[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 일차부등식과 연립일차방정식 - 일차부등식

자 반갑습니다 오늘 아스팔 내용은 1차 부등식입니다 자 우리가 지난 시간에 부등식에 관해서 배우고 부등식의 성질도 배웠어요 오늘은이 부등식의 성질을 활용해서 1차 부등식을 푸는 방법을 배운다고 생각하면 됩니다

자 그러면 1차 부등식을 푸는 방법을 배우기 전에 1차 부등식이 뭔지 먼저 볼 건데 자 1차 부등식은 뭐냐면 부등식의 우변에 있는 모드랑을 좌변으로 이양하여 정리하였을 때 좌변에는 요렇게 1차 시계 형태로 정리가 되고요 우리 우변에 있는 항을 모두 좌변으로 넘겼으니까 우변에는 아무것도 안 남아 있겠죠 자 그리고 가운데에는 부등호가 들어간 요런 식을 우리가 1차 부등식이라고 합니다 자 그러면 예를 들어서 7x+2가 5 미만이라고 주어져있어요 자 얘는 1차 부등식일까요 자 1차 부등식이 맞습니다 자 우리가 우변에 있는 항을 모두 좌변으로 이향한다고 했는데 만약에 방정식 티렉스 플러스 2가 5라고 주어져 있으면 우리가이 양을 한다는 것은 사실 좌변 우변에 똑같은 숫자 5를 이렇게 빼 가지고 변형을 하는 것을 양이라고 하죠 자 부등식에서도 마찬가지로 사용을 할 수가 있습니다 왜냐하면 우리 부등식의 성질에서 똑같은 숫자를 빼더라도 부등호의 방향이 바뀌지 않는다는 것을 배웠어요 자 그래서 여기에 있는 5를 이렇게 이항한다고 생각을 하면 좌변에는 7x+2-5인 체력스 마이너스 3만 남게 되고요 요게 0이 많이 됩니다 그러면 좌변은 현재 1차식으로 정리가 됐고요 가운데에 부등호가 들어가 있으니까 우리가요 식은 1차부등식이라고 할 수가 있습니다 자 그러면 우리가 1차 부등식은 어떻게 푸냐 우리가 지난 시간에 배웠던 부등식의 성질을 활용하여 풀어주는 겁니다 자 미지수 x를 포함하는 항은 좌변으로 보내고요 상수항은 우변으로 보내서 양변을 정리하여 요렇게 ax가 b초가 ax가 bb만 ax가 B 이상 ax가 b2야 요런 형태로 만듭니다

자 일단 1차 부등식이기 때문에 1차항이 존재하여야 되기 때문에 a가 0이 되는 경우는 제외합니다 a는 0이 아니에요 자 이렇게 정리를 한 다음에 결국 우리는 x값의 범위를 구하는게 1차 부등식의 해를 찾는 거니까 좌변에 x만 남겨야 되고요 x만 남기기 위해서 x의 계수인 a로 양변을 나누게 됩니다 우리가 방정식이었으면 그냥 양변을 나눠서 x값을 구했겠죠 그런데 부등식에서는 우리가 한 가지 신경 써야 될게있습니다 우리가 a로 나눌 때 부등호 방향이 바뀔 수도 있고 안 바뀔 수도 있습니다 뭐에 따라 a의 부호에 따라서 a의 부호에 따라서 부등호 방향이 바뀔 수도 있고 안 바뀔 수도 있기 때문에 우리가요 a의 부호만 신경 써서 부등식을 풀어주면 되는 거예요 만약에 a가 음수면 부동은 방향이 바뀌게 되겠죠 그것만 신경쓰면 됩니다 그러면 아까 써놓은요 7x-3이 영미만이라는 1차 부등식의 해를 끝까지 구해주면요 양변에 3을 더해서 아니면 -3을 이하에서 gx가 3미만이라고 바꾸고 양면을 7로 나눕니다 실로 나누면 이렇게 되고요 우리가 요렇게 넘어오면서 7로 나누는데 실은 양수에요 음수예요 양수죠 양수인 경우에는 부등호 방향이 바뀌지 않습니다 이렇게 해를 구해주면 돼요x가 7분의 3 미만이라는 것이이 1차 부등식의 햅니다

자 그러면 우리가 이 부등식의 해를 수직선 위에 나타내는 방법을 배울 건데요 우리가 x는 A 초과다 그러면 우리가 a보다 큰 숫자들을 말하죠 그래서 화살표를 a를 기준으로 이렇게 쭉 오른쪽으로 가면 되고요 여기를 빗금을 쳐서 우리가 a보다 큰 영역에 있는 숫자가 해다라는 것을 표현해주면 돼요 이때 a는 지금 포함을 안 하죠 우리가 포함을 안 할 때는 요렇게 동그라미를 치고 가운데 색깔을 칠하지 않습니다 자 a 미만이면 반대 방향으로 가구요 여기 빗금을 쳐주고 a는 포함하지 않기 때문에 이렇게 동그라미만 쳐주면 되겠죠 자 그런데 a 이상인 경우에는요 우리가 a도 포함하기 때문에 자 a보다 큰 숫자 표현하는 거는 같은 방식으로 표현을 해주고 a 같은 것도a인 것도 포함해야 되기 때문에 a의 동그라미를 치고 여기는 색깔까지 칠해줍니다 자 이하인 경우에도 똑같이 해주면 되겠죠 a 왼쪽에 있는 숫자들은 가능하고요 a도 포함해야 되니까 여기도 이렇게 칠해주면 됩니다 자 밑에 예시 한번 볼게요요 마이너스 4x+1이 실 초과라는 1차 부등식을 풀 때는요 좌변에 1차항만 남길 거니까 여기에 있는이 플러스 이항을 할 거예요 이항을 해주면 7 -1이 되고 -3x가 6초 가라고 정리가 되겠네요 그러면 좌변의 x만 남겨야 되니까 양변을 -3으로 나눠주면요 우리가 x랑 자 6을 -3으로 나누면 -2가 되죠 그런데 뭐만 주의하면 된다고요 양수로 나누는지 음수로 나누는지만 잘 신경 쓰면 된다고요 근데 지금 음수로 나눴으니까 부등호 방향이 이렇게 돼 있던게 바뀌어서 이렇게바뀌는 겁니다 따라서 x는 -2 미만이고요 우리가 요거를 수직선 위에 나타내면 이렇게 -1을 기준으로 왼쪽에 있는 숫자들을 의미하는 것이고 우리가 -2는 포함하지 않기 때문에 이렇게 비어있는 채로 냅두면 됩니다 자 그러면 밑에 있는 개념 예제 풀면서 우리 1차 부등식 두 문제 더 풀어보도록 하겠습니다 자 1번은요 ex-1이 -3 초과라고 되어 있는데 여기 뒤에 있는이 마이너스 1의 2항을 시킬 거예요 2항을 시키면 좌변에는 ex만 남구요 부동어 방향 바뀌나요 안 바뀝니다 음수로 나눌 때만 음수를 곱할 때만 바뀌는 거예요 이렇게 그대로고 마이너스 3 + 1 따라서 2x가 -2 초과 구역 자 양변을 뭐로 나눠야겠어요 x의 계수인 2로 나누는 겁니다 자 2로 나눈 건양수로 나눈거라 부등호 안 바뀌고 그대로 가고 -1을 2로 나눈 -1이 됩니다 자 됐을까요

자 이번엔 두 번째 3x+4가 6x-5 초과 구요 자 이렇게 됐을 때 우리가 좌변에는 x에 관한 항들만 남겨둘 거고 우변에는 상수압만 남겨 줄 거예요 그러면 우변에 있는 ux를 넘길 거고요 여기 있는 4를 넘길 겁니다 그러면 3x-6x 그리고 -5-4라고 되겠네요 자 좌변은 마이너스 3x고요 우변은 마이너스 9입니다 자 양변을 뭐로 나누나요 -3으로 나누죠 -9를 -3으로 나누면 우변은 3이 되고요 부등호 방향은 바뀔까요 안 바뀔까요 자 여기서는 바뀌죠 우리가 마이너스 3으로양변을 나눴기 때문에 부등호 방향이 바뀌어서 x는 3미만이라고 나오는 겁니다 자 여기까지 됐을까요 자 그럼 넘어가겠습니다 우리 복잡한 1차 부등식의 풀이고요 특별히 더 복잡하지는 않습니다 우리가 그냥 숫자가 조금 복잡하게 나오고 괄호가 들어간 것이지 우리가 이미 다 방정식을 풀면서 경험을 해봤던 내용들이에요 자 첫 번째 괄호가 있을 때 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀면 되겠죠 자 계수가 푼수일 때 그러면 우리는 계수가 분수면 그 분수를 없애기 위해 분모의 최소공배수를 양변에 곱해주면 분수가 모두 사라지겠죠 자 계수가 소수에요 그러면 우리 양변의 10 100 이런 10의 거듭제곱을 곱해서 계수를 정수를 바꾸면 계산하기 편리해지겠죠 자 우리 다 1차 방정식을 풀면서 일단 내용들이고요 한번 밑에 개념 예제 풀어보도록 하겠습니다 자 1번은요0.01x보다 0.1x + 0.18이 크다라고 되어 있어요 자 소수 둘째 자리까지 나와 있고요 요거를 다 정수로 바꾸기 위해서는 양변에 100을 곱해줍니다 그러면 좌변에는 x고 우변에는 10x+18이 되겠죠 자 10x를 넘겨주면 여기가 x-10x가 되고 우변은 18이 됩니다 -9x가 18 미만이니까 양변을 -9로 나눠주면 좌변은 x가 남고 우변은 마이너스 2가 되겠네요 자 뭐로 나눴어요 마이너스 9로 나눴습니다 -9로 나눈 건 부등호 방향이 바뀌어야죠 따라서 x는 -2 토가가 1번에 답이 되겠네요

자 2번 해보도록 할게요 x+1 나누기 6이 x-3 / 4 이하다라고 되어 있는데지금 분모가 있네요 자 그럼 6과 4를 저는 동시에 없애고 싶어요 그러기 위해서는 양변의 몇을 곱해야 돼요 6가 4의 육과 사이 최소공배수인 12를 곱해주면 되겠네요 그러면 여긴 약분돼서 2가 되고 여기는 약분돼서 3이 됩니다 자 따라서 좌변은 2의 x+1이고 우변은 3이 x-3이 되죠 부등호 방향은 바뀌지 않습니다 양수를 곱했기 때문에 바뀌지 않고요 우리 지금 괄호가 있어요 이럴 때는 분배법칙으로 전개를 해줍니다 여기는 3x-9 자 3x 좌변으로 2항에서 2x - 3x고요 우리 여기 -9 있었고 2도 2항에서 -2가 됩니다 자 -x가 -11 이하니까 양변에 -1을 곱해서 x만 남기고 우변은 11이 되겠네요 자 우리 지금여기다 -1을 곱했습니다 -1을 곱하면 부등호 방향이 바뀌어요 안 바뀌어요 바뀌죠 그래서 이렇게 x는 11 이상이라고 답이 나오게 되겠네요

자 그러면 우리 한번 필수 예제 풀어보겠습니다 자 첫 번째 다음 중 부등식의 해를 수직선 위에 바르게 나타내는 것은이라고 했는데 일단은 좌변에 있는이 부등식을 풀어 줘야 될 것 같아요 자 1번 먼저 풀어보겠습니다 3-x가 x-1 이하라고 되어 있어요 자 x 넘겨서 여기 -2x 만들 거고요 3 넘겨서 -4로 만들어 낼 수 있겠죠 자 양변을 -2로 나눠주면 우변은 2가 되고요 지금 -2로 나눴으니까 -2로 나눴으니까 부등호 방향이 바뀌겠네요 x는이 이상입니다 자 그러면 올바르게 표시되어 있나요 방향이 반대로 됐죠 이 이상이면 여기를 칠하고요렇게 가야 되는데 우리가 지금 방향이 반대로 되어 있습니다 1번은 틀렸고요 2번 한번 풀어볼게요 ux-3x가 -3 미만이라고 되어 있는데 좌변은 3x고요 자 양면에 3호로 나누면 되겠네요 x는 -1 미만 자 마찬가지로 부등호 방향 바뀌지 않습니다 자 여기는 뭐가 틀렸어요 숫자가 잘못 쓰여져 있네요 자 요것도 틀렸습니다 3번 4x+3이 43 이상이라고 되어 있는데 자 3 2항에서요 4x는 40 이상 양변 4로 나눠서 x는 12사 우리 양수를 나누면 안 바뀌죠 자 그러면 올바르게 표시되어 있나요 자 여기는 뭐가 빠졌어요 우리가 지금 12상이기 때문에 10도 포함을 한다는 의미로 여기를 색칠을 해줘야 되는데 이렇게 칠해 줘야 되는데 그게 안 돼 있네요그래서 한 번도 틀렸습니다

4번 한번 풀어볼게요 ex+5가 x+3 미만이라고 되어 있는데 x 넘기면 좌변 x되고요 5를 넘기면 우변 -2 됩니다 자 x는 -2 미만인데요 우리 지금 표시된 거 보니까 방향이 반대로 되어 있죠 요렇게 되어야 올바르게 쓴 겁니다 자 마지막으로 5번입니다 3x-2가 4x-7 초과라고 되어 있는데 4x 넘기면 -x고요 -1을 넘기면 여기 -5가 됩니다 양변에 마이너스 1을 곱해서요 여기 있는 x 여기는 5가 되고 우리가 -1을 곱하면 부등호 방향이 바뀌죠 그래서 이렇게 x는 옴이 많이 나고 해가 나오네요 자 올바르게 표현되어 있는지 보면 숫자 올바르게 되어 있고요 5는 포함하지 않으니까 여기 색칠 안 되어 있고방향도 잘 되어 있네요 우리 5번이 답입니다 답은 5번이에요 자 됐을까요 넘어가겠습니다 자 마지막 필수 예제구요 자 우리가 요거는 조금 헷갈릴 수 있어요 a가 0보다 클 때요 부등식을 풀라고 했거든요 자 보면은 좌변에 지금 - ax가 있고 우변의 3a가 있어요 우리가 이거에 해를 구하기 위해서 양변을 모르는 나누겠어요 마이너스 a로 나누겠죠 자 그러면 우변은 -a분의 3a가 돼요 여기서 뭐를 신경 써야 되냐이 마이너스 a의 부호가 중요한 겁니다 우리가 부등식에서 곱셈 나눗셈을 할 때는 항상 양수를 곱했는지 음수를 곱했는지 또는 양수로 나눴는지 음수로 나눴는지를 항상 신경을 써야 되는 거예요 지금 -a로 나눴으면 a가 양수니까 -a는 양수겠어요 음수겠어요 음수겠죠 a가 양수니까 -a는 음수입니다 그러면 지금 음수로 나눴기 때문에 부등호의 방향은 바뀌게 되고요 a가 약분돼서 x가 - 3초 가라고 답이 나오게 되는 겁니다 자 우리 여기서 우리 문자로 되어 있지만 그걸 부호는 항상 확인해서 부등호 방향 결정해 줘야 되는 겁니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 1차 부등식 푸는 방법 모두 배워 봤구요 우리가 1차 부등식 풀이 자체는 1차 방정식과 유사하기 때문에 크게 어렵지는 않습니다 단지 우리가 양수를 곱하거나 나눴는지 음수를 곱하거나 나눴는지 그것만 신경 쓰면서 문제풀이 해주시면 될 것 같습니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다