[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 일차부등식과 연립일차방정식 - 부등식의 뜻과 성질

자 반갑습니다 오늘 학습할 단어는 부등식의 뜻과 성질입니다 자 우리가 부등식을 부등식을 오늘 처음 배우는 날인데 부등식이 뭔지부터 간단하게 배워보는 시간 가져보도록 하겠습니다

자 일단은 부등식이 뭐라고 되어 있냐면 부등호를 사용하여 부등호를 사용하여 습도는 식의 대소관계를 나타내는 식을 부등식이라고 한대요 자 부등호란 이런 애들을 말해요 이런 애들을 부등호라고 합니다 자 그런데 우리가 1학년 과정에서는 등식이란 것을 배웠었어요 등식은 뭐예요 우리가 등호를 포함한 식을 등식이라고 하고요 등호는요 기호를 말하죠 예를 들어 x+1이 오다라고 써 있으면 등호는 왼쪽에 있는 거랑 오른쪽에 있는 거랑같다는 의미로 사용을 하고요 x+1이랑 5랑 같다고 말하고 있는 겁니다 자 부등식은 요 이 기호를 활용하여 대소관계를 나타낸 겁니다 예를 들어서 x+1이 5보다 크다라고 하면 좌변에 있는 x+1이 우변에 있는 5보다 크다라고 말하고 있는 거예요 자 이런 애들을 부등식이라고 합니다 자 우리가 부등호에 있는 4가지 종류가 있고요 하나씩 보도록 할게요 우선 요렇게 a가 b보다 크다라고 할 수 있겠죠 또는 a는 b초과이다 라고 말할 수 있고요 우리가 이렇게 말할 수도 있습니다 b는 a보다 작다 b는 ab만이다 자 전혀 상관없습니다 여기는 a가 b보다 작다 a는 B 미만이다 이런 식으로 말할 수 있고요 이렇게 a가 b 이상이다라고 쓸 수 있죠 또는a는 b보다 크거나 같다 a는 B 이상이다 자 하나 조금 헷갈리는 거는 a는 b보다 작지 않다라고 말하기도 합니다 작지 않다는 것은 크거나 같다라는 말과 똑같은 거예요 우리가 대소를 나타내는 용어에는 크다와 같다와 작가가 있으니까 작지 않다는 크거나 같다와 같은 말이죠 자 이렇게 돼 있는 건요 a는 b보다 작거나 같다 a는 b보다 크지 않다 a는 b 이하이다라고 말하고 있는 거죠 자 우리가 부등호 자체는 처음 보는 기호가 아니기 때문에 우리가 많이 어렵진 않을 거예요 자 우리가 1학년 과정에서는 1차 방정식을 풀었고 어떤 등식을 해결하는 등식을 계산하는 방법을 배웠어요 우리가 이번 단원에서는 이 부등식을 푸는 방법을 배우게 될 겁니다 자 부등식의 해라고 하면요 우리가 미지수 x를 포함한 부등식에서이 부등식이 함유되게 하는 x값을 부등식에 해라고 해요 자 그래서 우리가 이 해를 구하는 과정을 부등식을 푼다라고 말하고요

예를 하나 들어볼게요 부등식 ex+2가 1보다 크다라고 하면이 부등식의 해를 구해 볼 거예요 그런데 x값이 만약에 -2라고 0하고 1만 있으면 실제로요 마이너스 1과 0과 1을 여기다가 대입을 해서이 부등식이 성립하는지 안 하는지 확인을 해 볼 거예요 자 -1을 대입을 하면요이 좌변에 있는 ex+2의 값이 2 곱하기 -1 + 2니까 0으로 나오죠 자 그러면 얘가 0이면요 부등식을 만족하나요 자 우리는 좌변이 1보다 커야 되는데 좌변이 0으로 나왔습니다 대소가 우변이 더 크기 때문에 우리가 이거는 거짓이라고 할 수 있어요 그러면 x는 -1이 제가 아닌 것이죠 자 그러면 이번엔 0을 집어넣어보면요 2 곱하기 0 플러스이면 2라고나오고 2는 1보다 크기 때문에 요거는 우리가 부등식이 참이 되고요 따라서 x는 0이 해라고 할 수 있습니다

자 마지막으로 1을 대입해주면요 이렇게 좌변은 4로 계산되고 4는 1보다 크기 때문에 마찬가지로 부등식이 3이 되고 x는 1을 얘라고 할 수 있습니다 따라서 x의 값이 - 1과 0과 1일 때이 부등식의 해는 0하고 1이 되는 것이죠 자 그러면 우리가 이렇게 대입해서 회를 구했는데 우리가 앞으로는이 해를 계산을 통해서 구하는 방법을 배워 볼 거예요 자 일단은 우리가 대입해서 성립하는 것들을 해라고 할 수 있는 거는 우리가 이해를 했을 겁니다 자 밑에 있는 개념 예제 볼 거고요 x의 값이 1 2 3 4 5일 때 2x - 4가 6 이상이 되도록 하는 해를 구하라고 했어요 자 그러면x의 값이 1 2 3 4 아 조금 좁네요 자 제가 오른쪽 위에다 쓰겠습니다 x의 값이 1 2 3 4 5일 때 2x - 4의 값을 직접 계산을 해 볼게요 자이를 집어넣으면 -2가 나오고 2를 집어넣으면 0이 나오고 3을 집어넣으면 2가 나오고 4를 집어넣으면 4 5를 집어넣으면 6이 나오게 됩니다 자 우리가 찾는 건요 ex-4가 2x - 4가 6 이상이 되도록 하는 x 값을 찾는 건데 나온 값들 중에 6 이상이 되는 거는 요거 하나밖에 없죠 그래서이 부등식을 만족하는 해는 x는 5 하나밖에 없겠네요 자 그래서 답은 x는 5입니다 자 넘어가 볼게요

자 이번에 부등식의 성질인데요 우리가이 부등식의 성질을 가지고 부등식 푸는 방법을 배울 겁니다 자 일단은요 우리가 부등식이양변에 같은 수를 더하거나 양변에서 같은 수를 빼도 우리가 부등호의 방향은 바뀌지 않는다라고 되어 있어요 자 만약에 3이 5보다 작다라는 부등식이 있었어요 그런데 제가 여기다가 똑같은 숫자 1을 더한다고 해서 부등호의 방향 즉 우변이 좌변보다 크다는 사실이 변하나요 변하지 않습니다 마찬가지로 똑같은 숫자 1을 빼도 우리가 부등호의 방향은 변하지 않아요 자 그래서 우리가 a가 b보다 작을 때 우리가 뭐가 성립하느냐 a+c는 b+c보다 작다와 a - c는 b-c보다 작다이 두 가지 성질이 성립하는 겁니다 자 두 번째는요 양변에 같은 양수를 곱하거나 같은 양수로 나누어도 두등어의 방향은 바뀌지 않는다라고 되어 있어요 자 여기서 중요한 것은 우리가 뭐를 곱하거나 나눌 때예요양수를 곱하거나 양수로 나누어도 똑같다이 말입니다 자 a가 b보다 작을 때에 a가 b보다 작을 때 그리고 c가 양수일 때 c를 곱하거나 d로 나누어도 방향은 바뀌지 않습니다

자 마지막으로요 양면이 같은 음수를 곱하거나 같은 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다 자 우리 3번만 주의하면 되는 거예요 부등호 방향이 바뀌는 건 더하거나 뺄 때도 아니고요 양수를 곱하거나 나눌 때도 아니고 오직 음수를 곱하거나 나눌 때에만 부등호 방향이 바뀌게 되는 거예요 자 예를 들어서요 자 수직선이 있다고 할게요 수직선 위에 0이라는 숫자와 1이라는 숫자와 2라는 숫자가 있어요 자 뭐가 더 커요 1과 2중엔 당연히 2가 더 크죠 그런데 제가 마이너스 2를 곱하면 -2를 곱하면 1은 몇이 되어-2가 되죠 2는 뭐가 돼요 -4가 됩니다 자 그랬더니 대소가 어떻게 됐어요 원래는 2가 더 컸었는데 어떻게 됐어요 2에다가 마이너스 2를 곱한 -4가 더 작아졌죠 이렇게 음수를 곱하면 부호가 바뀌면서 대소관계가 바뀌게 돼요 그래서 음수를 곱하거나 음수로 나눌 때만 부르고 방향이 바뀌는구나 이것만 주의하면 됩니다 a가 b보다 작고 c가 음수인 경우에는 ac가 bc보다 크고요 c분의 a가 c분의 b보다 큽니다 자 요것만 주의해 주시면 돼요 자 밑에 있는 개념 예제 볼게요 자 문제에서 a가 b보다 작다 그랬는데 네모 안에 알맞은 부등호를 써 넣으시오라고 되어 있고요 자 지금 뭘 했어요 양변에 -1을 더했죠 자 음수를 더한 건 상관없습니다 음수를곱하거나 나누는 경우에만 바뀌는 거예요 자 음수를 더했기 때문에 부동호 방향을 바뀌지 않습니다 자 그런데 2번을 보면 지금 똑같은 수 마이너스 4분의 1로 나눴어요 자 뭘로 나는 거예요 음수 음수로 나눴습니다 음수로 나누면 여기 있는이 부등호 방향이 바뀌어요 안 바뀌어요 바뀝니다 이렇게 되는 거예요 그래서 요것만 신경을 써 주시면 됩니다 자 여기까지 됐을까요 넘어가겠습니다

자 우리 첫 번째 필수 예제 볼 거고요 자 x의 두 배에서 4를 뺀 수는 x의 5를 더한 것을 3배보다 크지 않다를 부등식으로 나타내래요 자 일단은요 한글로 쭉 써 있는 걸 제가 식으로 나타내겠습니다 x의 두 배에서 4를 뺀 수는 2X - 4구요 x를 x에 5를 더한 것즉 x + 5에다가 3배래요 x+5의 세 배면 3의 x+5죠 자 그런데 뭐라 그랬냐면 얘는 얘보다 크지 않대요 얘가 크지 않은 거죠 크지 않은 건 뭐예요 작거나 같은 겁니다 그래서 2x - 4는 얘보다 작거나 같다에요 그래서 우리가 식으로 다시 한번 쓰면요 EX - 4는 3의 x+5 이하이다 이렇게 써주면 되겠네요 자 됐을까요

자 두 번째 필수 예제 볼 거고요 요렇게 되어 있네요 마이너스 3a 마이너스 6이 - 3B -6보다 작대요 자 그랬을 때 옳은 것을 고르라고 했고요 이거를 먼저 좀 정리를 해볼게요 우리가 지금 ab를 가지고 어떤 변형된 식이라고 생각을 하면요 지금 -3을 곱하고6을 뺐죠 그러면 저는 거꾸로 돌릴 겁니다 자 양변에 6을 더해주면요 좌변에는 마이너스 4a가 되고요 우변에는 -3b가 돼요 자 6을 더하면서 부등호 방향이 바뀌어요 안 바뀌어요 안 바뀌죠 부등호 방향 그대로입니다 자 이번엔 ab만 남길 거니까 양변을 -3으로 나눠요 그러면 좌변우변에는 a와 b만 남게 되는데 부동어 방향이 바뀌어야 안 바뀌어요 우리가 음수로 나눴기 때문에 부등호 방향이 바뀌게 되는 겁니다 이렇게 바뀌어요 자 그러면 a가 b보다 크다를 가지고 1 2 3 4 5번 중에 옳은 것을 골라주면 되고요 일단은 1번은 틀렸네요 자 2번 볼까요 자 지금 1-2분의 B 꼴로 되어 있는데 우리가 요거를 변형해서 대를 만든다고 생각을 하면 되고요 자-2분의 1을 양변에 곱해주면 됩니다 자 양변이 마이너스 2분의 1을 곱해주면요 -2분의 a - 2분의 b가 되고 부등호 방향 바뀌어요 안 바뀌어요 바뀌죠 음수를 곱했으니까 바뀝니다 그 다음에 1을 더해줍니다이를 더해준다고 부등호 방향 바뀌나요 그대로 유지되죠 자 그래서 2번도 틀렸습니다 자 3번 볼 거고요 3번은 요거에서 양변에 6을 나눠줬네요 그래서 6분의 a와 6분의 b가 됐고요 우리가 양수로 나눴기 때문에 부등호 방향 바뀌지 않습니다 자 4번 보면요 -3a가 마이너스 3b보다 크다라고 되어 있는데 주어진 식을 주어진 식을 마이너스 3을 곱해줍니다 주어진 식의 -3을 곱해주면 -3a - 3b가 되고 부등호 방향 바뀌나요 안 바뀌나요 바뀌죠 음수를 곱하면 바뀝니다 그래서4번도 틀렸고 자 마지막으로 5번 보면요 우리가 4a 마이너스 3 4B 마이너스 3이니까 우선 4를 곱해요 4a와 4b로 되는데 두 종호 방향 안 바뀝니다 양수 곱했으니까 안 바뀌고 양변 3을 빼주면 4a 마이너스 3 4B 마이너스 3인데 자 부등호 방향 마찬가지로 유지되죠 왜냐 음수를 더해준 거는 부등호 방향에 영향을 주지 않아요 점수를 곱하거나 나눌 때만 바뀌게 됩니다 따라서 5번이 정답이네요 답은 5번입니다

자 여기까지 해서 우리가 오늘 부등식을 처음 배워 봤구요이 부등식의 성질 가지고 다음 시간에 부등식 푸는 거를 해를 구하는 것을 배워 볼 겁니다 우리가 부등식의 성질 꼼꼼하게 복습해 주시고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다