[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 유리수와 순환소수 - 유한소수, 순환소수로 나타낼 수 있는 유리수

자 이번 시간 학습할 내용은 유한소수 순환소수로 나타낼 수 있는 유리수입니다 자 이게 뭐냐면요 우리가 어떤 분수가 주어져 있을 때 그 분수를 유한소수로 나타낼 수 있는지 순환소수로 나타낼 수 있는지를 배워보는 겁니다

자 이 내용을 먼저 보면요 우리가 유한소수로 나타낼 수 있는 유리수는 어떤 애들이냐 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타내었을 때 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이면 우리 그분 수는 유한소수로 나타낼 수가 있습니다 자 다시 한번 정리하면요 기약분수로 나타냈을 때 분모의이랑 오만이 있어야 돼요 자 기약분수로 나타냈을 때 2랑 5만 있으면 걔가 뭐라고요유한소수라고요 자 우리가 유한소수는요 예를 들어서 뭐 0.3 1.25 이런 애들을 유한소수라고 하는데 유한소수를 다시 분수로 바꾼다고 생각을 하면 100분의 125 자 이런 식으로 표현이 됩니다 분모가 항상 뭐로 구성되어 있어요 10과 100과 1000 우리 10을 여러 번 곱한 애들로만 이루어져 있습니다 자 10 같은 경우에는 2 곱하기 5분의 3이구요 100분의 125면 2의 제곱 곱하기 5의 제곱 분의 125예요 자 이런 식으로 분모에 2당 5로만 구성이 되어 있어요 그럼 만약에 2의 3제곱 곱하기 5분의 7이면 얘를 소수로 바꾸기 위해선 우리가 분모분자의 뭘 곱해요 5의 제곱을 곱해주면 되죠 5의 제곱을 곱해서 2의 개수와 5의 개수를 똑같이 맞춰주는 겁니다2의 3제곱 곱하기 5의 3제곱분의 7 곱하기 5²이죠 자 이렇게 바꾸면 분모가 결국은 10에서 되면 10^3이어서 우리 요거 계산해주면 25 곱하기 7이니까 175가 됩니다 그러면 0.175라고 정리가 되죠 자 우리가 이런 식으로 분모의 2랑 5만 있으면 우리가 10의 거듭제곱으로 변형을 시켜서 유한소수를 표현을 할 수가 있는 겁니다 그런데 만약에 부모의 2랑 5가 아닌 다른 숫자가 있다면 우리가 그거를 부모 분자의 어떤 수를 곱해서 1하고만 남길 수가 없는 거예요 자 그렇기 때문에 유한소수로 나타내려면 요 유한소수로 나타내려면 분모에 이랑오만 있어야 되는 거예요 근데 그 기준은 기약분수로 나타냈을 때이랑 5만 있어야 된다요 내용입니다 자 그러면요 우리가 한번 하나씩 확인을 해 볼게요 자 50분에 3이면요 2 곱하기 5의 제곱분의 3으로 이렇게 정리가 되고요 분모의 2랑 5만 있죠 그러면 얘는 2랑 5만 있으니까 유한소수로 나타낼 수 있는 겁니다 자 2랑 5만 있으니까 여기 같은 경우에는 분모분자의 뭘 곱해주면 되겠어요 2를 한번만 곱해서 개수를 맞춰주면 되겠죠 2의 제곱 곱하기 5² 즉 0.06이라고 유한소수로 나타낼 수가 있는 겁니다

자 그러면 우리가 밑에 있는 개념 예제 한번 보도록 할게요 자 다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것을 모두 고르라고 했는데요 자 우리가 먼저 기약분수로 나타내고 분모의 2랑 5만 있는지 확인을 하는 거예요 자 18분의 13은요 2 곱하기 3의 제곱 분의 13이고요지약 분수로 되어 있는데 지금 분모의 삼이 있기 때문에 유한소수로 나타낼 수 없습니다 자 24분의 구매력 2의 3제곱 곱하기 3분의 3의 제곱이고요 3이 하나가 약분이 되네요 그러면 2의 3제곱 분의 3이죠 그럼 분모에 뭐만 있어요 2만 있죠 자 이런 경우에는 유한소수로 나타낼 수 있는 겁니다 자 세 번째 60분의 7이면요 요거는 6 곱하기 10 즉 2의 제곱 곱하기 3 곱하기 5로 소인수분해가 되고요 자 지금 기약분수로 이미 표현이 되어 있습니다 그런데 지금 분모의 3이 남아있죠 자 이런 경우에는 유한소수로 나타낼 수 없겠죠 자 그러면 4번 5 곱하기 7의 제곱분의 7인데요 7이 하나 약분돼서 5 곱하기 7분의 1이 되죠 얘는 돼요 안 돼요 안 되죠 분모의 7이 있습니다 자 마지막 5번이고요 분모 분자를 7로 약분을 해주면요 2로 한번 더 약분이 되네요 그러면 2 곱하기 5의 제곱 분의 1이라고 기약분수로 표현이 되는데 분모의 2랑 5만 있으니까 유한소수로 표현할 수 있겠네요 요것도 유한소수입니다 자 그러면 여기까지 됐죠 다음으로 한번 넘어가 볼게요

자 이번엔 순환소수로 나타낼 수 있는 유리수구요 아까는 유한소수로 나타낼 수 있는 요리수를 찾기 위해서 기약분수로 나타냈을 때 분모의 2당 5만 있으면 된다 그랬어요 자 순환소수로 나타낼 수 있는 요리수는요 자 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타냈을 때 분모가 2랑 5 이외의 소인수를 가지면 순환소수로 나타낼 수 있는 겁니다 그러니까 앞에서 배운 거랑 반대인 거예요 자 아까는 2랑 5만 있으면 2랑 5만 있으면 뭐였어요 유한소수였죠그런데이랑 이외의 이외의 소인수를 가지면 소위 수를 가지면 요거는 순환소수로 표현이 되는 겁니다 자요 내용 우리가 꼭 기억해 두시기 바랍니다 오늘 배우는 내용은 딱 요거 하나에요 요거 하나 자 예시 보면요 15분의 7이 3x5인데요 지금 분모에 뭐가 남아 있어요 3이 남아 있죠 자 이렇게 3이 남아있는 경우에는 유한소수로 표현이 안 되는 거고요 이때는 유한소수로 나타낼 수 없고 순환 소수로 나타내지는 겁니다 순환소수 한번 직접 나눠 볼게요 자 7 나누기 15면요 자 0 만들고요 여기에는 4개 들어가겠죠 60 100개 주고 육해주면 90 자 그러면 또 6이네요요렇게 돼서 여기 계속 나옵니다 즉 0.4662 6666이니까 0.46에 점을 이렇게 찍어주면 되겠죠 자 요런 식으로 우리가 분모의 2랑 5를 제외한 다른 소인수가 있으면 순환소수로 표현이 되는 거예요

자 밑에 개념예제 한번 보도록 할게요 자 다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 없는 것을 찾으라고 했는데 나타낼 수 없다는 것은 뭘 찾는 것이냐 바로 분모의 분모의 2랑 이외의 소인수가 있으면 안 되겠죠 이외의 소인수가 있으면 우리가 유한소수가 아닌 순환소수로만 표현을 할 수 있는 거니까이랑 5 이외의 소인수 가지네를 찾아주면 됩니다 자 1번 280분의 35구요 우리 280분의 35를 일단 기약분수로 나타내 줘야 되고 소인수분해를 해주겠습니다 280은 2의 3제곱 곱하기5 곱하기 7이고요 35는 5 곱하기 7입니다 그러면 5랑 칩이 약분돼서 2의 3제곱 분의 1만 남구요 요거는 분모의 2만 있기 때문에 유한소수로 나타낼 수 있겠네요 자 2번 보겠습니다 2 곱하기 5분의 6이고요 요거는 2를 약분으로 하면요 5분의 3으로 나옵니다 자 분모의 5밖에 없어요 분모의 5만 있는 건 유한소수죠 자 3번 2의 제곱 곱하기 3x5고요 3만 약분을 시켜주면 되겠네요 그러면 분모에 있는 뭐만 남아요 2의 제곱 곱하기 5분의 3이니까 분모의 2랑 5만 있어요 그러면 얘도 마찬가지로 유한소수로 표현을 할 수가 있습니다 자 4번은요 우리가 7을 이렇게 약분을 해주고 3도 하나의 약분을 해주면 남는게 2 곱하기 3분의 1이죠 그러면 지금 분모의 2랑 5만 있는게아니라 3이라는 3이라는 숫자도 들어 있기 때문에 얘는 우리가 유한소수로 표현이 안 되고 순환소수로 표현이 되는 앱입니다 자 그렇기 때문에 답은 4번 4번 골라주면 되고요 5번까지 확인해 보겠습니다 자 3의 제곱을 이렇게 약분을 해주면요 9로 약분을 하는 거니까 분모가 7이구요 자 그래서 답은 4번이에요 여기까지 됐을까요 자 그러면 넘어가 볼게요

자 첫 번째 필수 예제고요 자 다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 없는 것을 모두 고르라고 했어요 자 유한소수로 나타낼 수 없는 것 뭐예요 분모의 분모의2랑 2회의 이외의 소인수 들어간 거 고르는 거죠 보이스 존재하는 걸 골라주면 됩니다 자 기억 볼게요 분모에 뭐가 들어가 있어요 질이 들어가 있죠 그래서 요거는 기역 유한소수로 표현을 할 수가 없어요 얘는 순환소수로만 표현이 되는 애고요 니은 5의 네제곱분의 1이죠 이미 기약분수고 분모의 오만 있으니까 얘는 유한소수입니다 유한 디귿 3의 3제곱 분의 3의 3제곱 곱하기 5분의 8인데 분모의 3이 들어가 있죠 3이 들어가 있기 때문에 얘는 뭐예요 순환소수로만 표현이 되는 앱입니다 디귿도 답으로 골라 줘야 되고요 자 리율은요 우리가 소인수분해 해주면 3의 3제곱 분의 2 곱하기 5의 제곱입니다 그러면 분모의 3이 들어가 있죠 그러면 얘도 순환소수로만 표현이 되는데 자 미음은요 우리가 분모분자를 11로 나눠주면 요 10분의 3이고 요거는 2 곱하기 5분의 3이에요 부모의 2랑 오만 있네요 이런 경우에는 유한소수로 나타낼 수 있는 숫자죠 자 마지막 비읍이고요 분모 분자를 7로 나눠주면 2로도 한번 약분이 되네요 남는게 뭐 밖에 없어요 5의 제곱 분의 1밖에 없어요 자 분모의 5밖에 없으니까 얘는 요한 소수로 표현이 되는 겁니다 따라서 답으로는 뭐를 골라주면 되는 거예요 기억 디귿 리을 골라주면 되는 겁니다 자 할만하죠 자 넘어가 볼게요

자 두 번째 필수 예제구요 이에네 제곱 곱하기 3의 제곱 곱하기 7분의 21 곱하기 x를 소수로 나타내면 유한소수가 된대요 그 말은 무슨 말이냐 분모의 2랑 5만 있어야 돼요 2랑 5만유한소수면 2랑 5만이 있는 겁니다 그러면 일단은 부모분들이 약분을 좀 해 줄 거고요 7일 약분해주고 3도 약분해주면 이에네 제곱 곱하기 3분의 1 곱하기 x가 돼요 자 그럼 분모에 2랑 5만이 있어야 되는데 지금 분모에 뭐가 생겼어요 3이 남아 있죠 얘가 어떻게 돼야 돼요 없어져야 되거든요 삼이 없어져야 되는데 3이 없어지기 위해서는 x가 뭐 해야 돼요 3을 한 개는 가지고 있어야 됩니다 가지고 있어야 그래야 우리가 어떤 x값을 넣어서 다시 한번 약분을 했을 때 분모에 있는 3이 사라져서 분모의 일항 5만 남으니까 유한소수로 표현이 되는 겁니다 자 그러면 우리 문제에서 지금 x값이 될 수 없는 것을 고르라고 했는데 자 1번 6이죠6은 2 곱하기 3이니까 3을 하나 가지고 있죠 그러면 실제로요 x 자리에 6을 집어넣어도 이렇게 약분이 되니까 부모의 이만 남아서 최종적으로는 2의 3제곱 분의 1까지 약분이 되니까 2만 남아서 유한소수로 표현이 되는 겁니다 자 그래서 1번은 유한소설을 만드는 x값이고요 자 이처럼 우리 뭘 찾으면 된다고요 우리 x 값은 3을 한 개 가지고 있는 x값을 찾아주면 됩니다 자 9는요 3을 두 개 가지고 있는 애죠 어쨌든 3을 하나는 가지고 있으니까 유한소수가 되는 앱입니다 30은 3 곱하기 2 곱하기 5 3을 가지고 있어서 우리 되구요 35는 5 곱하기 7입니다 자 여기 있는 3이 없죠 그래서 답이 4번인 거예요 여기다가 35를 집어넣어도 우리 3이지가 약분이 돼요 안 돼요 약분이 안 됩니다 나뿐이 안 되기 때문에 우리 답을4번으로 골라 주시면 되는 거예요 99는 3의 제곱 곱하기 11이라 3을 가지고 있죠 그럼 예를 대입했을 때는 마찬가지로 답이 약분돼서 유한소수가 되는 겁니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 배울 내용은 모두 마쳤고요 유한소수 순환 소수로 나타낼 수 있는 유리수는 어떻게 구분하는지 배워봤습니다 분모의 2랑 5만 있는지 아니면 또 다른 소인수가 있는지 그 두 개를 가지고 우리가 구분을 해주면 됩니다 자 여기까지 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다