[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 일차함수와 그래프 - x절편, y절편과 기울기

자 이번 시간 학습할 단어는 x절편 Y 절편과 기울기입니다 자 우리가 절편과 기울기는이 1차 함수를 나타낼 때 가장 중요한 요소예요 자 그래서 그 절편이 뭔지 먼저 배워 볼 건데 자 1차 함수 그래프의 x절편과 y 절편이 뭐냐 X 절편은요 함수 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표입니다

자 오른쪽에 그래프가 그려져 있는데요 그래프가 지금 x축과 만나는 점이라고 하면 자 x축은 여기에 있죠 요 점을 말해요 자이 점에 x좌표가이 점의 x좌표가 x 절편이에요 그러면 우리가 이 x 좌표를 찾기 위해서는 어떻게 해야 되냐 자요 점은 x2에 있는 점들은 우리가y 값들이 모두 0인 점들이기 때문에 자 여기 있는 점들은 모두 y가 0인 거죠이 y가 0이라는 값을 요함수 y는 ax+b의 대입을 해주면 됩니다 자 y의 0을 대입을 하면 ax+b는 0이고요 우리가 ax는 -b니까 x는 - a분의 b라고 구할 수가 있죠 자 그래서요 점이 우리가 - a분의 B 콤마 0이라고 구할 수 있고요 이때의 x 좌표 이때 이 x좌표를 x 절편이라고 하는 거예요 자 그러면 x절편을 뭐라고요 우리가 x축과 만나는 점의 x 좌표고 그거를 구하기 위해선 y의 0을 집어넣는 겁니다 자 그리고 헷갈리지 않도록 잘 알아둬야 돼요

x절편은 x축과 만나는 점이고 이거를 구하기위해서 y의 0을 집어넣어야 된다 y의 0을 집어서 나오는 x값이 x 절편이다 이렇게 알고 계시면 됩니다 자 y절편은요 y 절편은 우리가 함수 그래프가 y축과 만나는 점의 y 좌표구요 우리가 그래프 상에서 여기에 지금 이렇게 y축이 있죠 이 y축과 만나는 유적 요점에 y 좌표를 y 절편이라고 하고요 우리 y축 위에 있는 점들은 x좌표가 0입니다 그래서 y는 ax+b에다가 x는 0을 대입을 해주면 우리가 y는 b라고 얻어낼 수 있어요 그래서 점좌표가 0 b라고 나오고요 이때 나오는 b값요 B 값이 바로 Y 절편입니다 자 그래서 y절편을 구할 때는 우리가 x에다가 0을 대입을 해서 나오는y 값을 구해주는 거예요 자 다시 한번 정리할게요 y 절편은 y축과 만나는 점이고요 그거를 구하기 위해서 x에다가 0을 대입했을 때 나오는 y 값을 찾아준다 자 우리 x절편과 y 절편 헷갈리지 않도록 잘 기억해 주시고요 학생들이 많이 많이 실수하는 부분이 요런 부분도 하나 있어요 우리가 y는 ax+b라 그러면 y절편을 구할 때는 x에다가 0을 넣기 때문에요 b값 자체가 y절편이 됩니다 우리 ax+b 꼴로 정리했을 때 뒤에 있는 b가 y 절편이 되는데요 x 앞에 있는 a는이 x 앞에 있는 a는 x 절편은 아니에요 요게 지금 X 절편은 x 좌표는 아닙니다 우리가 요거는 잘 구분해 주셔야 돼요 우리 a 값이 뭔지는 조금만 있다가 배울 거고 우리가 이렇게 와 있는 ax+b라고 썼을 때 b는 y 절편이 맞지만 x절편은 y에다 0을 넣어서 따로 구해줘야 된다는 거 그렇게 정리하면 될 것 같습니다

자 그래서 우리가 이렇게 절편이 먼저 배웠는데 이 x절편과 y 절편을 이용하여 1차 함수의 그래프 그리는 방법을 배워 볼 거예요 자 우리가 어떤 직선을 그리기 위해서는요 점 두 개를 알고 있으면 직선을 그릴 수가 있어요 두 점을 지나는 직선은 요거 딱 하나죠 그래서 직선을 그릴려면 이렇게 점 두 개를 알고 있어야 되는데 우리가 점을 아무거나 찾아주면 됩니다 아무거나 찾아주면 되는데 우리가 가장 계산하기 편한 계산하기 편한 점이 바로 절편인 거예요 x에다가 0을 넣고 y에다 0을 넣기 때문에 계산이 제일 간편합니다 그래서 우리가 1차 함수 그래프를 그릴 때는 x 절편과 y 절편을 이용하여 그리는 경우가 많구요 우리가 x 좌표 y 절편을 구해서 x축과 y축과 만나는 두 점을 찍고그 두 점을이어서 직선을 그려 볼 거예요 자 여기 써 있는 뭐 그래프 그리는 방법은요 단순합니다 저희 편을 구해서 x축 y축과 만나는 두 점을 좌표 평면 위에 나타내고요 그거를 직선으로 연결하면 되는 거죠 자 예시로 y는 2x - 5라는 그래프가 나와 있는데 자 x절편과 y 절편 2개 다 찾아볼 거예요 자 일단은 y절편 y 절편을 찾으려면 우리가 x에다가 0을 집어넣어주면 되고요 x에다 0을 집어넣으면 우리가 y는 2 곱하기 0-5 그래서 y절편은 이렇게 마이너스 5라고 나오죠 우리 뒤에 있는 -5를 그냥 갖다 써도 됩니다

자 그래서 여기 밑에 있는 두 번째 내용은 우리가 당연한 얘기를 하고 있는 겁니다 1차 함수 y는 2x-5의 그래프는 자 x절편이 2분의 5라는 것은 좌표로는 1/2 0이죠 y절편이 마이너스 5라는 것은 좌표로는 0 - 5예요 자 이렇게 두 점을 지남으로 그래프가 이렇게 그려진다 이렇게 절편이 아니라 좌표로 보일 수도 있는 겁니다 우리가 절편을 결국 좌표를 의미하기 때문에 똑같은 얘기를 하고 있는 거죠 자 넘어갈게 넘어가겠습니다 자 개념이지 한번 볼 건데요 1차 함수 y는 8x-4에서 x절편과 y절편 구하라고 했고요 자 x절편 구하기 위해서는 뭐를 해야 된다 그랬어요 x축과의 교점을 찾는 것이고 요거를 구하기 위해서는 y에다가 0을 집어넣는다 그래서 0은 4x-4고 바렉스는 4라서 x는 뭘 하고 나와요2분의 1이라고 나오죠 따라서 X 절편은 2분의 1입니다 x절편은 2분의 1 자 y절편도 한번 찾아봅시다 와이드표는 뭐 y 교점이죠 y축과의 교점이죠 그러면 x에다가 0을 집어넣으면 되고요 x에다가 0을 집어넣으면 y는 -4라고 나오기 때문에 y 절편은 -4라고 찾아낼 수 있습니다 자 우리 문제에서 구하라고 한 x절편과 y 절편은 모두 찾았구요 우리 앞에서 배운 그래프 그리는 것도 한번 해 봅시다 자 x축 y축이 있을 때 x절편이 1/2이면 x축과의 교점이 2분의 1인 거죠 여기가 2분의 1인 거고요 자 y 절편이 -4면 우리 요렇게 y축과의 교점이 -4인 겁니다 자 이때 우리 이렇게요 점과요 점을 직선으로 쭉이어서그래프 그려주면 되겠죠 바로요 그래프가 y는 4x-4의 그래프입니다 됐죠 넘어가 보겠습니다

자 이번엔 1차 함수 그래프의 기울기구요 자이 기울기가 뭔지 배워 볼 건데 자 기울기가 뭐냐면 바로 기울어진 정도입니다 기울어진 정도를 기울기라고 하는데 제가 직선 두 개를 좀 그려 볼게요 이렇게 생긴 1번 직선하고 이렇게 생긴 2번 직선이 있어요 자 그랬을 때 우리가 기울어진 정도를 기울기라고 하는데 뭐를 기준으로 기울어진 정도냐 바로이 x축을 기준으로 기울어진 정도입니다 x축을 기준으로 일반 직선은 요만큼 같다면 이번 직선은 이만큼 같죠 우리가 많이 기울어져 있는 것은 누구예요 x축을 기준으로 하면 2번 직선이 더 많이 기울어져 있죠 그래서 얘가우리는 2번 직선의 기울기가 더 크다라고 할 수 있어요 자 2번 직선의 기울기가 더 큰데 이거를 정확하게 숫자로 표현하고 싶은 겁니다 자 그러면 일반 직선에서요이 점에서이 점까지 온다고 생각을 하면 가로 방향으로는 이만큼 왔구요 세로 방향으로는 이만큼 왔죠 자 그런데 2번 직선은 가로 방향으로 똑같은만큼 봤다면 가로 방향으로 똑같은만큼 왔다면 세로 방향으로는 이만큼이나 오게 되죠 자 그러면 가로 방향으로 똑같은만큼 갔을 때 제로 방향으로 누가 더 많이 올라가세요 2번 직선이 더 많이 올라갔죠 자 그러면 이 세로 방향으로 많이 가면 갈수록 기울기가 더 큰 겁니다 제로 방향으로 조금 덜 갔으면 요런 직선이 만들어질 수 있겠죠 자 이런 식으로 세로 방향으로 얼마나 갔느냐가 바로이 기울기를 나타낼 수 있고요 우리는 요거를 가로 방향으로 간만큼 분의 세로 방향으로 간 만큼으로이 비율로 표시를 하는 겁니다

자 가로 방향으로 간 거는요 우리가 뭐라고 표현하냐면 이 점에서이 점까지 왔을 때요 길이는 x좌표로만 x축 방향으로 움직인 거니까 x좌표로만 우리가 구할 수 있고요 요점부터요 점까지 우리가 각각 좌표를 X1 콤마 y1 우리가 직선이기 때문에 x값 증가량 분의 y 값 증가량을 여기서 되나 요점부터 요점까지 X 값 증가량 분의 y 값 증가량을 되나 우리 비율은 항상 똑같다는 겁니다 그래서 우리가요 비율을 기울기라고 하고 우리가 그 비율은 바로이 x의 계수인 x의 계수인이 a와 일치하는 겁니다 자 그래서 우리가 이 비율 a를 어떻게 구할 수 있다고요이 a를 우리가 기울기라고 하고 X 값 증가량 분의 y 값 증가량으로 계산을 할 수가 있는 거예요 자 x값 증가량분의 y 값 증가량은 우리 좌표로는 x2 - x1분에 y2 - y1으로 계산을 할 수가 있는 겁니다 자 그래서 우리가 y=ax + b에서요 x의 계수 a의 의미가 뭐라고요 기울기라고요 기울기 자 b는 아까했죠 Y 절편입니다 자 그러면 제가 예시 문제를 좀 하나 풀어 볼게요 자 우리가 좌표 평면 위에요 어떤 직선이 이렇게 있어요 요렇게 있는데 요점 좌표가 1구요 요점 좌표가 2라고 되어 있어요 근데 우리가요 직선의 기울기를 구하래요 기울기는 어떻게 구해주면 되는 거예요 우리가 좌표 두개를 알면 X 증가량분의 Y 증가량으로 계산을 할 수가 있고요 X 증가량분의 Y 증가량은 x값 좌표끼리 빼주고 y 값 좌표끼리 빼서 우리가 기울기를 구할 수가 있는 겁니다 자 요런 식으로 구해줄 수 있겠죠 자 그럼 넘어가 볼게요

자 기울기와 y절편을 이용하여 1차 함수 그래프를 그릴 수가 있는데요 우선 y절편을 이용하여 우리가 y축과 만나는 한 점을 표시를 합니다 그다음에 기울기를 이용하여 다른 한 점을 또 찾는 거예요 그래서 그 점을 직선으로 연결을 하는 건데 자 1차 함수 i는 4분의 5x-1이라고 하면요 자 일단은 y 절편을 구하면 x에다가 0을 집어넣어서 나오는 y 값이니까 우리가 -1이라고 찾을 수 있겠죠 우리 뒤에 달려있는 숫자 그대로 아이돌 편으로 가져오면 되는 겁니다 자 그러면 y 절편이 -1이니까 요렇게 점을 찍고요 자 기울기가 4분의 옵니다 기울기가 4분의 5라는 것은 x값이 4 증가할 때 y 값이 5만큼 증가한다는 얘기고 x값이 4만큼 증가할 때 y 값이 5만큼 증가하면 우리가이 y절편 0 -1을 가지고 또 다른 점을 하나 찾아 줄 수가 있어요 x절편 4만큼 증가하니까 0에다 4를 더해서4가 되고요 y좌표는 -1에서 5만큼 증가해서 4가 되겠죠 4도 지나면 점이 되는 겁니다 자 그래서 4 5도 점을 4도 점을 찍고요 우리가요 점과요 점을이어서 이렇게 된 직선을 구해줄 수가 있는 겁니다 자 그러면 우리가요 아이 절편 찍고 기울기 4분의 5라는 걸 이용해서 또 다른 점을 하나 찾아서 직선 그래프를 우리가 그릴 수 있겠죠 자 그래서 우리 처음에 배웠던 절편 가지고 그래프 그리는 방법 그리고 기울기 가지고 그래프 그리는 방법 두 가지 방법 모두 알고 계시기 바랍니다 자 개념미즈 한번 해 볼 건데요 자 2 콤마 0과 0 -10을 지나는 그래프의 기울기를 구하라고 했어요 자 기울기는요 x값 증가량분의 y 값 증가량이고 x 좌표에서 x 좌표 빼주고y 좌표에서 y 좌표 빼서 기울기 구해주면 됩니다 2분의 10이기 때문에 기울기는 5라고 나오네요 자 쉽죠 자 그러면 필수 예제의 풀어보도록 할 거고요 첫 번째 1차 함수 y는 -3x+b의 그래프의 x절편이 4래요 y절편을 구하라고 했는데 우리가 x절편이 4라는 건요 좌표로 봐야 됩니다 몇 콤마 몇을 지나는 거예요 4 0을 지나는 거죠 우리가 y에다 0을 넣어서 x 절편 4를 구한 거니까 4 콤마 0을 지나는 거예요 그래서이 4 0을 4 콤마 0을 1차 함수 그래프의 테이블 해주면 0은 - 12 + b구요 b는 10이라고 나오죠 자 y절편 구하라고 했는데 바로이 y 절편은 b 값과 같기 때문에 y 절편 10이라고 구해줄 수 있습니다자 두 번째 필수 예제 볼 거고요 자 y는 -2x+5의 그래프에서 x값이 -1에서 2까지 증가한데요 자 -1에서 2까지 증가한다는 말은 뭘 준 거냐면 x 증가량을 준 겁니다 x 증가량을 몇이라고 준 거예요 2에서 -1을 빼서 3이에요 3 우리가 x 증가량을 이렇게 -1에서 2까지 증가했다 그러면 우리가 거꾸로 빼서 2에서 -1을 빼서 3이라고 구할 수가 있는 겁니다 자 y 값 증가량 k만큼 증가한다고 했는데 x값 증가량 분의 y 값 증가량이 뭐랑 같아요 기울기 x의 계수인 기울기와 같기 때문에 우리가 요거랑 -2랑 같은 겁니다 그래서 K 값을 우리가 -6이라고 구할 수 있겠죠

자 여기까지 해서 우리가 x절편 y 절편 기울기고도 학습을 마쳤는데 우리가 1차 함수에서 제일 중요한 건이 절편과 기울기에요 요거를 정확하게 알고 문제 적용시킬 수 있어야 되기 때문에 오늘 배운 내용은 정말 정말 다른 때보다 꼼꼼하게 복습을 하고 다음 강의를 들으셨으면 좋겠습니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다