[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 일차부등식과 연립일차방정식 - 연립방정식의 활용

자 이번 시간 배울 단어는 연립방정식의 화력입니다 자 우리가 뭐 특별히 처음 배우는 개념은 없고요 우리가 1차 방정식의 활용해서도 풀었고 1차 부등식의 활용해서도 풀었던 비슷한 유형들을 풀게 될 거예요 자 우리 화류문제 학생들이 많이 어려워하는데 일단은 기본적인 구조는 모두 똑같습니다 우리가 미지수를 정해주고요 우리가 미지수로 정하는 것은 어떤 것이냐 우리가 보통 문제에서 구하라고 한 거 또는 우리가 모르는 것 그것을 x나 y로 잡아요 자 문자로 잡으면 우리가 문제의 조건에 맞춰서 식을 세웁니다 우리가 식을 세우죠 그 어떤 소금물 문제도 있고요 거리 속력 시간 문제도 있고 나이 문제도 있고 다양하게 존재하죠 그 조건에 맞춰서 xy에 관한연립방정식을 세우는 거예요 자 그 다음에 풀어서 확인하게 되는데 우리 가장 어려운 부분은 어디가 어려운 거예요 미지수를 정해서 조건에 맞춰서 식을 세우는게 어렵습니다 자 우리 요거에 집중을 해서 연습을 해 주시면 되고요 자 지금 밑에 참고 사항이 하나가 있는데 우리 문자를 사용한 식으로 나타내는 좀 여러 가지 케이스들을 한번 보도록 할게요

자 10의 자리 숫자가 x고 1의 자리 숫자가 y면요 자 예를 들어서 숫자가 만약에 23이면 우리가 일하는 숫자는 진짜 말 그대로 2를 의미하는게 아니라 10의 자리에 있기 때문에 20을 의미하죠 즉 2 곱하기 10을 의미합니다 자 그렇기 때문에 10의 다리 숫자가 x고 1의 자리 숫자가 y면 우리는 그 숫자를 gx+y라고 나타내야겠죠 자 이렇게 표현하는 것도 우리가 하나씩 알아둬야 되겠죠 자 두 번째 부자연수 x y에 대하여x를 y로 나누면 몫이 주고 나머지가 r이 되어 그러면 우리가 이거는 우리 나눗셈을 배울 때 배웠죠 x는 y 축 플러스 알 꼴로 나타낼 수가 있습니다 나누는 숫자와 몫을 곱하고요 나머지를 더하면 됩니다 자 이때 나머지는 우리가 y로 나눴으면 y보다 작고 0보다 크거나 같은 나머지가 돼야 되겠죠 자 세 번째 올해로 나이가 x 살인 사람이 a년 후면 나이가 몇 살이 되겠어요 a년후니까 그대로 x+a살이 되는 거고요 x3인 사람이 a년 전이면 그대로 a를 빼서 x-a살이라고 하면 되는 겁니다

자 네 번째요 가로의 길이가 x고 세로의 길이가 y인 직사각형 둘레길이는요 자 가로랑 세로를 더하고 2배를 해주면 되겠죠 우리가 가로가 두 개의 세로가 두 개 있으니까 2의 x+y입니다 자 우리 5번을 조금학생들이 어려워하는 경우들이 있어요 자 x에서 a 퍼센트 증가한데요 자 a % 증가한다 그랬는데 제가 예시를 좀 들어볼게요 자 원래 만 원짜리 물건이 있는데 가격을 20% 인상 안 돼요 자 그러면 만원에다가 100분의 20을 곱한 우리 이렇게 약분돼서 2000이 나오죠요 2000이 인상한 양 증가량인 거예요 이게 증가량 자 그리고 증가해서 얼마가 된 거예요요 만원이 2,000원을 더해서 12,000원이 된 거죠 자 그래서 중간 금액을 구할 때는 우리가 만원에다가 100분의 20을 곱하는게 아니라 원래 있던 것까지 더해 줘야 돼서 100분의 20에 2를 더한 거를 곱해 주는 거예요

자 조금 헷갈리니까 제가 여기만 좀 다시 쓸게요 이렇게 일 더해서 괄호를 닫은이 100분의 20 +1을 곱해줘야 증가한 후 증가한 금액이 되는 겁니다 자 증가량을 구할 땐 100분의 20을 곱하고요 증가 한 금액을 곱할 때는 100분의 20 + 1을 곱해주는 겁니다 자 그래서 a2% 증가했다 그러면 증가량은 100분의 ax고요 전체 양은 우리 1+100분의 a를 x에 곱해서 구해주는 겁니다 자 6번 보면 하루에 하는 일의 양이 x일 때 자 a일 동안 일을 한대요 그러면 x6a 일을 하는 거니까 우리 총 한입의 양은 ax로 구할 수가 있겠죠 자 여기까지 됐을까요 자 넘어가겠습니다 자 우리 개념 예제 풀 건데 자 어떤 두 자리에 자연수에 각 자리의 숫자의 합이 10이래요 자 그리고 11자리 숫자와 2의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음 두 다리의 자연수보다 18만큼작대요 자 그러면 우리는 문자를 뭐로 잡아야겠어요 집에 다리 숫자를 x라고 잡고 1의 자리 숫자를 y라고 잡아서 문제를 풀어주면 됩니다 자 각 자리에 숫자의 합이 12라고 했으니까 이거를 식으로 바꿔주면 x+y는 10이라고 나오는 거고요 자 그다음 잘 볼게요 11자리 숫자와 2의 자리 숫자를 바꾼 수래요 자 그러면 10의 자리 y가 오고이 자리에 x가 오니까이 수를 우리는 10 곱하기 y + x라고 표현을 할 수가 있겠죠 자 그럼 처음 두 다리에 자연수보다 자 처음 두 다리 자연수는 10x+y가 됩니다 이거보다 18만큼 작다라고 했으니까 얘가 작은 거죠 얘가 작은 거니까 여기다가 18을빼서 다시는 겁니다 자 그래서 저 두 번째 식을 정리를 해 줄 거고요 CY + x가 10x + y -18이니까 여기 있는 xy를 좌변으로 넘겨주면 -9x + 9y는 -18이고 양변을 -9로 나눠주면 x - y는 2라고 정리가 되죠 자 그래서 아까 구한 x+y는 10이라는 식과 x-y는 2라는 식을 연립을 해주면 되고요 x+y = 12 x - y는 자 두 개를 더해 주겠습니다 2x는 14 x는 뭐예요 지르네요 자 다시 대입해서 여기다 다시 구해주면요 y는 5라고 나옵니다 따라서 처음 두 달이 자연수는 우리 75라고 구할 수 있겠네요 자 넘어가겠습니다

자 이번엔 공식이 이용되는 연립방정식의 활용이고요 첫 번째로 거리 속력 시간에 관한 문제입니다 자 거리는요 우리 속력 곱하기 시간으로 구하죠 동력은 시간분의 거리 시간은 속력분의 거리에요 자 우리요 문제가 어려운 이유는 학생들이 공식을 몰라서 모르는 경우는 거의 없어요 자 공식을 모르고 있다면 당연히 외워야 됩니다 이거를 일단 꼭 외우셔야 되고 우리가 식을 세우기 어려워서 문제가 안 풀리는데 우리가 어떤 어떤 식을 세우게 되냐면 거리끼리 너에서 거리끼리 더해서 최종적인 거리가 나오거나 아니면 뭐 갈대 시간하고 올 때 시간을 더해서 총 시간이 나오거나 요런 식으로 우리가 식을 세우게 됩니다 자 요거 두 개만 있는 건 아니에요 대표적인 예시를든 겁니다 우리 갈대걸이랑 올 때 거리더에서 총 이동한 거리 아니면 갈대 시간하고 올 때 시간도 해서 총 걸린 시간 뭐이런 식으로 우리가 식을 세우게 되는 거예요

자 밑에 예시를 보면 지금 5km 떨어진 공원을 가는데 처음에는 4km로 걷다가 시속 6km로 뛰어갔대요 자 우리 문제를요 항상 좀 도식화에서 그림을 좀 간단하게 그려서 이해를 했으면 좋겠고요 집에서 공원까지 갑니다 집에서 공원까지 가는데 처음에는 4km로 가구요 시속 4km로 가고 그러다가 시속 6km로 간대요 여기서부터 여기까지 시속 6km로 간다고 생각을 하면 자 문제에서 총 1시간이 걸렸다고 했어요 총 1시간 걸렸다고 했으면 우리 1시간을 가지고 식을 어떻게 세워야 되느냐 4km로 간 시간 시속 4km로 간 시간하고 시속 6km로 간 시간 하고 더해서총 걸린 시간이 나와야 되는 겁니다 여기서 여기까지 갈 때 걸린 시간 여기서 여기까지 갈 때 걸린 시간 두 개 더해서 총 1시간 자 그리고 우리가 총 5km 떨어져 있다고 했으니까 총 5km 떨어졌다는 것은 여기서부터 여기까지 간 거리에다가 여기 4km로 간 거리 시속 4km로 간 거리에다가 여기서부터 여기까지 가는 거리 시속 6km까지 시속 6km로 지속 6km로 간 거리를 더해서 총 5km가 나와야 되는 겁니다 그래서 이렇게 식을 두 개를 세워서 문제를 풀어주는 거죠 자 우리가 이 기본적인 구조 꼭 활용을 좀 해주고요 우리가 거리끼리 더해서 거리가 나오고 시간 길이 더해서 시간이 나오는 겁니다 자 하나 주의해야 될 점은 속력끼리 더해서 속력이 나오는 건 아니에요 자 그러면 우리가 이거를 좀 식으로 바꿔주면첫 번째이 총 4시간에 관한 총 1시간 4시간이 아니죠 총 1시간에 관한 식을 세워주면 시속 4km로 간 시간은 우리가 속력분의 거리니까 시간은 속력분의 거리니까 요거는 속력 4분의 거리 자 거리를 모르네요 그러면이 거리를 문자로 잡는 겁니다 제가 여기 간 거리를 x라고 잡을 거고요 여기 간 거리를 y라고 잡을 거예요 그러면 4분의 x가 되겠죠 자 시속 6km로 간식하는요 우리가 마찬가지로 시간은 속력분해 버리니까 속력 6분의 y인 겁니다 그래서 4분의 x와 6분의 y를 더해서 총 걸린 시간 1시간이 나오는 거고요 자 두 번째 식기 4km로 간 거리 6km로 간 거리를 더해서 5km가 나오는데 자 이거를 우리가 각각 문자 xy로 그냥 잡아 놓은 거죠 그래서x+y는 5라고 나옵니다 자 좀 연습을 어느 정도 한 학생들이면 오히려이 두 번째 식을 씁니다요 두 번째 식은 쓰는데이 첫 번째 식을 놓치는 경우가 많아요 자 우리가 거리를 xy라고 잡았으면 거리끼리도 더해서 전체 거리가 나와야 된다는 거 그것까지도 기억해 주시기 바랍니다

자 두 번째는 소금물 문제구요 자 소금물 농도는 우리 소금물 분의 소금 곱하기 100으로 구하고 소금의 양은 100분의 농도 곱하기 소금물로 계산을 합니다 자 이때요 우리가 학생들이 실수를 많이 하는 포인트는 우리 소금물을 계산할 때요 소금물이 양을 계산할 때는 소금의 양에다가 물의 양을 더하는 거예요 만약에 소금을 부었으면 소금물도 늘어나는 거구요 물을 부었으면 소금물도 늘어나는 겁니다 예를 들어서 우리 소금물 뭐 6% 소금물이 200g이 있는데 여기다가 제가 추가로추가로 소금 50g을 더했다고 할게요 그러면 소금 50g 더하면 우리가 요거 농도를 계산을 해 볼게요 요거 농도를 계산한다고 하면 소금물 분의 소금 곱하기 100인데 우리 소금물 그럼 몇 g인 거예요 자 소금을 원래 200g 있었구요 소금 50g 더하면 그대로 더해서 250g 되는 거예요 자 소금이 양은요 우리가 50g 더했다고 50g인게 아니라 원래 있던 소금에다가 50g을 더한 거니까 원래 있던 소금을 구해야 되고 원래 있던 소금을 또 공식으로 계산해 주면 되는 겁니다 소금은 100분의 농도 곱하기 소분물이니까 조금 12g이 있었던 거고 우리가 50g을 더해준 거죠 그러면 조금은 62g입니다 그래서 250분에 62 곱하기 100을 계산해서 농도를계산할 수 있어요 자 뭐 계산은 제가 그냥 간단하게 분수로만 좀 나타내겠습니다 계산해주면 5분의 124라고 나오네요 자 그러면 우리가이 연립방정식에서 소금물 문제 풀 때는 또 어떤 식을 많이 활용하게 되냐 자 원래 소금물에 양하고 원래 소금물의 양을 더해서 우리가 최종적인 소금물의 양이 되는 거예요 자 농도가 뭐가 됐든 소금물 200g 하고 소금물 300g 더하면 소금으로 500g 되는 겁니다 농도가 중요한게 아니에요 소금물 계산할 때는 소금물 더하기 소금물이 전체 소금물 되는 거예요

자 두 번째로 우리 원래 있던 소금에다가 또 다른 소금의 양을 더하면 원래 있던 소금에다가 또 다른 소금 더하면 새로운 소금 나오는 겁니다 자 원래 뭐 예를 들어서 6% 소금물의 소금이 있고요 8% 소금물에 소금이 있어요 두 개를섞었을 때 새로운 소금물이 될 건데 농도는 아직 모르겠어요 농도는 정확히 모르지만 여기 있는 소금하고 여기 있는 소금을 더해서 새로운 새로운 소금물에 들어있는 소금의 양을 계산할 수 있는 겁니다 자 갑자기 소금이 무리되거나 물이 소금이 되지 않아요 조금은 소금끼리 계산하고요 우리 물은 물길이 계산으로 주면 됩니다 자 이렇게 두식을 활용을 많이 하게 될 건데 자 여기 예시를 한번 볼게요 바이퍼센트의 소금물과 5%의 소금물을 섞어서 6%의 소금을 100g을 만들었대요 자 8%를 XG 5%를 yg라고 한다고 했네요 자 그러면 우리 지금 8%랑 8% xg입니다 5% y그람을 섞는 건데 자 100g이 나왔어요 6% 100g이 나왔습니다 그러면 일단 소금물 가지고 식을 하나 세워요XG 하고 YG 섞어서 100g 나왔으니까 [음악] 자 집에서 저 점을 거쳐서 학교까지 간대요그러면 제가 이렇게 그림을 좀 그리겠습니다 집에서 저 점을 거쳐서 학교까지 갈 건데 여기서부터 여기까지 전체 거리는 9km래요 여기가 km인 겁니다 이렇게 일단 집에서 서점까지는 시속 2km로 가구요 집에서 서점까지는 지속 2km로 가고 서점에서 학교까지는 시속 5km로 간대요 자 그랬더니 집에서 학교까지 가는데 3시간이 걸렸대요 전체 총 3시간 걸린 거죠 자 일단은 우리가 구하는게 집에서 서점 사이의 거리 서점과 학교 사이의 거리예요 자 제가 요거를 x라고 놓을 거고 요거를 y라고 놓으면요 여기 거리가 xkm인 거고 여기 거리가 ykm인 거죠 자 제가 지금 어떻게 세우자고 했냐면 자 집에서 서점걸이랑 서점에서 학교 거리 더해서 전체 거리가 나옵니다 x+y는 9라고 나오고요 자 총 3시간 걸렸다 그랬죠 그러면 여기서 걸린 시간 하고 여기서 걸린 시간 더해서 총 3시간 나오는 겁니다 그래서 집에서 서점까지 갈 때 걸린 시간은 속력분의 거리 2분의 x고요 서점에서 학교까지 간 시간 속력 5분의 거리 5 두 개 더해서 총 3시간 나오는 거죠 두 개를 연립해 주면 됩니다 자 이 밑에 있는 두 번째 식 분모를 없애기 위해 양면에 10을 곱해 줄 거고요 양변에 10을 곱해주면 5x+2y는 30입니다 자 두 개 연립하기 위해서요 첫 번째 식에다가 2를 곱해 줄 거고요 2x+ 2y는 18입니다 자 위의 식에서 아래 식을 빼주면 3x는 12 x는 4라고 나오고요 우리 첫 번째 시계에 대입을 해주면 y는 5라고 나오네요 따라서 집에서 서점까지의 거리는 4km 저점에서 학교까지의 거리는 5km 이렇게 답을 구할 수가 있죠

자 이번엔 우리 필수에 대해 풀어볼 거고요 3%의 소금물과 8%의 소금물을 섞어서 6%의 소금을 100g을 만들었대요 자 그러면 3%의 소금물과 8%의 소금물의 양을 각각 구하라고 했으니까 일단 요거를 각각 3% 소금물 XG 8% 소금물 와이그람이라고 우리 문자로 잡아 놓을게요 자 그러면 3% 소금물 XG 하고 8% 소금물와이드람을 섞어서 6%의 소금을 100g을 만든 거예요 자 그러면 제가 소금물에 관한 식을 하나 세울 거고요 소금물에 관한 식을 하나 세울거고 소금에 관한 식을 안아세울 거예요 자 처음에 XG 하고 YG 더해서 지금 몇 그램 된 거예요 100g 된 거죠 그러면 그대로 x+y는 100이라고식이 하나 나오는 거고요 자 소금에 관해서 식을 세운다고 했죠 3% 소금물 XG 있으면 여기에 있는 소금은 100분의 농도 곱하기 소금물 자 8%에 있는 소금물 100분의 8 곱하기 y 두 개 더한게 우리 지금 소금의 양을 다 더해준 거고요 그랬더니 100분의 6 곱하기 100 요게 6%의 소금물이 들어있는 소금의 양이죠 자 여기 있는 소금하고 여기 있는 소금 더하면 여기 있는 소금나온다고 했습니다 그거를 이렇게 식으로 표현해 준 거예요 자 첫 번째 시 x+y는 100은 그대로 냅두고요 두 번째 식 양변에 100을 곱하면요 3x+는 600이라고 나와요 자 첫 번째 식의 세배를 해주면 3x + 3y는 300이고요 위의 식에서 아래식을 빼주면 oi는 300입니다 자 따라서 y는 60이라고 계산이 되고요 여기 첫 번째 시계다 테이블에서 x는 40이라고 구할 수 있겠네요 따라서 x는 40 y는 60입니다 요게 우리가 구하고자 하는 소금물의 양이죠 4%, 3% 소금을 40g 8% 소금을 60g입니다 자 그러면 넘어가 보겠습니다

자 마지막 필수 예제구요 현재 삼촌과 조카의 나이에 차는 30세고 15년 후에삼촌의 나이는 조카의 나이에 2배가 된다 그랬어요 자 그러면 삼촌 나이랑 조카 나이를 각각 문자로 잡는 겁니다 삼촌 x살 조카 y살이라 그러면 나이 차이가 30이래요 그러면 x-y는 30이라고 나와요 자 15년 후래요 그러면 15년 후 3톤 라인은 이제 x+15고 15년 후 조카나이는 y+15죠 자 그런데 삼촌 나이가 조카 나이에 두 배가 된다 그랬으니까 x+15는 2의 y + 15라고 정리가 되겠네요 자 두 개 연립해주면 우리 x값 y 값 찾아낼 수 있고요 x+15는 2y + 30 x-2y는 15입니다 자 첫 번째 식 x-y는 30이니까 두 개 연립해 주면 되고요빼주면 - y는 -15니까 y는 15라고 나옵니다 위다시 대입해서 x값도 구해주면 x - 15가 30이니까 x는 45라고 나오죠 따라서 현재 조카의 나이는 이제 조카의 나이는 15살입니다

자 여기까지 해서 우리 연립방정식의 활용 문제들 정말 많이 풀어 봤구요 우리가 쉬운 문제여도 여러 번 풀면서 숙달을 해야 더 어려운 문제 풀 수 있으니까요 우리 수업 끝나고 복습 꼭 꼼꼼하게 해주시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다