[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 일차부등식과 연립일차방정식 - 연립방정식의 풀이(가감법, 대입법)

자 반갑습니다 우리가 오늘 학습할 단어는 연립방정식의 풀이 가감법 대입법이에요 자 우리가 지난 시간에는 연립 1차 방정식이 뭔지에 대해서 배웠어요 그게 뭔지 배웠고 해가 어떻게 되는 건지 뭐 연립방정식의 의미가 뭔지 그런 것들을 배웠는데 오늘은 바로 그 연립방정식을 푸는 방법을 배울 거예요 제일 중요합니다 자 제일 중요하고요 우리가 두 가지 방법을 배울 건데 가감법하고 대입법을 배웁니다 우리가 두 방법 모두 활용할 수 있어야 돼요 자 그러면 하나씩 좀 배워보도록 할게요

자 일단은 가감법이고 이 가감법이라는 것은요 우리가 연립방정식에서 두 방정식을 변끼리 더하거나 빼서 한 미지수를 없앤 후 연립방정식의 해를 구하는방법입니다 자 여기서 중요한 건 뭐냐 두 방정식을 변끼리 더하거나 빼는 거예요 그러니까 이게 무슨 말이냐면 식을 통째로 통째로 더하거나 빼는 거예요 그래서 미지수를 없애는 겁니다 자 제가 밑에 있는 예시가 있지만 조금 더 쉬운 예시로 하나 먼저 해볼게요 x+y=1이라는 1차 방정식 미지수가 두 개인 1차 방정식과 하나는 x-y=3이라는 방정식이 있어요 두 개의 해를 구할 겁니다

연립방정식의 자 두 개를 우리가 연립해서 해를 구한다고 하고요 이럴 때 해를 어떻게 구하냐 우리가 식과 식을 통째로 더하거나 뺄 거예요 자 식과 식을 통째로 더하거나 뺄 건데 제가 만약에 y를 없애고 싶어요 y를 없애고 싶으면 여기에 있는요 1번 식과 여기에 있는요2번식을 어떻게 하면 될까요 y를 없애고 싶으면 1번과 2번을 그냥 더해 버리면 되죠 x+y=1과 x-y는 3을 그냥 통째로 더해 버리는 겁니다 자 그러면 x+y+x-y 요거는 1+3 이런 식으로 정리가 되겠죠 그러면 y가 사라지게 되고요 좌변에는 ex가 남고 우변에는 4가 남으니까 x는 2라는 값이 나와요 그러면 x는 2가 나왔으니까 x는 2를 다시 일반 또는 2번식에 대입해서 y 값을 구해주면 되는 겁니다 자 만약에 이거를 1번식이 대입을 해주면요 여기가 2인 거니까 y는 -1이 나오죠 자 근데 이번 식의 대입한다고 다른 값이 나오는게 아닙니다 우리가 여기다가 2를 대입해도y는 똑같이 마이너스 1이 나와요 따라서이 연립방정식의 해는 몇 콤마 몇인 거예요 2 - 1인 거죠 자 우리가 연립방정식이라는 건요 연립방정식이라는 거는이 두식을 동시에 만족하는 x값 y 값을 찾는 거기 때문에 여기 써 있는 x 값이나 여기 써 있는 x나 똑같고 여기 써 있는 y나 여기 써 있는 y나 똑같아요 똑같은 x값 똑같은 y 값이니까 우리가 이 식을 통째로 더하거나 빼서 같은 문자로 계산을 해 버리면 되는 겁니다 자 이렇게 식과 식을 통째로 더하거나 빼서 우리가 한 문자만 남기는 겁니다 자 물론 여기서 처음에 x를 없애서 y 값을 먼저 구해도 돼요 우리가 그거는 편한 대로 계산을 해주면 됩니다

자 우리 지금 교재에 나와 있는 연립방정식의 풀이 순서가 나와 있는데 제가 설명한 내용이 잘 정리되어 있습니다 한번 쭉 읽어 볼게요 자 먼저적당한 수를 곱하여 소거하려는 미지수의 계수의 절댓값이 같아지도록 한대요 자 우리가 예시로 풀었던 문제는 이미 y의 계수의 절댓값이 1로 맞춰져 있었어요 근데 그게 안 맞는다면 우리가 어떤 숫자를 곱해서 어떤 숫자를 곱해서 맞춰줘야 되는 거예요 이따가 다시 한번 예시할 때 풀어볼게요 자 계수가 같아졌다면 부식을 변끼리 더하거나 빼서 미지수 하나를 소거하는 겁니다 자 그러면 문자 하나의 대한 어떤 x나 y 값이 하나가 나오겠죠 그러면 그거를 다시 대입을 해서 다시 대입을 해서 다른 미지수의 값을 구해주는 겁니다

자 그러면 한번 예제를 하나 더 풀어 볼게요 이번에는 여기 교재에 나와 있는 ox - 2y는 마이너스 9와 4x+y는 -1을 풀어볼 거예요 자 이거를 풀라고 하니까 아까와는 다르게 어떤 x 값이 계수나 y 값의 계수가지금 절댓값이 같지 않아요 그러니까이 자체로 더하거나 뺐을 때 얘를 그냥 통째로 더해 버린다고 해서 어떤 x나 y가 사라지나요 사라지지 않죠 우리가 그거를 사라지도록 어떤 숫자 숫자를 곱해서 계수를 맞춰주는 겁니다 자 저는 y를 없앨 거고요 y를 없애기 위해요 니은식 니은식에다가 2를 곱할 겁니다 왜냐하면 여기 지금 -2y가 있으니까 저는 얘를 2y로 만들고 싶은 거예요 자 그러면 기역은 그대로 놓고요 ox - 2y는 마이너스 9라고 그대로 놓고 밑에 있는 식의 두 배를 해주면 6x + 2y는 -2라고 나오죠 자 그러면 이렇게 됐을 때 시과식을 통째로 더해 버리는 거죠 더해 버리면좌변에 뭐가 남을까요 11x가 남죠 우변은 -11입니다 왜냐 사라지고 OX + 6x며 구하는요 과정을 가감법이라고 해요 자 개념인지 한번 풀어 볼게요 자연립방정식 요거를 가감법으로 풀라고 했고요 우리가 요것도 지금 식을 보면 제가 위에 있는 식을 1번 밑에 있는 식을 2번이라고 했을 때 우리가 지금 계수가 안 맞춰져 있어요 그러면 저는 y를 없앨 거고 y를 없애기 위해 여기 지금 2y죠 그럼 여기 숫자를 2로 만들고 싶은 겁니다 그러면 이번 식에다가 2번 식에다가 2를 곱할게요 1이라고 나오죠 x값은 1이라고 나옵니다 그리고 다시 x는 1을 저는 일반식의 대입을 좀할게요 이래 대입을 해주면 x는 1이니까 3 + 2y 요거는 1이니까 2y는 -2구요 y 값은 뭐라고 나오나요 y 값은 -1이라고 나오네요 자 이렇게 해서요 연립 방정식에는 1 -1이 되겠네요 여기까지 됐나요 자 그러면 우리가 가감법은 여기까지고요 요번엔 대입법을 한번 풀어 보도록 하겠습니다 자 대입법이 뭐냐면 연립방정식의 두 방정식 통해서 어느 한 방정식을 한 미지수의 식으로 나타내어서 이거를 다른 방정식의 대입을 하는 겁니다 자 그러면 미지수가 하나만 남아서 우리가 마찬가지로이 연립방정식의 해를 구할 수가 있는 거예요 자 우리가 우리 대입법은 언제 많이 쓰냐면이 한 문자로 표현하기 편할 때만 있어요

예를들어서 우리 연립방정식이 요렇게 있어요 이렇게 하나가 2x+y는 3이고 다른 하나가 x+y가 5라고 되어 있어요 그러면 우리가 대입법은 한 문자에 관해서 정리를 하니까 예를 들어이 두 번째 식을 y에 관해서 정리하기가 편합니다 예를 들어서 y에 관해서 정리를 해주면 -x + 5라고 나오게 되고이 y를이 y를 여기다가 대입을 하는 거예요 여기다가 대입을 해주면 2x + y자리의 마이너스 x+5가 들어가고요 여기가 3이니까 x+5는 3 x는 -2 자 이게 대입법입니다 한 문자에 관해 정리를 해서 대입을 해서 문자를 하나만 남기는요 방법을 대입법이라고 해요 자 그런데 만약에우리 연립방정식에서 계수가 1이 아니라 예를 들어 뭐 ex+3i는 7 이런 식으로 방정식이 있다고 해봐요 그러면 내가 얘를 y에 관해 정리하든 x에 관해 정리하든 분모가 생기게 되고 계산하기 조금 귀찮아집니다 그래서 요런 경우에는 우리가 앞에서 배웠던 대입법이 아닌 가가법으로 많이 풀어 주고요 방금 푼 방정식처럼 어떤 x나 y의 계수 중 1이나 마이너스 1이 있으면 우리가 대입법으로 계산을 많이 해줍니다 자 근데 뭐 가관법으로 계산해줘도 전혀 문제는 없어요 강화법이 더 오래 걸리진 않습니다 자 어찌됐든 대입법은 x 또는 y계수가 1 또는 -1일 때 주로 사용을 한다는 거 우리가 그거를 기억해 주면 되고요 우리 대입법 관한 거 밑에서 한번 다시 풀어 볼게요 자 한 방정식에서 한 미지수를 다른 미지수의 속으로 미지수의 식으로 나타낸 다음에 데이블에서 해를 구해주는 거예요 그죠 제가 위에서도 했어요 그럼 다시해보겠습니다 여기 있는 예시로 자 ox - 2y는 마이너스 9랑 4x+y = -1이 있는데 대입법을 쓰겠다고 하면 우리가 지금 계수가 1이거나 마이너스 1이네를 찾는 겁니다 여기 y의 계수가 1이죠 자 여기서 그러면이 두 번째 니은식을 가지고 y에 관해서 정리를 해 주는 거예요 y는 다 우변으로 넘겨주면 -3x-1이죠 자 이렇게 됐을 때이 y를 위에 있는 기역 기억식의이 와이 자리에 대입을 해주는 겁니다 자 그러면 OX -2y인데 y자리에 마이너스 3x-1이 이렇게 들어가고요 얘가 마이너스 9니까 요거를 풀면 우리가 x값을 구할 수가 있겠죠 +2는 - 9 여기 11x가 -11이니까x는 -1이라고까지 나옵니다 그러면 요거를 다시 여기다 대입을 해서요 y 값을 구해 버리면 되겠죠 y는 2가 나오네요 따라서요 연립방정식에는 x는 -1 y는 2 이렇게까지 구할 수가 있습니다 자 우리 가감법 대입법 모두 알고 있어야 되고요 충분히 연습해 주셔야 됩니다

자 요 데이터 가지고 개념 예제 하나 더 풀어보도록 할게요 자 연립방정식을 대입법으로 풀라고 했고요 우리가 대입법으로 풀라고 했으니까 계수가 1이거나 -1이네를 먼저 찾아 줘야 됩니다 여기 지금 마이너스 y가 있죠 계수가 -1이니까요 니은식을 y에 관해 정리를 해 줄 거예요 자 - y는 -2x+3이고요 양변의 마이너스 1을 곱해서 y는 2x - 3입니다 그러면 여기에 있는이 y를요 y를요 첫 번째 위에 있는 식에다가 제가 이름을 안 붙였네요 기역식에다가 대입을 해주면 3X + 2의 2X - 3 요거는 1이고요 3x+4x -6은 1이고 7x는 7이니까 x는 1이라고 나오죠 그러면 x가 1인 걸 다시 여기다가 대입을 해주면 y 값은 뭐라고 나와요 -1이라고 나옵니다 따라서요 연립방정식의 해는 x는 1 y는 -1 이렇게까지 됩니다 자 됐을까요 자 그럼 넘어가 볼게요

자 우리 필수 예제의 풀고 마칠 거구요 우리 필수의 이제 이렇게 두 개 있습니다 두 개 풀고 마치도록 할게요 자 연립방정식에서 y를 소거하여 강한 법으로 푼대요 그때 필요한식이 뭐냐고 물어봤는데 그러면 우리가 여기서 지금 y를 소거하기 위해 y의 계수를 맞춰 줘야 되잖아요근데 기억식에서 y의 계수는 뭐예요 5죠 니은식에서 y의 계수는 뭐예요 -2죠 자 그러면 우리가 5와 -2에다가 각각 어떤 수를 곱해서 계수를 똑같이 맞춰 줘야 돼요 그럴 때는 우리가 최소공배수로 만드는게 가장 작은 숫자를 곱하게 됩니다 자 기역식에다가는 우리가 2를 곱하고 니은 식의 단은 5를 곱하면요 4x + 10y 요거는 20이고 15x [음악] - 10i 요거는 -30입니다 자 우리가 하나는 플러스고 하나는 마이너스니까이 두식을 어떻게 하겠어요 통째로 더하겠죠 그래서 기억에다 2를 곱한 거와 니은에다 5를 곱한 거를 더한게 바로 이 문제의 답이 됩니다 자 몇 번이에요 3번이죠 자 이런 식으로 우리가 계수를 어떻게 맞춰 줄지항상 우리가 적절한 숫자가 뭔지 그거를 찾는 연습을 하면서 연립방정식 푸는 연습을 해주면 됩니다 자 넘어가 볼게요 자 두 번째 거 우리 연립방정식 요거를 대입법으로 풀라고 했고요 우리 정말 친절하게도요 첫 번째시기 이미 y에 관해서 정리가 되어 있죠 그러면 우리는 기분 좋게 ui를 여기다가 대입만 해주면 되는 겁니다 너무 좋죠 정리를 할 필요가 없어요 EX - x+4는 6이니까 x는 2라고 정리가 되고요 다시 대입을 해주면 y 값은 2라고 나오게 됩니다 따라서 x는 이미 y = 2가요 연립방정식의 해예요

자 여기까지 해서 우리가 연립방정식을 가감법으로 푸는 방법과 대입법으로 푸는 방법 모두 연습을 했어요 자 우리이 두 방법 모두 알고 있어야 됩니다 정말 익숙해질 때까지 많은 연습해 주시기 바래요 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다감사합니다