[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 식의 계산 - 다항식과 단항식의 곱셈과 나눗셈

자 오늘 학습할 단어는요 다음 식과 다낭식의 곱셈과 나눗셈입니다 자 우리가 지난 시간에 덧셈과 뺄셈에 대해서 배웠고요 오늘은 그거에 이어서 곱셈 나눗셈에 대해서 배워보도록 하겠습니다

자 우선 우리가 다낭식과 다항식의 어떤 계산 즉 곱셈을 배우기 전에 우리가 1학년 때 배웠던 요구를 한번 좀 다시 기억해 보도록 할게요 2 곱하기 3x + y면 우리가 이거를 정리하기 위해서 뭘 해줘요 앞에 곱해져 있는 숫자 2를 분배법칙을 이용하여 여기다도 곱해주고 여기다도 곱해주죠 각각 곱해주면 6x + 2y라고 정리를 할 수가 있었어요 그런데 우리가 오늘 배울 것은요 자리에 숫자가 들어간게 아니라 다낭시기 하나 들어간 겁니다 자 계산하는 방법은 똑같고요 분배법칙을 이용하여 다항식을 다항식이 곱해서 계산할 겁니다 자 우리가 예를 들어서 2x랑 3x-y + 사이 곱을 전개한다고 하면요 우리가 전개라는 것은 다항식의 곱을 괄호를 풀어서 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한다고 하죠

자 전개하는 것을 우리가 배워 볼 거고 그렇게 전개하여 나온 결과를 전기 시기라고 합니다 전개하여 얻은 다항식을 전기식이라고 하는 거예요 자 그럼 전기는 어떻게 하냐 우리가요 다낭 ex를요 다항식에 각 항의 분배해 주는 거예요 여기 곱하고 여기 곱하고 여기 곱하고 자 그러면 ex를 3x에 곱하고 2x를 자 - y의 곱한다고 생각해서도 좋고요 - 먼저 쓰고 y의 곱해준다고 생각해도 좋습니다 어쨌든 부호는 항상 하나 꼭 써줘야돼요 -가 있으면 분배했을 때도 -가 있는 겁니다 자 그리고 뒤에 있는 ex를 4에 곱한 것까지 자 요거를 각각 곱해주면요 요거는 6x 제곱이겠죠 숫자끼리 곱하면 6이고 x * x니까 x제곱 될 거예요 자 요거는 -2xy 요거는 8x 자 이런 식으로 전개식을 얻어낼 수 있습니다 자 우리가 예전에 배웠던 이거랑이 숫자와 1차식을 곱하는 방법과 큰 차이가 없습니다 앞에 곱해진 거를 분배법칙을 통해서 전개하여 정리한다 그렇게 연습하면 됩니다 자 밑에 있는 개념 예제의 1번 볼 거고요 자 다음 식을 간단히 하라고 했고요 마이너스 2a의 3a 제곱 마이너스 4B +1입니다 자 우리가 분배할 건요 마이너스 2a를 분비를 해 줄 거고요 이렇게 곱하면 우선 뭐가 나와요 자 숫자 길이 곱하면-6이고요 문자끼리 지수를 더해주면 A3 제곱입니다 자 요번엔 -2와 -4b를 곱할 거예요 자 그러면 부호가 어떻게 돼요 여기도 마이너스가 있고 여기도 마이너스가 있으니까 결론적으로 플러스가 되는 겁니다 자 플러스가 되고 숫자는 4랑 2를 곱한 8 그리고 a랑 b를 곱해서 ab가 되는 거예요

자 마지막으로 뒤에 있는 1과 곱해주면요 -2a와 1의 곱이기 때문에 우리가 -2a라고 써주면 되겠죠 자 우리가 요거 부호가 마이너스일 때는이 마이너스를 항상 신경 쓰면서 정리해 주시기 바랍니다 우리 마이너스에서 실수가 제일 많이 나와요 자 2번 한번 해보도록 할게요 자 2A + 4B -6ab 곱하기 -2분의 b인데 자 우리 뒤에 곱해져 있어도b의 곱해져 있어도 똑같이 분배를 해주면 되겠죠 하나 둘 셋 이렇게 분배를 해주면 되고요 자 가장 먼저 2A 곱하기 - 2분의 b입니다 자 이거를 먼저 해 줄 거고 그 다음에는 4b에다가 마이너스 2분의 b를 곱할 거고 그 다음에는 -6ab에다가 -2를 곱할 겁니다 자 그러면 ea랑 - 1/2을 곱할 건데 부호는 어떻게 되겠어요 여기 플러스 여기 -니까 -가 남구요 숫자는 약분되고 문자는 a 하나 b 하나네요 그래서 - ab입니다 자 두 번째 것도요 우리가 지금 플러스 하나 마이너스 하나인 걸 볼 수가 있고요 계산하면 부호는 마이너스 자 약분하면 숫자는 2고요 b가 두 개니까 b²입니다 자 마지막으로 여기-네요 자 마이너스란 - 곱하면 +가 되겠죠 우리 이렇게 -끼리 곱하면 플러스 되고요 2랑 6이랑 사물이 약분되고 자 숫자는 3입니다 a가 하나밖에 없네요 자 b는 두 개 있습니다 이제 요렇게 정리할 수 있겠네요 자 여기까지 됐을까요 넘어가겠습니다 자 이번엔 다항식과 다항식의 나눗셈인데 자 여기 방법이 두 가지가 나와 있지만 사실은 뭐 그렇게 다른 방법은 아닙니다 자 첫 번째 방법을 보면 분수꼴로 바꾼 후 분자의 각 항을 분모로 나눈다고 되어 있는데 이렇게 a+b라는 다항식을요 c라는 다항식으로 나눴을 때 분수꼴로 표현하면 이렇게 되겠죠 자 그런데 우리가 이렇게 바꾸고서 끝내면 안 되고요 c분의 a+b 꼴이면 요렇게 한 거랑 이렇게 한 거랑 더해 줘야 돼요 자 이렇게 각각 정리해서 더해주는 겁니다 자 우리가 예를 들어서 3분의 3x + 9라고 되어 있으면 얘도 3을 이렇게만 약분하고 x+9가 되는게 아니죠 3분의 3x + 9라고 되어 있으며 우리가 두 가지로 요렇게 하나 요렇게 하나 나눠서 계산을 해 줘야 되잖아요 3분의 3x + 1/3 즉 x+3으로 계산을 할 수가 있는데 자 얘도 마찬가지로 이렇게 두 개로 c분의 a 하나 나눠서 생각을 해줘야 되는 겁니다

자 두 번째 방법 보면요 다항식의 역수의 곱셈으로 바꾼 후 다음식이 각 항의 곱한다고 했어요 그러니까 통째로 분수꼴을 만들지 않고요 요 나누기 c를 나누기 c를 곱하기 c분의 1로 바꾸어서 분배해주면 a 곱하기 c분의 1 b 곱하기 c분의 1로 계산을 할수가 있겠죠 결국은 c분의 a+ c분의 b니까 위에와 똑같은 결론이 나오게 됩니다 자 방법일과 방법이는 결론적으로 우리가 같은 식을 정리하기 때문에 크게 구분짓지 않아도 됩니다 자 밑에 있는 예시 한번 볼 건데요 우리가 4a 제곱 플러스 2A 나누기 a는요 우리가 나누기 a를 요렇게 분모로 보내고 4a² + 2a를 분자로 보내면요 이렇게 된 거를 이제 요렇게 하나 이렇게 하나 계산해 줄 거예요 a분의 4 a² + a분의 2a고요 각각 계산해서 정리해 주면요 자 a + 2라고 정리가 되겠죠 자 방법 2번은요 우리가요 나누기 a를 역수로 바꿔서 곱하기 a분의 1로 바꿔서 분배를 해준다 그랬어요 분배를 해주면 4a죠 곱하기 a분의 1하고 2A 곱하기 a분의 1이니까 요거 4a 제곱 곱하기 a분의 1은a가 하나 약분돼서 4a로 남고 2A 곱하기 1은 a가 약분돼서 2만 남겠죠 자 요런 식으로 어찌됐든 같은 정리된 값이 나오게 됩니다 자 밑에 있는 개념 예제 한번 해보도록 하겠습니다 자 1번 보면요 제가 조금 좁으니까 여기다가 풀도록 할게요 14 a² - 21b의 3제곱을요 지금 -7b로 나눴어요 자 그러면 저는 요거를 분수꼴로 쓰면요 마이너스 7b분의 14a 제곱 b5² -21b 3제곱이고 얘를 어떻게 쓸 거예요 이렇게 하나 이렇게 하나 쓸 겁니다 자 그러면 - 7b분의 14a 제곱 b^5 + - 7b-21b 3제곱 자 이렇게 써도 되고요 우리 가운데 마이너스가 들어있죠요 마이너스를 바깥으로 빼서 요렇게 써줘도 상관없습니다 자 둘 다 상관없어요 그런데 우리가 두 개를 섞어서 쓰면 안 되는 거예요 마이너스를 내리겠다 그러면 여기는 마이너스가 사라져야 되고요 마이너스를 위로 올리겠다 그러면 여기서 사라져야 됩니다 가운데가 플러스로 드라이 되는 거예요

자 저는 요대로 계산을 해보도록 할게요 자 각 항을 계산을 해 줄 거고요 우리 마이너스 7분의 14면 -2죠 a는 분자에만 있으니까 요렇게 쓸 거고요 b가 분모에 하나 분자의 5개 있으면 분자의 많으니까 얘네 제곱으로 정리가 되겠네요 자 플러스 자 여기 -7하고 -21 약분하면 부호는 +가 되고요 숫자는 3이 되겠죠 b분의 B3 제곱이면 여기에 B 제곱만 남을 거예요 자 이렇게까지하면 계산 됐고요 요번엔 2번 문제 한번 풀어보도록 할게요 자 이번 조금 복잡하네요 파렉스 제곱 마이너스 6xy 나누기 2X - 15x 제곱 y - 9xy 나누기 3xy에요 그러면 우리요 ex를 요렇게 하나 요렇게 하나 만들어 줄 거고요 2x 제곱 -2x 6xy 자 -를 저는 여기 가운데다 내려 줬습니다요 마이너스를 여기다가 쓴 거예요 자요 마이너스 주의해야 되는데 지금 여기 사이에도 마이너스가 들어가 있죠 자 일단 씁니다 마이너스를 쓰고 지금 얘도 마찬가지로 이렇게 하나 이렇게 하나 쓸 건데 15x 제곱 y 그리고 가운데요 마이너스가 여기들어오고 3x y 9x에 y라고 쓰고 끝내면 안 되고요 여기 써 있는이 마이너스는이 뒤에 있는 분수 전체에 달려 있는 거기 때문에이 마이너스를 이렇게 전체를 알기 위해서 괄호를 쳐줘야 됩니다 자요 정말 실수 많이 해요 여기 앞에 붙어 있는이 마이너스는이 분수 전체에 달려 있는 마이너스기 때문에 마이너스를 괄호를 묶어서 처리를 한번 더 해줘야 됩니다 자 그러면 우리가 요 부분이 이제 어떻게 되느냐 앞에는 일단 그대로 쓸게요 2x 제곱 마이너스 2x 6xy 자 -를 분배해 주는 겁니다 -3xy 15x 되고 y 플러스 3x y 분의 9xy로 정리가 되는 거죠요 마이너스가 마이너스가 여기도 달리고여기도 달리는 겁니다 그래서이 마이너스랑이 마이너스랑 플러스로 정리가 된 거예요 자 이제 각 칸을 정리를 좀 해주면요 여기 숫자는 4가 되고 x는 하나만 남겠네요 자 여기 마이너스 숫자는 3 x가 사라지고 y만 남구요 자 요거는 숫자는 -5 y는 사라질 거고요 x가 하나만 남겠네요 자 맞는 뒤에 있는 거는 XY 모두 사라지고 숫자는 3만 남을 거예요 자 그럼 요대로 끝내면 또 안 되고요 우리가 여기서 지금 동묘항이 하나 생기죠 4x랑 -5x가 계산이 되니까 -x - 3y + 3이라고 정리됩니다 여기까지 됐을까요 자 넘어가 보겠습니다

자 이번엔 시계 대입인데요 우리가 요거는 학생들을 조금 어려워하는 유형 중에 하나입니다 자 주어진시계 문자에 그 문자가 나타내는 다른 식을 대입하여 주어진 식을 다른 문자의 식으로 나타낼 수 있다라고 되어 있어요 자 y는 2x - 1일 때 우리 O x-2y +3을 우리가 x에 관한 식으로만 정리를 할 수가 있는 거예요 자 우리가 어떤식이 주어져 있는데이 식은 xy가 지금 둘 다 들어있는 식이에요 문자가 둘 다 들어가 있는 시기인데이 x와 y의 관계식을 알고 있으면이 y를 여기다가 대입을 하면요 어떻게 되겠어요 x-2에 2x - 1+3으로요 y가 ex-1로 바뀌게 되죠 그러면 계산을 해주면요 자 분배법칙을 써서 x-4x+2+3이니까 요거는 -3x 요거는 5가 되죠 자 이런 식으로 x에 관한 식으로만 표현이 되는 겁니다 자 우리가 어떤 거를 알고 있어야 되냐 x에 관한 식으로 정리를 하겠다 x에 관한 식을 만들고 싶으면요 우리는 뭐가 필요하냐 y는 꼴로 정리된식이 필요한 겁니다 요거를 가지고 있어야 x에 관한 식을 만들 수 있는 거예요 자 여기도 지금 y에 관한 식으로 y는 꼴로 정리가 되어 있으니까 대입을 해서 x만 남긴 거예요 자 그러면 우리요 내용을 가지고 밑에 있는 개념인지 한번 보도록 할게요 자 x는 y + 1인데 2x - 4y + 5를 x의 식으로 나타내라 그랬어요 자 x에 관한 식으로 나타내라는 말은 뭐가 필요한 것이냐 y는 꼴로 정리된식이 필요한 겁니다 그런데 지금 x는 y + 1로 나와 있으니까 y에 관해 정리를 해 줘야 되는 거죠 y에 관해 정리를 해주기 위해서요요 플러스 1을좌변으로 이항을 하면 x-1은 y고요 y는 x 마이너스 1이니까 여기 있는이 y를 여기다가 테이블 해주면 되는 겁니다 자 대입을 해주면요 ex-4에 자 y 자리에 x-1이 들어가는데 y자리에 들어간 거기 때문에 우리 요거는 괄호를 꼭 쳐줘야 됩니다 괄호를 꼭 쳐주고 플러스 5예요 자 분배해주면요 EX - 4x + 4 + 5구요 정리해주면 -2x + 9라고 나오게 됩니다 자 여기까지 됐을까요 자 그러면 뒤에 넘어가서 개념 예제 필수 예제 한 번 풀어보도록 하겠습니다

자 네모 안에 알맞은 식을 구하는 거고요 자 네모 나누기 4ab가 요렇게 되어 있네요 제가이 네모를 a라고놓겠습니다요 네모를 a라고 놓으면요 a 나누기 4ab면 4ab 분의 a죠 요게 a 제곱 B - 3a + 2입니다 우리는 a를 구하고 싶은 거니까 좌변에 a만 남길 거고요 a만 남기기 위해서 양변에 4ab를 곱해주는 거예요 그러면 얘가 사라져서 좌변에는 a만 남구요 우변은 5a²b - 3a + 2 곱하기 4ab입니다 그러면요 4ab를 분배해 주면 되겠죠 이렇게 분배를 해주면 OA 제곱 B 곱하기 4ab - 3a 곱하기 4ab + 2 곱하기 4ab이구요 계산해주면20a 3제곱 p^2 - 12a 제곱 B + 8ab로 정리가 됩니다 자 우리가 항상 숫자끼리 문짝끼리 계산하면서 연습 충분히 했죠 자 우리가 이렇게 계산하면 최종적으로 네모 안에 들어가식을 구한 겁니다 자 넘어가 보겠습니다

우리 오늘 마지막 필수 예제구요 ab가 두어져 있는데 요식을 요식을 xy에 관한 식으로 나타내래요 근데 우리가 요거는 우리 편리하게 답을 낼 수가 있습니다 a와 b를 없애서 xy를 만들고 싶은 건데 a와 b에 관해서 정리가 지금 잘 되어 있죠 그래서 이거를 대입해서 정리만 해주면 됩니다 자 하나씩 좀 할 거고요 여기 안에 들어가 있는 a - 3b를 먼저 계산을 좀 하도록 하겠습니다 a - 3b는 3분의 2x - y-3 곱하기 3분의 -x + 2y는요 부분을 쪼개서 이렇게 하나 이렇게 하나 쓸 거예요 그러면 3분의 2x - 3분의 y고 자 뒤에 있는 거 -3을 곱해 줄 건데 분모랑 약분이 되죠 자 그러면 마이너스 부호만 남아 있는 겁니다 그러면 -x + 2y인데 제가 아까 여기에 실수 많이 한다 그랬어요 여기부터 있는 마이너스는 여기 전체에 붙어 있는 거니까 괄호를 꼭 쳐줘야 된다 그랬습니다 자 그러면 3분의 2x - 3분의 y + x - 2y라고 나오고요 우리 동류항끼리 계산하면 3분의 2x + x는 3분의 2 + 1의 x +- 3분의 1y -2y 이렇게 정리해 주면 되겠네요 3분의 5X - 3분의 7 y로 정리가 됩니다 자 그러면 우리 요번에 전체적으로 식을 다 계산하겠습니다 다음에 a 마이너스 2b 2-a고요 우리 3 곱하기 a -reb가 아니라 3b죠 a 마이너스 3b를 우리가 아까 요렇게 계산을 해 놨습니다 요거를 대입을 해 줄 거고요 다음에 3분의 5x-3 -a니까 -a는 3분의 2x - y예요 그러면 3을 분배해주면 ox - 7y라고 정리가 되고요 자 - 자 얘를 이렇게 쓰겠습니다 괄호를 먼저 치고요 우리 마이너스 달려 있으니까 괄호 친 거예요 그 다음에 분수를요렇게 요렇게 쪼개주면 3분의 2x [음악] - 3분의 1 y라고 쓸 수 있겠네요 자 따라서 ox - 7y - 3분의 2x + 3분의 1y고요 우리가 동류한끼리 요거랑 요거 계산해 주면 5-3분의 2의 x고요 여기 - t로i랑 플러스 3분의 1 y 해주면 -7 + 3분의 1의 y로 계산을 해주죠 자 결론적으로 3분의 13x - 3분의 20 y라고 최종적으로 답이 나오게 됩니다

자 여기까지 해서 우리가 오늘 배울 내용은 모두 끝났고요 우리가 여기 연산하는 내용들은이 계산하는 내용들은 익숙해지는게 제일 중요해요 그러니까 이거를 보고만 끝내지 말고 꼭 제가 푼 문제 다시 풀면서 혹시 틀리는게 있으면어디가 잘못됐는지 꼭 짚어보고요 문제도 많이 풀면서 정말 숙달하는게 중요합니다 자 오늘 배울 내용 여기까지구요 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다