[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 유리수와 순환소수 - 유한소수, 무한소수, 순환소수

자 반갑습니다 오늘 내용은 유한소수, 무한소수입니다 자 우리가 오늘 2학년 1학기 처음 배우는 날인데 우리 2학년 1학기 과정에서는 이렇게 순환소수에 관련된 내용을 한번 배우고요 당시 부등식 그리고 연립 1차 방정식 1차 함수까지 많은 내용들을 배우게 되어 그러니까 우리가 이렇게 강의를 들으면서 꼭 복습 꼼꼼하게 해주시면서 잘 따라오시기 바랍니다

자 일단은 오늘은이 순환소수에 관해 배워보도록 할 거예요 자 순환소수를 배우기에 앞서서이 유리수가 뭔지 유리수에 관해서 조금 복습을 먼저 하도록 하겠습니다 자 유리수가 뭐냐면요 우리가 분수 2분의 a 어떤 분모본의 분자꼴로 표현할 수 있는 숫자를 우리가 유리수라고 합니다 자 이렇게 분수로 표현할 수 있으면 우리 요리수라고 하는 거예요 자 이때 분모가 0이 되면 안 되겠죠 그래서 b는 0이 아니다라는 조건이 달려 있는 거고요 이렇게 표현할 수 있으면 싹 다 유리수입니다 자 그런데 우리가 유리수에는 또 다양한 숫자들이 있어요 자 그거를 한번 분류하는 것을 다시 한번 복습해 볼 건데 자 우리가 가장 먼저 배운 숫자는 자연수라는 숫자죠요 자연수는 요 1 2 3 이런 숫자들을 자연수라고 합니다 자 이 자연수는요 정수에 속하고요 정수 안에는이 자연수를 우리가 양의 정수라고도 할 수 있습니다 양의 정수 0 음의 정수 이렇게 세 가지가 정수 안에 들어 있죠 자 의미 정수는 뭐예요 우리 자연수 즉 양의 정수에서 부호만 바꾼 거를 음의 정수라고 하죠 -1 -2 -3 이런 애들을 음의 정수라고 합니다 자 그리고 정수가정수가 우리 유리수에 속해요 자 우리가 정수를 유리수라고 할 수 있는 이유는 뭐예요 여기 있는 숫자들을 우리 모두 예를 들어 1 같은 경우는 뭐 3분의 3 같은 경우에는 2분의 6 이런 식으로 이런 분수꼴로 표현을 할 수가 있기 때문에 우리 정수를 유리수라고 할 수 있습니다 즉 정수는 유리수에 속하는 거예요

자 의미 정수도 마찬가지로요 마이너스 3은 마이너스 2분의 6 이런 식으로 우리가 표현을 할 수가 있겠죠 이렇게 2분의 -6으로도 표현을 할 수가 있습니다 분모분의 분자골로 표현이 되죠 자 0도 마찬가지로요 뭐 분모가 3이면 분자는 0 이런 식으로 분수꼴로 표현을 할 수가 있어요 자 어쨌든이 정수들은 정수들은 모두 분수꼴로 표현을 할 수가 있기 때문에 우리가 유리수라고 할 수 있고요 유리수에는 정수만 있는 것이 아니라 우리가 정수가 아닌 유리수라고 부르는요런 애들도 있어요 3분의 4 - 1/5 0.9 -2.6 자 이렇게 정수로 표현할 수 없는 유리수들도 있습니다 자 우리가 요거는 배웠던 내용들이죠 자 그러면 밑에 있는 개념 예제 한번 보도록 하겠습니다 다음 수 중에서 유리수인 것을 모두 고르시오라고 했는데 자 하나씩 볼게요 자 3은 뭐예요 유리수죠 유리수 중에서도 자연 즉 양의 전수입니다 양의 정수구요 마이너스 1/5은 유리수인가요 자 얘도 유리수죠 자 얘는 유리수 중에서 정수가 아닌 유리수입니다 2.4는요 2.4는 마찬가지로 정수가 아닌 유리수구요 자 -1은 뭐예요 정수고 음의 정수죠 매정수 영은 뭐죠 0은 우리가 그냥 정수에 속하는어떤 0이라는 유리수죠 얘도 마찬가지로 유리수입니다 자 그러면 문제에서 주어진이 5개의 숫자들 모두 유리수네요 그래서 5개 다 답으로 써주면 됩니다 2.4 -1 0 자 됐을까요 넘어가 볼게요 자 유한소수와 무한소수인데요 자 우리가 새로 배우는 내용이죠 유한소수와 무한 소수 자 유한소수가 뭐냐 유한소수는요 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유 한 번 나타나는 소수를 유한소수라고 해요 우리가 지금까지 배웠던 소수들은 대부분 유한소수에요 예를 들어서 0.5 아니면 -0.24 아니면 뭐 1.258 자 이렇게 숫자가 유한계 있는 소수를 우리가 유한소수라고 해요 그럼 무한 소수가뭐냐 소수점 아래의 소수점 아래의 숫자가 영이 아닌 숫자가 무 한번 나타나는 아까는 요 한 번이었죠 숫자가 유한계라 그랬어요 무한소수는 무한 번 나타나는 소수를 무한소수라고 합니다

자 예를 들어서 이런 애들을 말해요 0.22가 계속 있는 거예요 계속 있는데 우리가 요거를 계속 쓸 수가 없으니까 점을 찍어서 표현을 합니다 점 점 점 이렇게 0.22가 계속 반복되는 것을 이렇게 표현을 하는 거예요 자 요런 애들도 있겠죠 예를 들어서 0.3737 자 37이 계속 반복되는 겁니다 꼭 숫자가 하나만 반복되라는 법은 없으니까 이렇게 두 개가 반복될 수도 있겠죠 자 요런 애들을 우리가 무한수술하고 해요 자 당연히 앞에 마이너스 부호가 붙을 수도 있습니다 자 그러면 이렇게 유한소수와 무한소수를 우리가 배우게 됐는데 요거 두 개를 우리가 명확하게 구분할 수 있겠죠 자 그러면 한번 개념 예제해 보도록 할게요 자 다음 수들을 유한소수와 무한소수로 구분하는 문제구요 자 하나씩 해 볼게요 0.8은 유한소수인가요 무한소수인가요 자 우리 8에서 딱 끝났기 때문에 이런 애들을 유한소수라고 하죠 자 두 번째 0.7777에 계속 이어지는 소수죠 이런 애들은 숫자가 무한계기 때문에 무한 소수입니다 자 세 번째 12.5는 숫자가 5에서 딱 끝났기 때문에 요한 소수구요 마지막 자 여기 보면은 조금 규칙성 찾기가 힘든데 어떤게 반복되고 있냐면 여기는 지금 414 414 4 이렇게 사이사가 계속 반복되는 겁니다 자 마찬가지로 어쨌든 끝없이 이어지고 있기 때문에요런 숫자를 우리가 무한소수라고 할 수 있겠죠 자 여기까지 됐을까요 넘어가 보도록 할게요 자 이번엔 순환소수인데요 우리가 앞에서 유한소수와 무한 소수를 구분짓는 법을 배웠어요 자 순환소수는요 우리 무한 소수 중에서도 어떤이냐면이 순환 소수는 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 무한 소수를 말합니다 자 무한 소수에서 어떤 애를 순환소수라고 한다고요 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 애를 우리가 순환소수라고 합니다 자 어떤 애들이 있냐면 예를 들어서 0.222에서 쭉 가요 그럼 지금 어떤 숫자가 반복되고 있어요이가 반복되고 있죠 자 이렇게 반복되고 있는 애를 순환소수라고 하는 거예요 자 요런 애도 있겠죠 이런 애들도 마찬가지로 순환소수라고 합니다 하나만 더 해볼게요 3.1272727 자 반복되는 건 뭐예요 2727이죠 얘가 반복되고 있고 우리가 꼭 소수점 뒤에서부터 반복될 필요는 없어요 우리가 1은 냅두고 뒤에 있는 이치리 반복되고 있어도 마찬가지로 순환소수라고 할 수 있는 겁니다

자 이때요 우리가 순환마디라는게 있어요 순환마디가 뭐냐 순환소수의 소수점 아래에서 일정하게 되풀이되는 한 부분을 자 일정하게 되풀이 되는 부분을 순환마디라고 한대요 자 제가 오른쪽이 예시를 3개 드러났는데 여기서 지금 반복되는 애를 제가 동그라미를 쳐놨어요 이런 애들을순환마디라고 하는 겁니다 반복되는 부분을 순환마디라고 하는 거예요 요거의 순환마디는 뭐겠어요 요거의 순환마디는 우리가 2라고 하면 되고요 얘는 3호라고 하면 되고요 얘는 27이라고 하면 되는 겁니다 그러면 우리가이 순환마디를 알면 어떻게 할 수 있냐면이 순환소수를 다르게 표현을 할 수가 있어요 자 순환소수의 표현 방법은 어떻게 되냐 순환마디에 양 끝에 숫자 위에 점을 찍어 나타냅니다 자 맨 밑에 있는 3.12727부터 해주면요 얘는요 3.127인데 반복되는게 27이니까 반복되는 부분에 시작과 끝에 점을 찍습니다 위에다가 이렇게요 그래서 3.1hb인데 2와 7 위에 점을 찍어 놓으면 요거를 표현하는 방법입니다요거를 표현하는 방법이에요 이렇게 자 두 번째 2.353535죠 그럼 뭐가 반복돼요 35가 반복되죠 그러면 3과 5의 위에다가 점을 요렇게 찍어 주면 되는 겁니다 이렇게 자 0.222는 뭐가 반복되어 2만 반복되죠 자 그러면 시작과 끝을 우리가 표현할 수 없지만 이런 경우에는 그냥 하나만 찍어주면 되는 겁니다 그러니까 찍어준 점을 찍어준 부분이 반복된다라고 생각을 해주시면 돼요

자 하나만 더 해볼게요 예를 들어서 1.541 [음악] 5 4 1이에요 그러면 반복되는게 지금 541 541이니까 얘를 표현하려면 어떻게 해주면 되겠어요 1.541인데 반복되는게 541이니까 정말 여기랑 여기에 찍어주면 되겠죠 자 이런 식으로 우리 순환 소수를 표현할 수 있습니다 자 우리 교재에 있는 예시들 한번 같이 해 볼게요 자 0.777이면요 순환마디는 7이고요 반복되는 구간에 점을 찍어 표현을 하면 요렇게 표현할 수 있겠죠 우리 7에만 점을 하나 찍어주면 되는 겁니다 자 두 번째 0.757575는요 우리가 반복되는 건 75구역 표현은 우리 75가 반복되니까 7과 5 위에 점을 찍어서 표현해 주면 되겠죠 자 마지막 3.567567이면요 자 지금 반복되는게 3부터 반복되는게 아니죠 반복되는게 5672 반복되고 있는 거예요 55672 순환마디 567이고요 이거를 점을 찍어 표현을 해주면 순환마디에 양 끝은 5와 7의 점을 찍어서 표현을 해주면 됩니다 자 주의해야 될 점 보고 넘어가도록할게요

자 첫 번째는요 우리가 0.145145145라고 표현되어 있으면 순환마디는 지금 반복되는게 145니까 이렇게가 145가 순환만이죠 자 그러면 우리가 이거를 표현할 때는 점을 순환마디에 양쪽 끝에 반복되는 구간의 양쪽 끝에 점을 찍는다고 했어요 우리가 일타오가 반복된다고 해서 4에도 점을 찍으면 안 되는 겁니다 우리가 이런 식으로 1과 5의 점을 찍어서 표현을 해줘야 돼요 자 두 번째 3.232323인데 자 여기에서 보면 우리 반복되는 구간이 2 3입니다 우리가 소수점 뒤에부터 순한 마디를 찾아 줘야 되지 숫자가 지금 여기 앞에 있는 정수까지 3까지 포함해서 3까지 포함해서 순환마디로 치는 것이 아닙니다 양산 여기 있는 소수점 소수점을기준으로 기에서 순환마디를 찾아주고 그 뒤에서 점을 찍어야 되는 거예요 그래서 3.2에다가 소수점을 개선 한마디를 점을 찍어서 표현하는 것이 아니라 3.23에다가 점을 찍어서 순환마디를 표현해 주면 됩니다 날까지 됐을까요 자 넘어가 볼게요 자 개념인지 한번 보도록 할 건데요 다음 순환소수의 순환마디를 구하고 점을 찍어 간단히 나타내라고 했네요 자 첫 번째 순환마디 뭐죠 자요 0.777에 순환마디는요 반복되는 구간인 7입니다 자 그러면 요거를 점을 찍어서 나타내면 0.7의 점을 찍어주면 되겠죠 간단합니다 두 번째 순환마디 지금 뭐가 반복되고 있어요 2.57 888이면 8만 반복되고 있는 겁니다 그럼 표현을 할 때는 우리가 2.57까지는 반복되지 않으니까그대로 쓰고요 8만 반복되니까 바르다 점을 찍어 표현을 해주면 되겠죠 자 마지막 0.3452452 자 먹을 반복되고 있어요 반복되고 있죠 452가 반복되고 있으니까 우리가 반복되지 반복되는 구간 즉 순환마디는 452구역 요거를 점을 찍어 나타내면 0.3 4 5인데 452의 양쪽 끝에 점을 찍어주면 됩니다 요렇게 자 됐을까요

자 넘어가서 한번 필수 예제 보도록 할게요 자 다음 중 옳은 것을 모두 고르라고 했고요 첫 번째 8분의 7은 유리수가 아니다라고 했네요 자 8분의 7은 유리수가 아닌가요 자 유리수죠 우리 유리수 중에서도 뭐라고 불러요 정수가 아닌 유리수라고 부르죠 자 두 번째3.14는 유한소수다라 그랬어요 자 3.14에서 지금 숫자가 계속 나오나요 자 그렇지 않죠 3.14에서 딱 끝난 겁니다 그래서 얘는 유한소수이기 때문에 우리가 답으로 하나 골라 줘야 되고요 세 번째 2.445 445는 무한 소수다라고 했는데 자 얘가 무한소수인지 확인하려면 우리 소수점 아래 숫자가 무한계인지 보면 되는 거고요 숫자 계속 이어지고 있으니까 무한 소수 많네요 3번도 답으로 골라주면 됩니다 자 우리 다음은 두 개 다 찾았구요 4번 5번 한번 그래도 계산해 보도록 할게요 자 9분의 5를 소수로 나타내면 유한소수냐고 물어봤어요 근데 지금 9분의 5가 분수죠 얘를 소수로 나타냈을 때 요한 소수가 되는지 확인하려면 직접 나눠보는 겁니다 자 5 나누기 9를 하면요 첫 번째 0점 9545그러면 95 45 자 그럼 계속 5가 나오죠 그래서 얘는 우리가 0.5에다가 이렇게 점을 찍어 표현하면 되겠네요 자 이런 순환소수는 우리가 무한소수입니다 자 끝없이 반복되기 때문에 무한 소수구요 4번 틀렸습니다 자 5번도 마찬가지로 한번 계산해 볼게요 16분의 7을 소수로 나타내면 무한소수라고 했고요 7 나누기 16을 한번 계산해 보겠습니다 7 나누기 16은요 0 자 여기 몇 개 들어가요 4개 들어가겠네요 6424 64 이번엔 60이니까 3이구요 48 그러면 120이죠 그러면 여기에는 7 한번 곱해 볼까요 7642 71 자 112니까 여기 딱 되네요 112 자 이번엔 80이네요 그러면 5를 넣으면 80이죠 나머지가 다끝났습니다 즉 16분의 7은요 0.4375구요 여기서 지금 나눗셈이 끝났고 어떤 반복되는 숫자도 없습니다 자 그렇기 때문에 얘는 무한 소수가 아니고 유한소수죠 그래서 5번도 틀렸어요 답은 2번하고 3번입니다

자 두 번째 필수 예제 한번 볼 거고요 다음 중 순환마디가 바르게 연결된 것은 고르라고 했는데 자 첫 번째 0.11이라 그러면 뭐가 반복되요 1이 반복되죠 자 그러면 순한 마디는 일일이 아니라 그냥 1만 쓰면 되겠죠 자 두 번째 0.3030이에요 자 그러면 반복되는게 앞에서부터 쳐야 되는 거예요 3030 그러면 0 3이 아니라 3 0이 반복되고 있습니다 자 1.434343이고요 432 반복되고 있죠 그러면 순환마디 4 3이라고 하면 되겠네요 답은 3번이고요 4번 3.213213213인데 반복되는게 213이죠 얘가 지금 반복되고 있기 때문에 순환마디 214 자 마지막 5번 0.278 278 278이니까 수납 마디 2782가 아니라 278입니다

자 여기까지 해서요 우리가 유한소수 무한소수 순환소수에 관해서 모두 배웠고요 우리가 어떤 수의 분류나이 순환 소수를 표현하는 방법들 모두 알고 있어야 다음 시간에 배우는 내용을 이해할 수 있으니까 우리 여기까지 해서 복습하고 다음 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다