[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 유리수와 순환소수 - 순환소수를 분수로 나타내기

자 이번 시간 아스팔 내용은 순환소수를 분수로 나타내기입니다 자 오늘 좀 헷갈리는 내용이 많이 나오는데요 자 일단은 어떤 걸 배울 거냐 우리가 앞에서 순환소수에 관해서 뭔지 그거를 계속 배워왔어요 근데 우리가 이번에는 순환소수를 분수로 표현하는 방법을 배울 겁니다 자 방법으로는 두 가지 배울 거구요 첫 번째는 우리가 시계 계산을 이용하는 방법입니다

자 예시를 가지고 한번 따라가 볼게요 0.4 5353 53이라고 표현되는이 순환소수를 분수로 나타내 볼 거예요 자 어떤 방법을 이용하냐 자 우리 주어진 순환 소설을 x라고 먼저 놓고요 우리 순환수술 x라고 놓고 어떤 거를 해주냐 소수점을 옮겨주는 겁니다 자 소수점을옮겨주는데 첫 순환마디 뒤에 오도록 한번 옮겨 주고요 첫 순환마디에 앞에 오도록 옮겨줍니다 자 이렇게 옮길 때는 우리가 10 백천 이런 시백 거듭제곱들을 곱해서 요런 애들을 곱해서 소수점을 옮겨 줄 겁니다 자 지금 0.4 535353인데 지금 첫 순환마디는 여기 있는이 53을 말하는 거예요 53을 말하는 거고 순환마디 앞으로 이렇게 한번 옮기고 순환마디 뒤로 이렇게 한번 옮기는 겁니다 자 뒤로 옮기는 건요 몇을 곱해줘야 돼요 점이 뒤로 세 번 가야 되니까 하나 둘 세 번 와야 되니까 우리가 1000을 곱해주는 겁니다 전을 곱하면 453.535353이죠 자 앞으로 옮기는 건요 1로 옮기는 거는 한 칸만 가면 되니까 10을 곱해줘요 자 아직 10x는4.535353입니다 자 이렇게 만들어졌을 때 어떤 걸 해주냐 치과식을 통째로 빼버리는 거예요 자식에서 식을 빼주면 1000x에서 10x를 빼면 몇 x가 남아요 990x가 남죠 자 453.5353에서 4.535353을 빼면 뭐가 사라지냐면 바로이 순환하는 소수 부분이 통째로 사라지는 겁니다 그럼 뭐만 남아요 453에서 4를 뺀 449만 남는 거예요 그럼 우리가 여기서 x 값을 구하는 거는 우리가 쉽게 구할 수 있겠죠 양변 990으로 나눠서 990분의 449가 되는 겁니다 즉이 순환소수 0.453을 우리가 분수로 나타내면 이렇게 표현이 되는 겁니다 자 우리가 이 식을 표현한 방법 정확하게 알고 있어야 됩니다

자 어떻게 했어요 우리 순환소수 x라고 놓고요x라고 놓고이 소수점을 순환마디에 앞뒤로 옮겨주는 숫자를 곱해주는 겁니다 자 그래서 그렇게 구한 두 식을 빼면 우리가 x값을 구할 수가 있는 거죠 자 한번 밑에 개념 예제를 풀면서 다시 한번 해 볼게요 자 0.416666이고요 요거를 x라고 놓습니다 0.41 6 6 6 이렇게 가는 순환 소수에요 자 첫 번째 순환마디는요 순환마디를 말하는 거고요 우리 여기 있는 소수점을 1로 한번 옮겨주고 1로 한번 옮겨 줘야 돼요 자 이렇게 멀리 보내는 거는 몇 칸 가는 거예요 소수점이 하나 둘 세 칸 가는 거죠 세칸 가는 거는 천을 곱해줍니다 1000x는 416.6666이죠 자 여기 앞으로 보내는 건요 여기 앞으로 보내는 거는 몇 칸 가요 여기 있는 점이 두 칸 가죠 두 칸 가니까 100x예요 100x 100x는 41.666 자 그럼 뭐 하면 돼요 치과식을 통째로 빼버리면 좌변에는 900x가 되는 거고요 우변에는 416.66에서 41.66을 빼면 뒤에 여기소서 부분 다 날아가고요 416 - 41만 남게 되는 겁니다 416 - 41 자 이거 빼주면 몇 나오죠 요거는 375 나옵니다 따라서 x는 900분의 375 이렇게 x를 분수로 표현할 수 있겠죠 자 우리 첫 번째 방법 정말 우리가 꼭 꼼꼼하게 할 줄 알아야 됩니다 자 일단 x값 우리 약분해서 답부터 내겠습니다 도보분자 오르 약분해 주면요 180분의 나눠주면 57-35 5 25 5로 한번 더 나눠 줄게요 여기는 15 여기는 535 56 30 자 3으로 나눠주면 12분의 5 이렇게 최종적으로 답이 나오게 되네요 자 우리가 이 첫 번째 방법 정말 완벽하게 할 수 있어야 됩니다 우리가 요거를 두 번째 방법을 배우기는 하지만 첫 번째 방법은 첫 번째 방법대로 알고 있어야 돼요 우리가 지금요 내용 조금 어렵다면 강의가 앞으로 가서 다시 들어보시고 우리 예제 직접 풀어보면서 완벽하게 숙지하도록 하세요 자 일단은 두 번째 방법까지 한번 배워보겠습니다

자 두 번째는 공식을 활용하는 방법인데요 자 공식을 활용하는 방법인데 일단은 우리가이 어떤 순환수술을 바로 분모와 분자를 표현을 해 줄 거예요 자 분모는 어떻게 만드냐 순환마디에 숫자의 개수만큼 글을 쓰고자 순환마디 숫자의 개수만큼 9를 쓰고요 소수점 아래 순환 마디에 포함되지 않는 숫자의 개수만큼 0을 씁니다 자 예를 들어서 저는 0.416 요거 앞에서 했던 거죠 요거를 가지고 한번 해 볼게요 자 우리가 분모를 쓸 때는요 주의해야 될 점은 소수 부분만 가지고 분모를 만듭니다 소수 부분만 가지고 분모를 만들어요 자 여기 점 뒤에 416666을 가지고 분모를 만들 건데 순환마디 숫자 몇 개예요 한 개죠 그러면 9가 하나입니다 9가 하나고 순환마디 아닌 숫자가 몇 개예요 두 개죠 자 소수점 아래에서만 신경 쓰는 겁니다 두 개이기 때문에 공이 두 개예요 즉 분모는 900이에요 자 분모는 900이고요자 분자는요 전체에서 자 이런 식으로 공식을 활용하는 방법이 있습니다

자 하나 더 해볼게요 밑에 예시 가지고 한번 해보겠습니다 0.155를 분수로 나타낼 건데 자 분모를 쓸 때는 뭐만 신경 쓴다고요 분모를 신경 쓸 때는 우리가 여기 있는 소수 부분만 신경을 쓰는 겁니다소수점 아래만 신경을 써요 거기 아래에 순환마디 숫자 몇 개 한 개죠 우 한 개니까 9가 한 개 그리고 순환하지 않는 숫자 1 한 개밖에 없죠 그럼 0도 1개 그래서 분모는 90이고요 분자는요 우리 전체를 고려하는데 전체에서 전체에서 즉 15적 전체는 15입니다 15에서 순환하지 않는 부분 1만 있죠이를 빼서 분자는 14가 돼요 즉요 0.155라는 숫자는요 90분의 14구요 약분해서 45분에 7이라고 표현할 수 있는 겁니다 자 밑에 있는 개념 예제로도 한번 연습해 보도록 할게요 자 순환소수 1.23535를 우리가 분수로 나타낼 건데 부모를 먼저 쓰겠습니다 분모를 쓸 때는 소수점 아래에 있는 소수 부분만 가지고 만드는 거고요여기 아래 보면 순환하는 숫자 몇 개예요 순환하는 숫자 2개 순환하지 않는 숫자 몇 개죠 준원하지 않는 숫자 1개예요 그러면 우리가 순환하는 숫자만큼 9가 있고요 순환하지 않는 숫자만큼 0이 있는 거죠 990분에 분자를 만들 때는 전체를 고려하죠 자 전체 1.235인데 우리가 요거를 소수점 떼고 1,235에서 순환하지 않는 부분 1.2를 빼주면 됩니다 그러면 990분의 12023 이구요 그리고 약분되는지 확인을 해줘야 되는데 990은요 2 곱하기 3의 제곱 곱하기 5 곱하기 11이죠 자 이렇게 됐을 때 우리가 지금 2랑 3이랑5랑 11이 4가지 숫자로 나누었을 때 모두 안 나눠 떨어집니다 1,223이 안 나눠 떨어지기 때문에 요거는 이미 기약분수에요 그래서 요거를 답으로 써 주시면 됩니다 990분의 1,223 자 이렇게 해서요 우리가 이 순환소수를 분수로 나타내는 두 번째 방법까지 배워 봤구요 우리가이 내용을 활용을 하면 앞에서 배운 방법보다는 조금 더 빠르게 분수를 소수로 바꿀 수가 있어요 자 어쨌든 두 방법 모두 완벽하게 알고 있어야 되고요 여기이 내용 활용하는 거는 뒤에 가서 필수 풀 때 한 번 더 연습해 보도록 할게요 자 일단은 뒤로 넘어가겠습니다

자 이번에는요 유리수와 순환소수의 관계인데요 자요 내용을 먼저 보기 전에이 소수란 거를 한번 다시 정리를 해 볼게요 우리 소수에는요 유한소수와 무한소수가 있다 그랬죠 유한소수와 무한 소수가 있는데 무한소수에는 두 가지가 있어요 우리가지금까지 열심히 배운이 순환소수라는 애랑 그 무한 소수 중에서도 순환소수가 아닌 애가 있습니다 순환소수가 아닌 무한소수 이렇게 두 가지가 있는 거예요 자 이렇게 두 가지로 나뉘는데 우리 유한소수는 당연히 분수로 표현할 수 있죠 분수로 표현할 수 있고요 우리 순환소수도 그러면 이제 분수로 표현할 수 있는 거예요 우리 앞에서 배운 내용을 가지고 모든 순환수술을 분수로 표현을 할 수가 있습니다 그러면 분수로 표현할 수 있다는 말은 무슨 말과 같아요 유리수라는 말과 같은 겁니다 분수로 표현할 수 있는 수를 유리수라고 하니까요 그렇기 때문에이 소수의 들어있는 유한 소수와 무한소수 중에서도 순환 소수는 우리가 유리수입니다 요거는 유리수예요 자 순환소수가 아닌 무한소수는 요거는 유리수가 아닙니다 요거는 유리수가 아니에요 자 그래서 우리가 유리수에는 유한소수와순환소수 두 가지가 있다 이렇게 정리를 하시면 될 것 같아요 자 내용을 한번 읽어 볼게요 정수가 아닌 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있다라고 되어 있어요 우리가 유리수에서 소수로 표현되는 또는 분수로 표현되는 정수가 아닌 유리수들은 유한소수 또는 순환소수로 나타내집니다 두 번째 유한소수와 순환소수는 모두 유리수이다라고 되어 있죠 우리 둘 다 분수로 표현을 할 수 있기 때문에 유리수라고 할 수가 있습니다 자 여기까지 됐을까요 우리가이 내용 특히이 분류표 우리 분류 과정 우리 정확하게 알고 계시면 됩니다 넘어갈게요

자 첫 번째 필수 예제 볼 건데요 다음 중 순환소수를 분수로 올케 나타낸 것을 고르라고 했어요 자 1번 먼저 보면요 0.282828이죠 자 제가 두 번째 방법을 이용해서 두 번째 방법을 이용해서 분수로 표현을 하겠습니다 자 여기에는 지금 순환마디가 28이고요 순환 숫자 2개 있죠 그러면 9가 2개 순환하지 않는 숫자 있나요 없죠 그러면 0은 없습니다 그럼 그냥 99만 분모했으면 되는 거예요 자 분자를 쓸 때는 전체 전체 28에서 순환하지 않는 숫자를 빼면 되는데 순환하지 않는게 지금 0밖에 없죠 뺄게 없습니다 그렇기 때문에 99분의 28이고요 요거는 우리가 라푼이 안되네요 여기까지 하면 표현이 됐습니다 자 문제에서 33분의 7이라고 했는데 같지 않죠 1번은 답이 아니네요 자 2번 보면요 0.3 7이고요 7에만 점이 찍혀있죠 자 그러면 순환하는 숫자 몇 개 자 여기서만 따지는 거죠 순환하는 숫자 1개 순환하지 않는 숫자 1개 그럼에분자는 전체 37에서 순환하지 않는 부분 3을 빼버리면 됩니다 90분의 34구요 우리가 요거는 약분이 되네요 2로 45분에 17이죠 자 어쨌든 문제에서 물어본 90분의 37과는 같지 않습니다 자 3번 1.89인데요 자 분모 먼저 씁시다 분모를 쓰려고 보니까 순환하는 숫자 몇 개 두 개 순환하지 않는 숫자 없죠 자 우량 항상 분모를 따질 때는 소수점 아래에서만 따지는 거예요 자 분모는 99구역 분자는 우리 전체 숫자 전체 숫자 189에서 순환하지 않는 부분 1 하나 빼 버리면 됩니다 따라서 99분의 188이네요 그러면 문제에서 물어본 99분의 188과 똑같네요 답은 3번입니다자 4번이고요 0.345입니다 0.345인데 3과 5의 점이 찍혀 있어요 그러면 분모는 자 지금 순환하는 숫자 몇 개예요 3 4 5 세 개죠 그러면 9가 3개 순환하지 않는 숫자 있나요 없죠 그러면 99분에 345에서 자 여기도 뺄게 없네요 여기 끝입니다 자 분모 분자를 3으로 약분을 해주면요 333분에 115구요 문제에서 물어본 숫자와 분모가 지금 다르죠 요것도 아닙니다 자 마지막 5번이고요 1.235입니다 3과 5의 점이 찍혀 있고요 자 분모는 뭐예요 우리 소수점 아래에 숫자 3개 가지고 찾아주면 되고 순환하는 숫자 2개 순환하지 않는 숫자 한 개 990분의분자는 전체 1 2 3 5에서 순환하지 않는 1 2 빼주면 되겠죠 990분의 120023입니다 자 그러면 문제에서 물어보는 숫자와 다르네요 따라서 답은 3번입니다

자 두 번째 필수 이제 볼 거고요 우리 지금 다음주 옳지 않은 것을 고르는 문제고이 5개의 보기를 봤을 때 순환소수랑 유리수랑 무한소수 간의 어떤 관계를 묻는 문제죠 자 이런 문제를 풀 때는 우리가 배웠던 소의 분류를 이용해서 푸는 겁니다 자 유리수는요 요리수는 뭐랑 뭐로 나뉘어요 정수와 정수가 아닌 유리수로 나뉘죠 정수가 아닌 유리수 자 그리고 소수는 뭐와 뭐로 나뉘어요 유한소수와무한 소수로 나뉩니다 유한소수와 무한소수로 나뉘어요 자 이때 무한 소수는 두 개로 나뉘고요 하나는 순환소수고 다른 하나는 뭐예요 순환하지 않는 순환하지 않는 무한소수는 아니죠 자 이때 무한소수와 무한소수 중에서 순환소수와 무한소수 중에서 순환소수와 유한소수 두 개가 유리수죠 자 요거를 가지고 문제를 푸는 겁니다 자 보기 1번을 보면 모든 순환 소수는 유리수라고 했는데 우리 순환소수는 유리수라 그랬죠 따라서 1번은 맞고요 2번 모든 유한소수는 유리수이다라고 되어 있어요 자 모든 유한소수는 우리 모든 유한소수는 유리수가 맞습니다 세 번째 모든 순환소수는 무한 소수이다 순환소수는 모두 무한 소수가맞죠 4번 무한소수는 유리수가 아니다라고 되어 있어요 자 그런데 무한소수에는 무한소소에는 순환소수도 있고 순환하지 않는 무한 소수도 있습니다 이렇게 유리수인 것도 있고요 유리수가 아닌 것도 있죠 그렇기 때문에 무한 소수가 유리수가 아니다라는 말은 틀린 말이죠 자 5번 유리수 중 분모를 5의 거듭제곱 꼴로 고칠 수 있는 분수는 유한소수로 나타낼 수 있다 자 우리 분모의 2나 5만 있으면 2나 오르만 이루어져 있으면 유한소수로 바꿀 수가 있다고 했습니다 따라서 5번도 맞는 말이죠 우리가 예를 들어서 5분의 4면 분모분자의 2를 곱해서 10분의 8이 되니까 유한소수로 바꿀 수가 있습니다 자 그래서 답은 4번

자 여기까지 해서 우리 오늘 배울 내용 모두 마쳤고요이 순환 소설을 분수로 나타내는 방법은 우리가 확실하게연습을 해 두셔야 됩니다 자 그래서 강의 끝나고 우리 같이 풀었던 예제들 같이 풀면서 한번 꼭 복습해 주시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다