[수학대왕] 중학수학1-2 개념강의 : 입체도형 - 기둥의 겉넓이와 부피

자 이번 시간 배울 단어는 기둥의 겉넓이와 부피입니다 자 우선요 우리가 기둥의 겉넓이를 구하는 방법을 배워 볼 건데 그 중에서도 각기둥의 겉넓이 구하는 걸 먼저 해보도록 할게요

자 각기둥의 겉넓이를 구할 때 우선요 밑넓이를 구해서 곱하기 2를 하여이 두 개의 넓이를 우선 구합니다 그 다음에는이 옆면 옆면의 넓이를 구해야 되는데 우리 옆면 넓이를 어떻게 구하냐 자 전개도에서이 옆면을 쭉 펼치면 요런 직사각형이 만들어지죠 그래서 가로 곱하기 세로로이 옆면 넓이를 구할 수가 있는데이 세로는 높이와 같구요 가로는 어디랑 같아요 가로는이 밑면의 둘레와 같죠요 가로 길이는밑면의 둘레와 같습니다 자 그렇기 때문에 우리가이 옆넓이를 어떻게 구한다고요 밑면의 둘레 밑면 둘레 곱하기 높이로 옆넓이를 계산하여 우리가 각기둥에 건널비를이 밑넓이 곱하기 2 + 옆넓이로 계산을 할 겁니다 자 그러면 넘어가서 볼게요

자 개념 예제 한번 보도록 하겠습니다 다음 그림과 같은 기둥의 겉넓이를 구하시오라고 되어 있고요 지금요 도형은 무슨 무슨 기둥이죠 삼각기둥이죠 자 삼각 기둥인데요 윗면에 넓이를 먼저 구해 보도록 하겠습니다 자 얘가 직각삼각형이죠 그래서 우리가이 한 밑면의 넓이를 1/2 곱하기 3 곱하기 4 즉 6 제곱센티미터라고 구할 수가 있어요 자 옆넓이는 어떻게 구하죠 우리 옆넓이는 밑면 둘레에다가 밑면 둘레에다가 높이를 곱한다고 했습니다 자 그러면 지금 밑면 둘레가 이렇게 3 + 5 + 4죠 자 밑면 둘레가 3+5+4고 높이가 8cm입니다 그래서 요거는 12 여기는 8따라서 96 제곱센티미터라고 옆넓이를 구할 수가 있어요 따라서이 삼각기둥의 겉넓이는요 한 밑면 넓이 곱하기 2 + 96으로 계산을 하면 되고요 12 + 96이니까 108 제곱센티미터라고 구할 수가 있습니다 자 두 번째 문제도 보면요 지금요 밑면의 모양이 원이기 때문에이 도형은 원기둥이고요 이 원의 넓이를 구해보면 파이 곱하기 반지름 제곱이니까 반지름 지금 5cm죠 25파이 제곱 cm라고 한 밑면의 넓이를 구할 수가 있어요 자 요 옆면 넓이 옆면 넓이는요 우리 밑면 둘레에다가 밑면 둘레에다가 높이를 곱해주면 되는데 밑면 둘레가 요원에 둘레와 같아서 2π 곱하기 반지 자 여기에다가 높이 그대로 곱해주면 되죠따라서 우리 백파이 제곱 cm라고 옆넓이를 구할 수가 있습니다 자 따라서 우리의 원기둥의 겉넓이는요 25파이 곱하기 2 + 100파이니까 150파이라고 구할 수가 있겠네요 답은 158 제곱센티미터입니다 자 여기까지 됐을까요 넘어가 보겠습니다

자 이번엔 기둥의 부피 구하는 방법을 한번 배워 볼 건데요 우리가 기둥에 부피는요 공통적으로 밑넓이 곱하기 높이에요 민넓이 곱하기 높이로 기둥의 부피를 구할 수 있고요 우선 각기동의 부피를 보면 여기도 윗넓이를 S 높이를 h라고 했을 때 각기둥의 부피 v를 밑넓이 곱하기 높이로 구하고 있죠 자 여기 밑넓이 하나 구하고 그 다음에 높이 곱해주면 되는 겁니다 자 원기둥도 기둥이기 때문에이 윗면 반지름을 r이라고 하고 높이를h라고 했을 때 원기둥 부피 v는 민넓이 곱하기 높이니까 우리 민 넓이가 윗넓이가 반지름이 아린 원의 넓이랑 파이알제곱이죠 그래서 부피를 파이 제곱 h로 구할 수가 있습니다 자 민나비 곱하기 높이만 기억해 주시면 돼요 자 그러면 직접 개념 예제에서 한번 부피 구해 볼 건데 첫 번째 보면 지금 요렇게 밑면이 무슨 모양이에요 아까와 같은 직각삼각형이죠 그래서 넓이를 구해주면 1/2 곱하기 3 곱하기 4니까 6제곱센티미터라고 구할 수가 있어요 그러면이 기둥에 부피를 v라고 했을 때 6 곱하기 높이 8을 하여서 48 제곱 세제곱센티미터라고 48 세제곱 cm라고 붓기를 구할 수가 있습니다 자 2번도 보면요 우선 민넓이 구하고요 민넓이는 파이r 제곱이니까 25파이 제곱센티미터죠 자 거기에다가우리 부피를 구하기 위해서는 밑넓이 곱하기 높이죠 따라서 250파이 세대고 cm입니다 이렇게 해서 부피도 구해줄 수 있겠네요 자 넘어가 볼게요

자 이번엔 필수 예제 한번 보도록 할 건데요 입체 도형의 겉넓이를 구하라고 했어요 자 얘가 지금 안쪽이 이렇게 비어있는 도형입니다 안쪽이 비어있는 입체 도형이고요 우선 멀구이 줄 거냐이 바깥쪽에 옆면 넓이를 구해 줄 거예요 바깥쪽에 옆면 넓이 자 옆면 넓이 구하기 위해서는 우리 밑면 둘레에다가 높이 곱해 줘야 되죠 밑면 둘레는 6 + 7 + 6 + 7 즉 26이구요 26에다가 높이 10을 곱해서 260 제곱센티미터라고 우리가 옆면의 넓이를 구할 수가 있겠죠 자 이번에는요 밑면의 넓이를 구할 건데 밑면에 지금 가운데 사각형이 뚫려있어요 그러면 얘는 어떻게 구하느냐이 바깥쪽 사각형 넓이에서 안쪽에 있는 사각형 넓이를 빼주면 되겠죠 그러면요 뒤꿈치 부분만 넓이를 구할 수가 있는 겁니다 자 따라서 6x7에서 5 곱하기 3을 빼니까 42 - 25 27 제곱 cm라고 나옵니다 자 마지막으로요 안쪽에 있는 안쪽에 있는이 옆면의 넓이를 구해야 되는데 요거는 우리가 마찬가지로 밑면 둘레에다가 높이를 곱해주면 되겠죠 밑면 둘레는 5 + 3 + 5 + 3이니까 16cm고요 거기에다가 높이 10을 곱해서 160 제곱센티미터라고 구할 수가 있습니다 따라서 다음 입체 도형의 건널비는 자 옆넓이 260에다가 우리 안쪽 옆넓이도 더해주고요 그리고밑면의 넓이 27을 두 번 더 해주면 되겠죠 자 요 가운데 도형이 비어 있지만 겉넓이를 셀 때는요 넓이를 우리가 더해서 더해서 구해줘야 되는 겁니다 그리고 빼는게 아니에요 요것만 주의해 주시고요 자 계산해주면 이렇게 계산했을 때 420 이구요 27에다 2를 곱하면 54죠 따라서 474 제곱센티미터라고 구할 수가 있습니다 자 여기까지 됐을까요 넘어가 보겠습니다

자 다음 그림과 같이 밑면이 부채꼴인 기둥의 부피를 구하라고 했는데 우리 기둥의 부피이기 때문에 민넓이에다가 높이를 곱해주면 돼요 자 따라서 민넓이만 구해주면 되고요 민넓이가 부채꼴이니까 부채꼴의 넓이 구하는 공식은 자 파이의 반지름의 제곱에다가 360분의 중심각도를 곱해주죠 자 그러면4파이 곱하기 3분의 1이니까 밑넓이가 3분의 4파이 제곱센티미터에요 그러면이 부채꼴 기둥에 밑면이 부채꼴인 기둥의 부피는이 밑넓이 3분의 4파이에다가 높이 4를 곱하면 되니까 3분의 16 파이 세제곱 cm라고 구할 수가 있겠네요 따라서 답은 3분의 16 파이 세제곱 cm입니다

자 여기까지 해서 기둥의 겉넓이와 부피에 관한 내용 모두 배워 봤고요 우리 겉넓이 구하는 방식하고 부피 구 하는 방법 우리 공식이나 어떤 방법들 꼭 확실하게 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다