[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 일차부등식과 연립일차방정식 - 연립일차방정식의 뜻

자 반갑습니다 우리가 이번 시간에 배울 내용은 연립 1차 방정식의 뜻입니다 자 우리가 연립 1차 방정식을 배우기에 앞서서이 미지수가 두 개인 1차 방정식에 대해서 배워 볼 겁니다

자 미지수가 두 개인 1차 방정식이 무엇이냐 예를 들어서 요런 애들을 말합니다 ex - y + 3은 지금 미지수가 2개죠 여기 x도 있고 y도 있어요 그런데 x에 관해서도 가장 높은 차수가 1차고 y에 관해서도 가장 높은 차수가 1차죠 자 요런 애들을 미지수가 두 개인 1차 방정식이라고 하는 거예요 자 그런데 이 x와 y 앞에 있는 계수는요 다른 숫자로 바뀌어도 상관이 없겠죠마찬가지로 상수항이 다른 숫자로 바뀌어도 상관은 없습니다 그렇기 때문에 요런 미지수가 두 개인 1차 방정식의 일반적인 형태로요 ax+by+ c는 0으로 쓰게 됩니다 자 이때 미지수는 두 개여야 되기 때문에 a와 b가 각각 0이면 안 되겠죠 자 그래서 이번 시간에 우리가 배울 건 바로 이런 미지수가 두 개인 1차 방정식의 형태입니다 자 우리가 지금까지 배웠던 1차 방정식의 예시로 요런 애들을 들 수가 있겠죠 4x+8은 0이라 그러면 미지수가 1개인 1차 방정식이에요 우리가 미지수가 두 개인 1차 방정식이 아닙니다

자 그러면 우리가 이렇게 4x + 8은 0 같은 경우에 제가 x는 -2라는 형태로 딱 나오게 됩니다 그러면이 미지수가 두 개인 1차 방정식에는 어떻게 나오는지 볼 건데 자 제가 예시를 들 거고요x+y는 6을 가지고 한번 예시를 들어볼게요 자 x+y는 6이라고 하면요 우리가 x에다가 그냥 2를 집어넣으면 x에다가 2를 집어넣으면 요 식이 성립하기 위해선 y가 몇이어야 돼요 y가 4여야 되죠 자 그러면 x는 2고 y가 4일 때 성립을 하니까 얘가 바로 저 미지수가 두 개인 1차 방정식의 개가 되는 거예요 자 이런 해를요 우리가 요런 형태로도 쓸 수가 있습니다 2를 쓸 수도 있어요 우리가 이런 순서쌍으로도 표현이 가능한 겁니다 자 그런데 이것만 해가 있나요 다른 숫자들도 가능하죠 예를 들어서 x에다가 3을 넣으면 그리고 y에다가 3을 집어넣으면 주어진식이 성립을 하게 되고요 요것도 해라고 할 수 있겠죠 자 얘도 순서쌍으로 표현을 할 수가있습니다 자 훨씬 많은 종류의 해가 있을 거예요 이렇게 미지수가 두 개인 1차 방정식은요 해가 여러 개가 되는 겁니다 자 그러면 만약에 x에다가 -1을 넣고 y에다가 8을 집어넣으면 얘는요 좌변에 집어넣었을 때 -1 +8이라 7이 나오는데 우리 6이랑은 같지 않죠 그래서 요거는 주어진 식을 만족하지 않기 때문에 마이너스 18은 제가 아닌 겁니다 자 이래서 우리가 대입을 해서 성립하면 해라고 하면 되고요 대입했을 때 성립하지 않으면 해가 아니라고 하면 됩니다 자 방정식을 푼다는 것은요 우리가 방정식의 해를 모두 구하라는 의미입니다 자 그러면 우리 한번 필수 예제 풀어보도록 할게요 x y가 자연수일 때 2x+y는 10을 만족시키는 XY 순서쌍을 모두 구하라고 했어요 자 그러면 x y가 자연수라고 했으니까 제가x에다가 1부터 집어넣어볼게요 x에다가 1을 집어넣으면 y가 몇이어야 돼요 y는 10-2니까 8이어야 되죠 즉 x가 1이고 y가 8이면 주어진 식을 만족하는 해가 되는 겁니다 1 8 되고요 x에다가 1을 대입하면 y는 10-4와 같아서 6으로 나오고 x에다가 3을 대입하면 y는 10-6이라 4라고 나옵니다 x에다가 4를 대입하면 y는 10 -8이라 2가 나오고요 x에다가 5를 대입하면 우리 y가 10-10이라 0이 나오는데 문제에서 xy는 자연수라고 했기 때문에 요거는 안 되겠네요 자 x가 커지면 y 값이 이제 음수로 나오니까 계속 안 되겠죠 자 따라서요 식은 만족하는 순서쌍은 18 2까지 얘네들이요 식의 해가 되겠네요답이 요겁니다 자 여기까지 됐을까요 자 그러면 넘어가 볼게요

자 이번엔 연립 1차 방정식입니다 자 아까는 그냥 1차 방정식이었는데 이번에는 연립 1차 방정식이에요 자 연립일차 방정식이 무엇인지 우리가 한번 알아볼 건데 연립방정식이란게 뭐냐면요 두 개 이상의 방정식을 한 쌍으로 묶어서 나타낸 것을 말합니다 그래서 우리가 결국 이번 단원에서 제일 열심히 배울게 뭐냐 미지수가 두 개인 연립일차 방정식을 배울 거예요 제가 밑에 있는 예시를요 밑에 있는 예시를 조금 일찍 가져다 쓸게요 자 요렇게 x+y는 4라는 미지수가 두 개의 1차 방정식과 2x+y는 6이라는 미지수가 두 개인 연립 1차 방정식이 지금 각각 존재하는데 이거 두 개를 한 쌍으로 묶어서 나타낸 걸우리가 연립 1차 방정식이라고 해요 연립 1차 방정식 그러면 우리가이 묶는 거에는이 두 방정식을 하나로 묶는 거에는 무슨 의미가 있느냐 자 x+y는 4라고 하면 이거를 만족하는 순서쌍이 여러 개 있겠죠 자 그리고 ex+y는 6이라 그러면 얘도 얘대로 만족하는 순서쌍이 여러 개 있을 거예요 자 왜냐 앞에서 배웠죠 우리 어떤 미지수가 두 개인 1차 방정식에서는 미지수가 두 개인 1차 방정식에서는 요거를 만족하는 순서쌍이 여러 개 나온다 그랬어요 자 그래서 얘는 얘대로 순서쌍이 있고 얘는 얘대로 순서쌍이 있는데 연립한다는 것은 연립한다는 것은 얘도 만족하고 얘도 만족하는 해가 바로 이 연립일차 방정식의 해인 겁니다이 두 개를동시에 만족시켜야 되는 거예요 여기에도 있고 여기에도 있어야 최종적으로이 열림 1차 방정식의 해가 되는 거죠 자 그래서 우리가 요거에 해 구하는 것을 우리가 계속 배워 볼 거예요 자 일단은 우리가 교재 좀 계속 읽어 볼게요 연립방정식의는 뭐냐 부방정식을 동시에 참이 되게 하는 xy의 값 또는 순서쌍이다 자 제가 말한 내용하고 똑같죠 자 그러면 연립방정식을 푼다는 것을 연립방정식의 해를 구하는 것이고요 지금요 예시에서이 x+y는 4를 만족하는 해를 몇 개 구해놨어요 1 3 2 3 그리고 여기에 있는 ex+y는 6을 만족하는 해도 몇 개 구해놨죠 여기 1 4랑 2 자 이게 지금 XY 자연수 일대기 해를 모두 구해 놓은 겁니다

자 이렇게 구해져 있는데 지금 양쪽을 보면요 왼쪽에도 있고 여기에도 있고 여기에도 있는 순서쌍이 하나 있어요 그게 뭐예요 x는이 y = x는이 y는 2가 동시에 들어가 있죠 그러면이 연립방정식을 우리가 풀어서 해를 구하면 뭐가 나오냐 2 x는이 y는 2가 나오는 거예요요 x는 y는 2가 위에 있는 요식도 만족하고 요식도 만족하니까이 연립방정식의 해인 겁니다 자 연립방정식의 해외 의미가 뭐라고요 얘도 만족하고 얘도 만족하는 추방정식을 동시에 만족하는 해인 겁니다 자 그래서 우리가 직접 구해봤더니 공통인게 2가 나왔습니다 자 그러면 넘어갈게요 자 개념 예제 한번 해 볼 건데 자 xy가 자연수일 때요 방정식의 해를구하라고 했고요 첫 번째로이 x+y가 6인 XY 순서쌍을 좀 찾아보겠습니다 자 x값 y 값을 쭉 계산해 줄 거고요요 x + y는 6을 만족하는 자연수를 모두 찾아주면 x는 1 Y = x는 2 y는 4 x는 3 y는 3 x는 4 Y = 2 x는 5 y = 더 이상은 안 되죠 자연수가 안나옵니다 자 요번엔 3x+y는 14를 만족하는 자연수의 순서쌍을 찾아볼 거고요 x에다가 1 집어넣으면 y는 11이고요 x에다 2 집어넣으면 팔라우 3지번하면 5 나옵니다 y가 음수 나와서 안 돼요

자 그러면 우리는요 두 개를 동시에 만족하는 순서쌍을 찾아 줘야 되고요 동시에 만족하는 순서쌍 여기에 있네요 x는 4 y이니 따라서 요 연립방정식의 해는 4입니다 자 됐죠 그러면 우리가 여기 있는 필수 예제 풀어보도록 하겠습니다 자 다음 중 1차방정식 2x-3i는 -10에 내가 아닌 것을 고르라고 했는데 자 우리가 앞에서 풀었던 개념 예제나 예제들은 대부분 자연수에서만 해를 구했었는데 우리가 꼭 연립 1차 방정식이나 어떤 미지수가 두 개인 1차 방정식에서 해당당 자연수일 필요는 없겠죠 자 그래서 요거는 지금 요해가 정숙 그리고 유리수들 범위까지 나와 있는데 직접 대입해 가면서 해가 아닌 건지 배인건지 점검을 해주면 됩니다 자 x는 -3 y는 3분의 4니까 대입을 해주면요 2 곱하기 마이너스 3 - 3 곱하기 3분의 4 요거 계산해 주면 -6 -4니까 -10이 나오네요 자 1번은 해구요 자 2번 x에다가-2를 집어넣고 y에다가 2를 집어넣으면 -4-6이니까 -10 잘 나오고요 3번 x에다가 0 집어넣으면 2 곱하기 0 - 3 곱하기 3분의 10이니까 0 - 12여서 -10 나오네요 자 요것도 해죠 자 이번에 x에다가 1/2 집어넣고요 y에다가 3 집어넣으면 1 - 9라서 -8이 나오네요 자 우리가 원하는 -10이 나오지 않았죠 그래서 요거는 제가 아닌 거죠 자 마지막으로 5번이고요 x에다가 4 집어넣고 y에다가 6 집어넣으면 8 -18이니까 -10 따라서 5번도 해가 되네요 답은 4번이고요

자 두 번째 필수 이제 풀고 이번 시간 마치도록 하겠습니다 자 연립방정식 중에 XY 순서쌍 -1을 얘로 갖는 것을 고르라고 했는데 자하나씩 집어넣어서 우리가 만족하는지 안 하는지 확인을 해주면 되죠 자 x가 -1이고 y가 2인 거니까 요거를 직접 대입해 보겠습니다 1번에 대입하면요 우리가 마이너스 1+2는 1이니까 요거는 만족하고요 자 밑에도 만족을 해야 됩니다 우리가 연립방정식이라는 것은 두방정식 모두 만족해야 되는 거니까요 자 집어넣으면 -2 +2 0 나오죠 자 그러면 우리 원하는 -1이 나오지 않았으니까 요거는 -1을 해로 같지 않습니다 자 여기다가 집어넣으면요 -1 + 2 곱하기 2 계산하면 3 나오네요 잘 나오죠 여기는 2 곱하기 마이너스 1 그리고 -4 나오네요 자 4가 나와야 되는데 -4가 나왔습니다 자 여기다도 대입해 볼게요 3번에 대입하면 -1 -2는 3이니까 자 얘는 위에 것도 만족을 안 하죠그러면 굳이 뭐 밑에 거 확인해 볼 필요가 없겠네요 자 4번에 한번 대입해 보겠습니다 -1 + 4 곱하기 2는 7이죠 자 그럼 얘는 맞구요 여기는 5x-2 곱하기 2니까 -5-4 -9 나오죠 자 그러면 요거 둘 다 만족을 하네요 따라서 우리 마이너스 1을 해로 갖는 건 4번이고요 자 5번에도 한번 대입을 해봅시다 2 곱하기 마이너스 1 + 3 곱하기 2 계산하면 4 잘 나오고요 3 곱하기 -1 + 2 곱하기 2 계산해주면 -3 + 4니까 1 나와요 자 우리가 지금 0이라고 되어 있는데 1이 나왔죠 요거 5번도 안 되네요 따라서 답은 4번입니다

자 이렇게 해서 우리가 오늘 배우는 거는요 연립 1차 방정식이 뭔지 배운 거예요 해를 우리가 조금 일일이 구해 가며 일일이 대입해서 계산해 가지고 찾아줬지만 우리가 연립 1차 방정식의 해를 구하는 방법은 다음 시간에 제대로 배우게 되니까요 우리가 요 부분 그래도 복습 꼭 하고서 뒤에 가면 열심히 들으시기 바랍니다 자 오늘 수업 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다