[수학대왕] 중학수학1-2 개념강의 : 입체도형 - 구의 겉넓이와 부피

자 이번 시간 배울 단어는 구의 겉넓이와 부피입니다 자 우선 요 이 구의 겉넓이 구하는 공식과 부피 구하는 공식을 배워보도록 할 건데 우리 구획 겉넓이와 부피를 구할 때는 딱 하나만 필요해요 요 반지름만 알고 있으면 됩니다 반지름의 길이가 아린 구의 겉넓이 s는요 4파이 r²으로 계산을 할 수가 있어요

자 반지름의 길이가 아린 구의 부피 v는 3분의 4파이알 세제곱으로 부피를 구할 수가 있습니다 자 이렇게 두 개만 활용해서 우리가 구의 겉넓이와 부피를 구할 수가 있어요 자 그러면 우리 개념 예제 한번 볼 건데 자 지름의 길이가 14cm니까 건넓이와 부피를 구하라고 하면 반지름이 필요한 거예요 자 반지름이 몇 cm예요 절반인7cm죠 그래서 겉넓이를 s라고 해서 s를 구해주면 4π 반지름의 제곱이죠 그러면 4π 곱하기 49구요 우리 49 곱하기 4를 계산해주면 9436 4 16 196이라고 나오네요 따라서 196 파이 제곱센티미터입니다 자 부피도 같은 방법으로 구해주면 되고요 3분의 4 파이 r3²이니까 3분의 4파이에 반지름 7의 3제곱이에요 그러면 우리가 7 곱하기 7은 49니까 요거 49 곱하기 7로 계산해주면 49 곱하기 7은 우리가 343이라고 나오고요 여기에다가 우리 지금 요게 343이면 4를 또 곱해 줘야 되죠 그래서 343 곱하기7을 계산을 해주면 73에 21 실사 28 73-21 2301이라고 나옵니다 따라서 3분의 2,301 파이 세제곱 cm라고 부피를 구할 수가 있겠네요

자 2번 보면 지름의 길이가 12cm인 겉넓이를 구하라고 했는데 자이 바깥쪽 면을요 우리 구의 겉넓이 공식으로 구해줘야 돼요 자 원래 반지름의 길이가 6cm인 9의 겉넓이는 4π의 반지름의 제곱이어서 144파이 제곱센티미터라고 구할 수가 있어요 근데 이거는 9의 건넓이고요 우리는 지금 절반만 필요하니까 나누기 2를 해서 72파이 제곱센티미터라고 구할 수가 있어요 그런데 여기서 끝나면 안 되고요 건널비면 요기이 원의 넓이까지 더해줘야 되니까 저 원의 넓이는 몇이에요반지름이 6인원이니까 36 파이 제곱센티미터죠 따라서 다음 반구의 겉넓이는 72파이 플러스 36파이 즉 108파이 제곱센티미터라고 구할 수가 있습니다 여기까지 됐을까요 넘어가겠습니다

자 필수 예제구요 다음 그림은 반지름의 길이가 12cm인 9의 4분의 1을 달라는 것이고이 입체 도형의 겉넓이를 구하라고 했어요 자 우선 우리가 반지름이 12cm인 9의 겉넓이를 구하면 9에서는 12 4πr²이니까 겉넓이가 4π 곱하기 반지름의 제곱 자 11을 제곱하면 144가 나와요 4파이 곱하기 144입니다 자 근데 여기서 우리가 지금 4분의 1을 잘라냈으니까 전체의 얼마가 남은 거예요 4분의 1이 사라진 거라 전체의4분의 3이 남은 겁니다 그래서 우리가 구해야 되는 것은 여기다가 4분의 3을 곱한 부분의 넓이가 필요한 거예요 따라서 3 곱하기 144 파이고요 계산해주면 우리 요거는 432파이 제곱센티미터라고 구할 수가 있습니다 자 요거는 바깥쪽이에요이 바깥쪽 부분에 넓이를 구한거고 우리요 안쪽에 있는이 반원 넓이와이 반원 넓이도 따로 구해줘야 되는데 두 개를 그냥 합쳐서 구하면 그냥 원인 넓이만 구해주면 되겠네요 두 개 합치면 원이 되니까이 원의 넓이는 반지름이 12인 원의 넓이여서 12의 제곱 파이 즉 144 파이 제곱 cm입니다 따라서이 입체 도형이 건널비는 432파이 제곱센티미터 +144 파이 제곱센티미터여서 결론적으로는 576 파이 제곱 cm가 나오는 겁니다 여기까지 됐을까요 자 그러면 넘어가 볼게요

자 두 번째 필수 예제구요 다음 그림과 같이 원기둥이 9와 원뿔이 꼭 맞게 들어가 있대요 지금 여기가 9랑이 원기둥이랑 딱 만나고 있고요 원뿔이랑이 원기둥이랑 밑면이 같은 거예요 자 그랬을 때 원기둥의 부피가 27파이 세제곱센티미터래요 그러면 자요 반지름을 제가 r이라고 하면요이 구의 반지름도 알이 되겠죠 그러면 이렇게 요거 구의 지름이이 알인데요이 알은요 길이와 같겠죠 따라서이 원기둥의 부피는요 파이알 제곱 곱하기 2r 밑넓이 곱하기 높이죠따라서 2πr³이고요 제가 27파이랑 같다는 거예요 그러면 아래 3제곱이 2분의 27이라고 정리가 되겠죠 자 그러면 이번에는 원뿔의 부피를 구할 건데 자 원뿔의 부피는 어떻게 구해요 원뿔의 부피는 밑넓이 곱하기 높이 나누기 3이죠 민넓이 곱하기 높이 곱하기 3분의 1이니까 민넓이 파이알제곱 높이는 2r 동일하고요 거기에다가 1/3까지 곱해주면 3분의 2파이 알 3제곱이 원뿔의 부피입니다 그런데 우리 아래 3제곱이 2분의 27이니까 9π 세제곱 cm라고 구할 수가 있는 거예요 자 그러면 마지막으로 우리 구의 부피를 구할 건데 9의 부피는요9의 부피는 우리 3분의 4파 이하 3제곱으로 구의 부피를 구하죠 그러면 3분의 4파이 곱하기 2분의 27이니까 약분해서 18 파이만 남네요 따라서 18파이 세제곱 cm입니다 자 우리 두 번째 필수에서 조금 어려웠죠 우리가요 27파이 세제곱 cm인 것을 가지고 r3²의 값을 먼저 구해서 여기다 대입을 하여 우리가 원뿔과 9를 구해 준 겁니다

자 여기까지 해서 우리 구의 겉넓이와 부피 배워 봤구요 우리 구의 겉넓이와 부피 구하는 공식 꼭 꼼꼼하게 복습하면서 외워 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다