리 조금 아래에서 우리 정다면체의 종류를 보면서 보도록 할게요 자 정다면 딱 5개가 있어요 정사면체 정육면체에 정팔면체 정 12면체 정 20년째 이렇게 5개가있는데 하나씩 보도록 하겠습니다 정사면체는요 우리 면이 4개인 거예요 그래서이 정사면체의 면의 모양은 어떤 모양이냐 정삼각형이에요 이렇게 정삼각형 모양으로 생겼죠 자 한 꼭짓점이 모인 면의 개수인데 한 꼭짓점 제가이 꼭짓점을 기준으로이 꼭짓점에 모인 면의 개수를 찾아볼게요 자 이 면이 붙어 있죠 이면과이면 그리고 뒤에 있는요 면까지 총 3개의 면이 모여 있습니다 그래서 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3개구요이 꼭짓점뿐만 아니라이 꼭짓점에도 3개가 모이고이 꼭짓점에도이 꼭짓점에도 3개가 보입니다 그래서 우리 정답 면체가 되기 위해서 우리 아까 꼭짓점에 모인 면의 개수가 동일하다 그랬죠 그래서 이렇게 어떤 꼭짓점을 잡든 한 꼭짓점이 모인 면의 개수는 모두 동일한 겁니다 자 정사면치의 경우는 3개구요 자 면은 정사면체니까 네개겠죠

자 이번에는 모서리 개수를 한번 세 보도록 하겠습니다 자 모서리 개수를 세 보도록 할 건데 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 개죠 그래서 모서리 6개구요 꼭짓점은 우리 아까도 한번 샜었죠 하나 둘 셋네 개 꼭짓점은 총 4개입니다 자 이번엔 정육면체를 볼 거고요 우리 정육면체는 조금 익숙하죠 요렇게 생긴게 정육면체구요 면의 모양이 정사각형입니다 자 면의 모양은 정사각형이고 한 꼭짓점의 모임 면의 개수를 세 볼 건데 요것만 잡고 세 볼게요 자 여기에면 하나 여기에면 하나 그리고 여기 위에면 하나 면이 총 3개가 모여 있네요 자 면은 정육면체이기 때문에 총 6개 있는 거고요 이번엔 모서리 개수를 셀건데 자 요렇게 4개 이렇게 4개요렇게 4개 총 12개 있네요 자 꼭짓점 세 보겠습니다 몇 개예요 8개죠 자 이번엔 정팔면체를 보도록 할 거고요 우리 정팔면체는 요렇게 생겼는데 한 면의 모양이 어떻게 생겼어요 정삼각형으로 생겼죠 자 한 꼭짓점에 모인 변의 개수를 살 건데이 꼭짓점이 모인 면의 개수를 세 보면 요렇게 하나 요렇게 하나 요렇게 하나 요렇게 하나 총 4개가 모여있네요 자 정팔면체이기 때문에 면은 총 8개고요 모서리 개수는요 여기 하나 둘 셋네 개 그리고 요렇게 4개 여기도 4개 총 12개의 모서리가 있습니다 자 꼭짓점은요 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 개죠 꼭짓점 6개예요

자 이번엔 우리 12면체는 요렇게 생겼어요 자한 면의 모양은 무슨 모양이에요 오각형이죠 자 정다면체이기 때문에 정오각형이고요 한 꼭짓점에 모임 면의 개수를 세 보면 자요 꼭짓점에 모인 면을 세 보겠습니다 여기에 모인 모양은 요렇게 하나 요렇게 하나 그리고 요렇게 하나 해서 총 3개가 모여 있어요 정 12면체이기 때문에 면은 총 12개가 있는 거고요 자 우리 그림이 조금 복잡하긴 한데 그래도 우리 모서리 개수를 한번 세 보도록 하겠습니다 우선 안보이는 뒤쪽에 여기 지금 오각형 있죠 뒤쪽에 오각형이 있고 요렇게 5기 모서리가 더 있네요 그러면 총 열기 모서리가 지금 뒤에 있습니다 그리고 우리 앞에서 보이는 모서리 개수를 세주면 요렇게 오각형이 5개 있고요 요렇게 5개 있어서 10개가 또 있고요 그리고뒷면과이 앞에 있는 면들이 만나는 이쪽에도 모서리가 몇 개가 더 있어요 10개가 더 있네요 그래서 총 30개의 모서리가 있습니다 자 꼭짓점의 개수는요 우리 꼭짓점도 한번 세 보도록 할게요 꼭짓점은요 우리가 요렇게 앞에 5개 있고요 여기에 하나 둘 셋 넷 다섯 개 있죠 그리고 뒤쪽에 요렇게 5개 있고요 이쪽에도 하나씩 있습니다 그래서 꼭짓점이 20개 있어요 자 우리가 정 12면치랑 정20면체 같은 경우에는요이 한 꼭짓점에 보인 면의 개수나요 모서리의 개수 꼭짓점의 개수를 매번 세기에는 조금 무리가 있어요 그래서 정 12면체와 정20면체는 확실하게 외워 주시고요 우리 정팔면체도 좀 헷갈리는 친구들이 있으면 그것까지 같이 외워 주시면 됩니다

자 마지막으로 정 20면체까지 보도록 할게요자 정 20면체의 면의 모양은 이렇게 정삼각형이고요 한 꼭짓점이 모인 면의 개수를 세 보면 자이 꼭짓점에 모인 면역의 보면 요렇게 뒤쪽에 두 개 있고 앞쪽에 3개 있죠 그래서 총 5개 있습니다 정이신면체니까 면은 20개 있고요 자 이번에 모서리 개수를 세어 볼 건데 자 모서리가 이렇게 하나 둘 셋 넷 다섯 개가 위에 있고 요렇게 5개 있고요 그리고 요렇게 요렇게 요렇게 요렇게 있죠 그러면 제가 지금 10개를 더 샜네요 그리고 요렇게 5개 이렇게 다섯 개 그래서 5 + 5 + 10 + 5 + 5니까 모서리의 개수는 총 30개입니다 자 꼭짓점 개수는요 여기 하나 둘 셋 넷 다섯 개 있고 여기도 5개 있고요밑에 하나 있어서 총 12개의 꼭짓점이 있습니다 자이 내용 우리 확실하게 외워줘야 되는 부분은 외워 주시기 바랍니다 자 넘어가 볼게요 정다면체와 금연의 모양을 짝지은 것으로 옳지 않은 것은이라고 되어 있어요 자 정사면체는 정삼각형 맞구요 정육면체는 정사각형 맞고 정팔면체도 정삼각형 맞죠 정 12면체는 정오각형이 맞고 정 20면체는 정오각형이 아니죠 뭘로 이루어져 있어요 정상각형으로 이루어져 있습니다 정삼각형 따라서 답은 5번이 되겠네요 자 이번엔 정다면체의 전개도 인데요 자 지금 그림이 쭉 나와 있는데 우리 정사면치 전개도는 요렇게 펼칠 수 있고요 정육면체 정팔면체 정식이면체 정 20면체 그래서 우리가 요거는요 뭐 전개도가다양하게 나올 수 있는데 요렇게 어떤 면이나 면의 모양이나 개수를 보고 어떤 도형의 전개도인지 우리가 확인을 할 수가 있습니다 우리가 정확하게 전개도를 다양하게 그릴 수 있어서 꼭 이거를 외워야 되는 건 아니기 때문에 우리가요 정도만 보고 가면 될 것 같아요

자 밑에 있는 개념 이제 보면 다음 그림과 같은 전개도로 만든 정다면체의 이름을 구하라고 했고요 우리 이렇게 지금 삼각형이고 면이 4개니까이 정다면체는 정사면체라고 찾을 수 있죠 이렇게만 우리가 찾을 수 있으면 됩니다 넘어가 볼게요 그리고 정육면체 정육면체랑 정팔면체[음악] 정팔면체 정 12면체 정 12면체 마지막으로 정 20면체까지 총 5개가 있는게 맞습니다 딱 5개 뿐이고요 강면이 모두 합동인 정다각형인다면체를 정다면 틀렸죠 왜냐면 강면이 모두 합동인 정다각형인 다면체이면서 우리가 한 꼭지점에 모인 한 꼭지점에 모인 꼭짓점의 모임 면의 개수가 모두 동일해야 정다면체라고 한다고 했죠 그래서 답은 2번이에요 자 우리 3번 4번 5번도 쭉 보도록 할게요 면의 모양은 정삼각형 정사각형 정우각형 뿐이다라고 되어 있는데 자 정사면체의 면이정삼각형이고요 정삼각형이고 정중면체는 정사각형 정팔면체는 정팔면체는 정삼각형 정십이면체는 정오각형 20면체는 정삼각형이니까 우리 정삼각형 정사각형 정오각형 뿐이죠 자 한 꼭짓점이 모인 면의 개수가 5인 정다면체는 한 가지 뿐이다라고 했는데 자 정사면체는 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개구요요 꼭짓점에 모인 면의 개수 3개고 정육면체는 정육면체는 몇 개예요 자 요것도이 꼭짓점을 기준으로 보면 세계 자 정팔면체는 몇 개예요 정팔면체는 우리가 뒤에가 이렇게 생기면 안 되죠 이렇게 요렇게 생겼고 이렇게 되어 있는 건데 지금요 꼭짓점을 기준으로 세주면 여기 하나 둘[음악] 셋네 개니까네 개입니다 자 우리 정십이면체랑 정20면체는 그리기에 조금 무리가 있어서 우리가 개수를 외우자고 했었어요 우리 정 12면체에는 한꼭지점이 3개가 보이고요 정 20면체에는 5개가 모여서 우리가 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 5인 정다면체는 정 20년째 딱 한 가지 뿐인거를 확인할 수 있습니다 자 마지막으로 한 꼭짓점이 모인 가게의 크기의 합이 360보다 작다라고 되어 있는데 자 360도 보다 작은게 맞습니다 왜냐하면 지금이 꼭짓점에 모인이 가게 크기 합이라는 것은 여기 90도 여기 90도 여기 90도요 세 개를 더해서 270도가 나오거든요 이게 360보다 작아야 되는 이유가 뭐냐면 만약에 360 도다 그러면이 꼭짓점에서 면이 모여 있는데 면이 모여 있는데 그게 지금 각도의 합이 360도다 그러면요렇게 면을 모았을 때 평면이 되어 버려요 평면이 되면 우리는 요거를 입체 도형이라고 할 수가 없죠 그렇기 때문에 360도 보다 작은 것이 맞습니다 따라서이 문제의 답은 2번이 되겠네요 자 여기까지 됐을까요 넘어가 보겠습니다

자 두 번째 필수 예제구요 우리 정다면 최대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르라고 했어요 자 정사면 칙 꼭짓점 개수와 모서리 개수가 같다라고 되어 있는데 자 우리 머릿속으로 우리 정다면체를 그려가면서 한번 풀어보도록 할게요 정사면체의 꼭짓점 개수 몇 개예요 우리 정사면체로 이렇게 머릿속에 그려져야 됩니다 자 꼭짓점 4개 모서리는 6개죠 같이 않습니다 자 정육면체는 정팔면체와 꼭짓점 개수가 같다라고 되어 있는데 우리 정육면체는 요렇게 생겼고요 정팔면체는 이렇게 생겼습니다 자 제가 지금 그림을 그리고 있지만 우리 여기머릿속에 그려져야 됩니다 이렇게 자 정육면체의 꼭짓점 개수 몇 개예요 8개죠 8개고 정팔면체 꼭짓점 개수 6개예요 따라서 2번도 틀렸네요 자 3번 정팔면체의 면의 개수는 정육면체의 꼭짓점 개수와 같다라고 되어 있는데 정팔면체의 면의 개수는 8개고요 정육면체에 꼭지점 개수가 똑같이 8개네요 자 요거는 맞으니까 체크해주고요 4번 정 12면체의 모서리 개수와 정 20면치의 면의 개수가 같다라고 되어 있는데 정 12면체 모서리 개수 몇 개예요 30개죠 정 20면체 면의 개수는 20개이기 때문에 두 개가 같지 않습니다 자 정 20면체의 꼭짓점 개수는 정팔면체의 꼭짓점 개수의 두 배이다라고 되어 있는데 우리 정 20년째 꼭짓점 개수는12개죠 정팔면체 꼭짓점 개수는 6개이기 때문에 두 배가 되는 것이 맞네요 따라서 답은 3번 5번입니다

자 여기까지 해서 우리 정다면체에 관한 내용 모두 배워 봤고요 우리 정다면 확실하게 외워주시는게 좋습니다 꼭 외워주시고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다