[수학대왕] 중학수학1-2 개념강의 : 입체도형 - 뿔과 뿔대의 겉넓이와 부피

자 이번 시간 배울 단어는 뿔과 뿔대의 겉넓이와 부피인데요 자 우리 뿔과 뿔대의 겉넓이를 구하는 방법이 특별한 방법이 있는 것은 아니고요 입체 도형의 전개도를 펼쳐서 그 전개도에서 모든 부분에 넓이를 구해서 더해주면 됩니다

자 각뿔의 겉넓이를 구할 때는 우리가 윗넓이에다가 옆넓이를 더해주면 되는데 오른쪽에 예시로 사각뿔이 나와 있어요 자 밑면은 사각형이고요 쭉 펼치면 삼각형 4개가 생기죠 그러면 밑면 넓이에다가 밑면 넓이에다가요 삼각형 넓이 하나 구해서 여기다가 4를 곱해주면 되겠죠 자 이런 식으로 우리가 각뿔의 건너비를 구해줄 수가 있습니다

자 이번엔 원뿔의 겉넓이고요 원뿔에서는요 우리가밑면의 반지름이 아니고 모선의 길이가 l이면 겉넓이 s를 어떻게 구하느냐 4호선 전개도를 펼치면 이렇게 생긴 부채꼴이 만들어지고 밑면이 있겠죠 자 밑면 넓이는 파이r 제곱이고요 우리 여기 부채꼴의 넓이를 구해줘야 되는데이 부채꼴의 넓이를 구하는 방법 중에 1/2 rl로 넓이 구하는 방법이 있습니다 그래서 우리 반지름은이 부채꼴의 반지름은 지금 l이죠 부채꼴의 반지름 l이고 지금 호의 길이가 여기서 말하는 l은 여기 있는 애를 말하는게 아닙니다 여기 있는 호의 길이 애를 말하는 거예요 자 요 호의 길이는 밑면 둘레와 같아서 2πr로 구할 수 있으니까이 알까지 곱해주면 우리 옆넓이를 파이rl로 구할 수가 있는 겁니다 따라서원뿔을 건널비 s는요 밑넓이와 옆넓이를 더하는데 밑넓이는 파이할 제곱 옆넓이는 파이 rl로 구할 수가 있습니다 자 뿔테이 건넓이는요 우리 뿔테이 건너비는 두 밑넓이의 합에다가 옆넓이를 합해주면 되는데 우리가 전개도를 펼쳤을 때 요렇게 요렇게 생기죠 자 그러면 민달비는 원의 넓이로 구해주면 되는데 옆넓이는 어떻게 구하겠어요 이렇게 부채꼴에서요 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴의 넓이를 빼서이 옆면 넓이를 구할 수가 있습니다 그래서 겉넓이는 두 밑넓이의 합에다가 옆 넓이를 더해서 구해주면 됩니다 자 넘어가 볼게요

다음 그림과 같은 뿔에 겉넓이를 구하라고 했어요 자 우선 1번 보면 우리 민넓이를 구할 수 있겠죠 민넓이는 지금 사각형이니까 25제곱센티미터로 구할 수가 있습니다 자 여기 옆에있는 삼각형 하나의 넓이도 우리가 구할 수가 있고요 삼각형이니까 2분의 1 곱하기 밑변 곱하기 높이 따라서 2분의 45 제곱센티미터로 우리가 구할 수가 있습니다 자 그러면 우리가요 건널비는요 건널비는 밑넓이 25에다가 25에다가 여기 삼각형 2분의 45가 몇 개 있는 거예요네 개 있는 거죠 따라서 25 플러스 90 이니까 115 제곱 cm라고 구할 수가 있습니다 자 두 번째 문제 보면 지금 원뿔이 주어져 있고요 우선이 원뿔의 민넓이를 구하겠습니다 자 민넓이를 구하면 반지름이 7인 원의 넓이니까 49 파이 제곱센티미터죠 자 이번엔 옆넓이를 구해야 되는데 옆면의 모양을 부채꼴 모양입니다 자 이렇게 부채꼴 모양에서 여기가14cm겠죠 자이 부채꼴의 넓이를 구하기 위해 고의 길이가 필요하고요 고의 길이는 윗면의 둘레와 같으니까 14 파이라고 구할 수가 있습니다 따라서이 부채꼴의 넓이는 1/2 곱하기 반지름 곱하기 호의 길이로 구할 수가 있고요 약분해서 계산해주면 98 파이 제곱 cm라고 구할 수가 있겠네요 따라서 다음 원뿔을 건널비는 49 파이 플러스 98 파이니까 두 개를 더해주면 우리가 147 파이 제곱 cm라고 겉넓이를 구할 수가 있어요 여기까지 됐을까요 자 넘어가 볼게요

자 이번엔 뿔과 뿔대의 부피를 보겠습니다 우선 각 뿌리 부피 구하는 방법을 볼 건데 자 민넓이가 애쓰고요 밑넓이가 s고 높이가 h인이 각뿔의 부피는요 3분의 1 곱하기밑넓이 곱하기 높이 즉 1/3 sh로 구할 수가 있습니다 우리 각기둥에서는 그냥 민노의 위에다가 높이를 곱해서 부피를 구했죠 그런데 각뿔은 3분의 1까지 곱해줘야 각뿔의 부피가 나와요 자 원뿔이 부피는요 우리 밑면 반지름이 아니고 높이가 h면 밑넓이에다가 높이를 곱하고 마찬가지로 3분의 1을 곱해주는 겁니다 3분의 1 곱하기 밑넓이 곱하기 높이고 3분의 1 파이알제곱 h로이 원뿔의 부피를 구할 수가 있어요 자 밑넓이가 밑넓이가 바이알 제곱이고 부피가 h니까 식으로 쓰면 이렇게 나오겠죠 자 마지막으로 풀떼이 부피고요 우리 뿔 때는요 큰 뿔에 부피에서 작은 뿔의 부피를 빼서 부피를 구해줍니다 자 이렇게 생긴 각뿔대는요 이렇게 큰 사각뿔에서요 그림에서 사각뿔이죠 묘사가 뿔에서이 위에 있는작은 사각뿔의 부피를 빼주면 돼요 사각뿔이 아니더라도 우리가 각뿔대에서는 큰 각뿔에서 작은 각뿔의 부피를 빼주면 되겠죠 자 원뿔들도 마찬가지입니다이 아랫부분에 부피를 구하기 위해서는 큰 원뿔의 부피에서 작은 원뿔의 부피를 빼서 구해주면 돼요 자 여기까지 됐죠 넘어가 볼게요

자 개념 문제인데요 우리 다음 그림과 같은 뿔의 부피를 구하라고 했어요 우리 첫 번째 보면 사각뿔이죠 자 사각뿔의 부피는요 쌍꺼풀의 부피는 민넓이에다가 높이 곱하고 3분의 1까지 곱하면요 사각뿔의 부피가 나옵니다 자 그러면 밑넓이는 지금요 한 변 길이가 3인 정사각형의 넓이니까 밑면 넓이는 9라고 구할 수 있겠죠 높이는 몇 cm라고 나와 있어요 높이는 5cm라고 나와 있습니다 고급하고 3분의 1 곱하고따라서 우리 부피는 15 세제곱 cm라고 구할 수가 있겠네요 자 두 번째는 원뿔이고요 우리 원뿔 부피도 우리 비슷한 방법으로 구하죠 민넓이하고 높이하고 3분의 1 곱하는 건 똑같구요 지금 밑면의 모양만 다르기 때문에 밑넓이 구할 때만 다르게 구해주면 됩니다 자 밑면 모양이 지금 원이기 때문에 우리 원의 넓이 구하는 공식으로 밑넓이를 구해주면 되고요 반지름이 3인원이니까 9파이겠죠 높이는 4cm 구역 3분의 1까지 곱해서 부피를 12파이 세제곱 cm라고 구할 수가 있습니다 자 넘어가 보겠습니다 다음 그림과 같이 윗면이 정사각형인 사각뿔대의 겉넓이를 구하는 문제입니다 자 우선요 겉넓이를 구하기 위해서요 밑면과요 밑에 있는 밑면이 두 밑면의 넓이를 각각 구해주도록 할 거예요 자 요 위에 있는 밑면은요 한면 길이가 4인 정사각형이기 때문에 16제곱 cm 구요 밑에 있는 밑면 넓이는 반면 길이가 8인 정사각형이니까 64 제곱센티미터입니다 자 옆면은 지금 요렇게 생긴 사다리꼴이 몇 개 있어요 4개 있죠 자 그래서요 사다리꼴 넓이를 구해서 곱하기 4를 해 줄 겁니다 사다리꼴 넓이는요 우리 윗변 더하기 아랫변 곱하기 높이 거기에다가 2분의 1을 해서 우리가 넓이를 구할 수가 있고요 12 곱하기 7 곱하기 2분의 1이니까 우리가 42제곱 cm라고 옆면 넓이를 구할 수가 있겠네요 자 그러면 우리가 전체 건널비는요 밑면 넓이 더하기 밑면 넓이 + 저 42 곱하기 4를 해주면 되겠네요 자 그러면 이렇게 더해주면 80이고요42 곱하기 4는 168입니다 따라서 248 제곱 cm라고 우리 건널비를 구할 수 있겠죠 자 됐죠 넘어가 보겠습니다

자 두 번째 필수 예제구요 다음 그림과 같은 원뿔대의 부피를 구하라고 했어요 자 그러면 우리가 요거는 어떻게 구할 거냐 큰 원뿔의 부피에서요 우리가 작은 원뿔의 부피를 빼서 구할 거예요 자 큰 원뿔은 지금 밑면에 밑면의 모양이 원인데 이때이 원의 반지름이 12cm죠 그리고 높이가 몇 cm인지 보면 여기서부터 여기까지가 높이인데 3cm의 6cm를 더해서 높이는 9cm입니다 자 작은 원뿔의요 밑면의 반지름은요 반지름은 여기 4cm라고 나와 있고요 자 높이를 구해주면 여기서부터 여기까지니까3cm라고 할 수 있습니다 자 따라서 자 부피를 각각 구하겠습니다 밑넓이는요 12의 제곱 파이고 높이는 9cm이고 부피할 때는 1/3 곱해주고 자 작은 원뿔의 부피는요 밑넓이 16파이 곱하기 높이 곱하기 1/3 이렇게 계산해 주면 되겠죠 이렇게 3이 되고요 12를 제곱하면 144가 됩니다 자 그래서 144 파이 곱하기 3이니까 우리가 계산하면 이렇게 432파이라고 구할 수가 있어요 여기는 126 파이네요 계산해주면 416파이라고 구할 수가 있습니다 1416파이 세제곱 cm 이렇게 답사 주면 되겠죠

자 여기까지 해서요 꿀과 뿔대의 겉넓이와 부피 구하는 방법 모두 배워봤는데 우리가이 구하는 공식을 확실하게 외워 주시고요 공식을 나중감을 많이 까먹기 때문에 정말 확실하게 공식을복습해서 자기 걸로 만들어 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다