[수학대왕] 중학수학1-2 개념강의 : 자료의 정리와 해석 - 히스토그램과 도수분포다각형

자 이번 시간 배울 단어는 히스토그램과 도수 분포 다각형입니다 자 우선 요 이 히스토그램이 무엇인지 배워 볼 건데 오른쪽에 히스토그램이 하나 그려져 있어요 자 얘가 어떤 걸 의미하는지 먼저 보도록 하겠습니다

제가 좀 숫자를 적어 줄 건데요 여기를 10 20 30 40 50 60이라고 하겠습니다 그러면 여기 있는이 사각형이 의미하는 것은 무엇이냐요 12상 20 미만의 계급에 10 이상 20미만의 계급이 미만의 계급에 자료가 2개 속해서 도수가 2라고 의미하고 있는 겁니다 자 그러면요 사각형은 뭐겠어요 20 이상 30미만의 계급의 자료가몇 개속해요 여기는 6개 속하죠 즉 도수가 6인 겁니다 자 요렇게 히스토그램은 우리가 도수 분포표를 좀 더 보기 쉽게 이런 이런 그림으로 나타낸 거구나라고 생각을 해주시면 되겠네요 자 그래서 우리가 가로축에 지금 10 260을 제가 적어 놨는데요 길이요 길이가 계급의 크기를 의미하고 요 이 숫자들이 바로 계급의 끝값을 의미하게 됩니다 그리고요 세로축으로요 숫자들이 도수를 의미하게 되는 것이죠 그러면요 길이가 도수겠죠

자 그러면 우리가 히스토그램을 어떻게 나타낼 수 있느냐 자 먼저 가로축이 각 계급의 끝값을 적구요 쭉 적고 세로축에 도수를 쭉 적은 다음에 각 계급에서 계급의 크기를 가로로 도수를 세로로 하는 직사각형을 그려서이렇게 그림으로 나타내 주면 됩니다 자 이런 히스토그램의 특징들이 있는데요 자 특징은 히스토그램은 각 계급의 도수를 직사각형의 세로의 길이로 나타내므로 자료의 분포 상태를 한눈에 알아볼 수 있다는 장점이 있습니다 자 우리가 도수분포표로 나타낼 때보다 히스토그램으로 나타내면 한눈에 알아볼 수 있겠죠 자 직사각형의 넓이는요 우리요 직사각형의 넓이는 예를 들어 요직 사각형의 넓이를 구하여라 그러면 우리는 계급의 크기에다가이 도수의 값을 곱해주면 되겠죠 자 그래서 직사각형의 넓이는 각 계급의 도수의 정비례합니다 자 직사각형 넓이 합을 구하라고 하면 우리 계급의 크기는 항상 똑같으니까 계급의 크기에다가요 사각형들의 세로 길이를 모두 더해서 곱해주면 되니까이 새로 길이를 모두 더한 도수의 총합을 계급의 크기에다가곱해주면 됩니다 자 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요

다음은 수정이래반 학생들의 수학 성적을 조사하여 나타낸 이스토그램이다 자 계급의 크기를 a죠 계급의 개수를 B 도수가 가장 큰 계급을 시점 이상 d점 미만이라고 할 때 a+b+c+d의 값을 구하라고 했습니다 자 계급의 크기는요 우리가요 가로 직사각형 하나의 가로 길이를 말하는 것이고 a를 10이라고 구할 수 있겠네요 자 계급의 계수라고 했으니까 계급은 한 개 두 개 세 개네 개 다섯 개 6개죠 b는 6이라고 구할 수 있어요 자 도수가 가장 큰 계급을 찾아야 되는데 도수가 가장 큰 계급은요 계급이죠 자요 계급은 몇 점 이상 몇 점 미만이에요 70.23 80.2만입니다 그래서 c는 70d는 80이고요 우리가 a+b+ c++ d의 값을 구해주면 10 + 6 + 70 + 80이니까 166이라고 구할 수가 있습니다 됐죠 넘어가 보겠습니다

자 이번엔 도수 분포 다각형인데요 도수분보다각형은 무엇이냐 우리가 오른쪽에 지금 히스토그램이 그려져 있어요 이렇게 생긴 히스토그램이 그려져 있는데이 히스토그램을 가지고 도수 분포 다각형을 그려보겠습니다 자 우선 히스토그램에서 각 직사각형의 윗변의 중앙에 점을 찍어요 자 각 직사각형의 윗변에 중앙에 점을 찍습니다 이렇게 점을 찍고요 그리고 그래프의 양 끝에 도수가 0인 계급이 하나씩 있다고 생각하여 여기에도점을 찍어요 여기에도 점을 찍고요 그러면이 점들을 모두 이어주면 이렇게 생긴 다각형이 나오죠이 사각형을 우리가 도수 분포 다각형이라고 합니다 그러면이 도스 분포 다각형에는 어떤 특징이 있느냐 우선은 도수의 분포 상태를 연속적으로 관찰할 수가 있습니다 자 우리가이 점을 연결하여 도수 분포 다각형을 그려놨기 때문에 조금 더 연속적으로 우리가 관찰할 수 있겠죠

자 두 번째는 도수분 보다가 켠과 가로축으로 둘러싸인 부분에 넓이 즉 요날비와 히스토그램의 직사각형의 넓이 합의 동일합니다 자 이게 왜 동일하냐면 우리요 부분을 확대를 해서 여기에는이 두 개의 삼각형만 그려주면 요런 삼각형이 나오는데 부삼각형이 합동이에요 왜냐하면 지금 여기는 계급의 크기의 절반이라 길이가 같고요여기는 직각이고 여기는 맞꼭지각이죠 그러면 여기 각도도 같아질 것이고 우리가 두 삼각형이 asa 합동이라는 것을 확인할 수 있습니다 합동이기 때문에 넓이가 동일하구요 넓이가 동일하니까 우리이 히스토그램의 직사각형에서 요기 넓이를 여기로 옮기고 여기 넓이를 여기로 여기 넓이를 여기로 여기 넓이를 여기로 그리고 여기 넓이를 여기로 옮기고 여기 넓이까지 여기로 옮겨주면 결국엔 요런 다각형이 만들어지겠죠 그래서이 사각형 넓이 합과이 다각형의 넓이는 동일합니다 그래서요 내용을 기억해 주시고요 우리 VR 사항 보면요 한번 읽어 볼게요 계급이 개수를 셀 때 양 끝에 도수가 0인 계급은 세지 않습니다 우리가 다각형을 만들기 위해 찍은 점이기 때문에요거는 되지 않아요 자 그리고 두 개 이상의 자료에 분포 상태를 동시에 나타내어 비교할 때는 도수 분포 다각형이 히스토그램보다 편리한 겁니다 우리가 두 개를 비교를 할 때는 도수 분포 다각형이 연속적으로 표시가 되기 때문에 조금 더 분포 상태는 우리가 토스 분포 다각형에서 더 편하게 볼 수 있는 거예요 자 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요

자 개념예제 이제 볼 건데요 다음은 어느 반 학생들이 등교하는데 걸리는 시간을 조사하여 나타낸 도수 분포 다각형이다 자 등교 시간이 7번째로 짧은 학생이 속한 계급의 도수를 구하는 건데 자 요거를 지금 우리가 도수 분포 다각형을 이렇게 히스토그램으로 생각해서 똑같이 풀어주면 되는 거예요 자 일곱 번째로 짧은 학생이니까 자 이쪽에서부터 찾아주면 되겠네요 여기 두 명 있고요 여기 4명 있어요 총 6명이네요그러면 7번째는 그 다음 계급에 속하겠죠 그래서 7번째로 짧은 학생이 속한 계급은 여기구요 그때의 도수는 우리가 8이라고 구할 수가 있습니다 자 필수 예제 보겠습니다 다음은 초롱이네반 학생들의 한 달 동안 도서관 이용 시간을 조사하여 나타낸 히스토그램이다 다음 중 히스토그램을 보고 알 수 없는 것은이라고 되어 있네요 자 계급에게서 알 수 있나요 자 알 수 있죠 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 일곱 개인 거 확인할 수 있습니다 자 계급의 크기 알 수 있나요 계급의 크기는요 너비이기 때문에 2라고 구할 수가 있습니다 자 초롱이네 반 전체 학생 수는 우리가 도수를 합해서 구할 수 있죠 여기 2명 5명 7명 9명 8명 여기는 6명 여기는 세 명이 숫자들을 모두 더하면 우리 초롱이네 반 전체 학생 수를구할 수가 있죠 자 한번 구해볼까요 2 + 5 + 7 + 9 + 8 + 6 + 3 이구요 요거는 7 1 23 31 37 40 40명이라고 구할 수가 있습니다 자 도서관 이용 시간이 가장 많은 학생이 이용 시간이라고 되어 있는데 자 요거는 우리가 알 수가 없어요 왜냐하면 14시간 이상 16시간 미만의 학생이 3명인 걸 알 수 있지만 정확하게 몇 시간 이용한 제일 많이 이용한 학생이 정확하게 몇 시간 이용했는지는 모르는 겁니다 그래서 우리 4번이 답이 되는 것이고요 자 초롱이래반 학생들의 도서관 이용 시간에 분포 상태는 우리가 알 수 있죠 우리가 그거는 우리 보스분포 다각형으로 요렇게 그어주면 분포 상태를 조금 더 확인하기 편하다고 했었죠 자 그리고 우리가 이 히스토그램으로도 분포 상태는알 수가 있습니다 그래서 답은 4번이 되겠네요 자 넘어갈게요

자 다음 다음은 어느 반 학생들이 턱걸이 횟수를 조사하여 나타낸 도수 분포 다각형이다 다음주 옳지 않은 것은이라고 되어 있어요 자 계급의 개수는 7이다라고 되어 있는데 자 우리가 한 개 두 개 세 개네 개 5개 6개 7개 7개의 계급의 계급이 있는 겁니다 그래서 계급의 개수는 7이 맞고요 두 번째 계급의 크기는 4회이다 계급의 크기는요 구간에 구간에 너비구요 우리가 4라고 구할 수 있네요 요것도 맞구요 3번 턱걸이 횟수가 12회 미만인 학생은 7명이다라고 되어 있는데 12회 미만이니까 여기보다 왼쪽이 있는요 학생들과 유학생들이고요 여기는 2명 여기는 5명이니까 총 7명이 맞네요 요것도 맞습니다자 턱걸이 횟수가 21회인 학생이 속한 계급의 도수는 13명이다라고 되어 있는데 자 턱걸이 횟수가 21회다 그러면요 계급에 속하는 거고요요 계급에 속하는 학생이 속한 도수는 학생이 속한 계급의 도수는 6명이네요 그래서 요거는 틀렸습니다 답은 4번이고요 마지막 도스 분포 다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분에 넓이는 160이다라고 되어 있는데 우리요 넓이는이 히스토그램에서 나오는 직사각형의 넓이의 합과 동일하다라고 했고요이 히스토그램에서 직사각형 넓이의 합은 계급의 크기 4에다가이 도수들의 합을 곱해주면 된다 그랬죠 도수들의 합은 2 더하기 5 + 요기 7 14 여기는 6 여기는 4 여기는 3이니까 7 + 13 +6 + 4 + 3이죠 그러면 이건 14 27 33 37 40 그래서 4 곱하기 40 즉 160이라고 구할 수가 있습니다 따라서 5번도 맞네요

자 여기까지 해서 히스토그램과 도수분포 다각형 모두 배워 봤구요 우리 요 파트는 많이 어렵지 않을 거예요 그렇기 때문에 그때그때 복습하면서 내용 완벽하게 이해하고 넘어가시면 좋을 것 같아요 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다