[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 일차함수와 그래프 - 일차함수와 일차방정식의 관계

자 이번 시간 배울 단어는요 1차 함수와 1차 방정식의 관계입니다 자 1차 함수와 1차 방정식의 관계는요 정말 중요합니다 우리가 어떤 앞으로 수학을 배우는데 있어서 정말 중요한 개념을 가지고 있어요

자 미지수가 두 개인 1차 방정식 ax+by + c는 연골에서 자 x랑 y의 계수가 0이 아니라고 생각을 하겠습니다 요거의 핵 x 콤마 y를요 좌표평면 위에 나타낸 것을이 1차 방정식의 그래프라 한대요 자 ax+by + c는 0골이면요이 1차 방정식 하나에서는 이거를 만족하는 해가 여러 개 있죠 엄청 많습니다 무수히 많아요 여러개 있는데 이것들을 좌표평면 위에 나타낸 것을이 1차방정식의 그래프라고 한대요 자 예시 하나 들어보겠습니다 x-y + 1 = 0이라는 1차 방정식이 있는데 얘는요 x에다가 0을 집어넣으면 y가 1이 나오고요 x에다가 1을 집어넣으면 y가 2 나와요 자 이런 식으로 해를 엄청 많이 찾을 수 있겠죠 제가 지금 정수들만 놓고 있지만 사실은 정수 사이에 있는 유리수들도 모두 존재합니다 자 일단 제가 찾은 점들만 점을 찍어주면요 0 1 2 콤마 3입니다 자 우리 요런 모양이 보이면 우리가 점과 점 사이를 모두 채웠을 때 이렇게 직선으로 이렇게 생긴 직선으로 찾을 수가 있겠죠 자 그래서 요거의 그래프를 이렇게 표현을 할 수가 있어요 자 그러면 우리가 이렇게 1차 방정식의 그래프도 직선 형태로 그려지는구나라는 걸 볼 수가 있어요

자 일단 밑에 개념예제 한번 볼게요 자X Y 값의 범위가 모든 수일 때 3x-y + 4는 0이 그래프를 좌표평면 위에 나타내라고 했고요 제가 점을 몇 개 찍어보도록 하겠습니다 x에다가 0을 넣으면 y가 4가 나오고 2를 넣으면 7이 나오네요 한 마이너스 1도 넣어 볼게요 -1을 넣으면 1이 나옵니다 자 0 콤마 4는 여기고 1 콤마 7은 여기쯤이고 -1은 여기쯤이겠네요 그래서이 점들을 쭉 이어주면 이렇게 생긴 요렇게 생긴 직선 형태로 그려지겠네요 그래서이 3x-y + 4는 형이 그래프가 이렇게 그려지는 겁니다

자 두 번째인데요 1차 함수와 1차 방정식의 관계에요 자 우리가 앞에서 봤듯이이 ax+by + c는 0 꼴은요 직선으로 그려져요 1차 방정식이 직선의 형태로 그려집니다그런데 우리가 배웠던 1차 함수도 직선의 형태로 그려지죠 사실은이 두 개가 다른 것이 아닙니다이 ax+by + c는 0 꼴이라고 써있는이 1차 방정식을요 제가 y에 관해서 정리를 해주면 by는 - ax - c고 y에 관해 정리를 해주면 -b분의 ax - b분의 c라고 정리가 되죠 자 요렇게 1차 함수의 형태로 정리가 돼요 그래서 1차 방정식의 해가 x y로 나타내지는 해가 사실은 요렇게 생긴 1차 함수 위에 점이 되는 겁니다 자 방정식과 함수는 완전히 다른 것이 아니에요 우리가요 두 개는 같은 겁니다요 1차 방정식의 해는요 1차 함수의 점이 되는 거예요 자이 내용 정말 중요해요 우리가 방정식과 해가 완전히 다른게 아니라요 우리가방정식의 해는이 함수 위에 좌표 함수 위에 점과 같다 이렇게 이해하시면 됩니다 자 그러면 우리가 이렇게 정리를 했을 때이 마이너스 a분의 b가 기울기겠죠 뒤에 있는 마이너스 b분의 c가 뭐겠어요 y 절편이겠네요 우리가 요런 것까지 확인을 할 수가 있습니다 자 우리가 1차 방정식 2x-4y + 1은 0에 그래프를 그리고 싶으면요이 그래프를 그대로 그리는 것이 아니라 얘를 y에 관한 식으로 바꿔서 이렇게 된 거를 y에 관한 식으로 바꿔서 우리가 y절편과 y 절편과 뭐 x절편 또는 기울기를 이용하여 그래프를 그릴 수가 있는 겁니다 물론 처음에 주어져 있던 ex-4y + 1은 0에서 x절편과 y 절편을 구할 수는 있어요 x에다 0 대입하고 y에다 0대입해서 절편들을 찾을 수 있겠죠 자 그런 식으로 그래프를 그릴 수도 있지만 만약에 기울기가 궁금하다면 기울기가 궁금하다면 요런 형태로 바꿔주면 되는 겁니다

자 그래서 얘는 x절편하고 y 절편을 찾아볼게요 자 x절편은 y에다가 0을 대입하면 되고요 3분의 2x + 3분의 1은 0이니까 x는 - 2분의 1이라고 나오고요 x에다가 0을 대입해주면 y는 3분의 1이니까 우리 y 절편은 3분의 1이라고 나옵니다 자 각각 점을 요렇게 요렇게 찍어서 우리가 직선을 그릴 수가 있겠네요 여기까지 됐을까요 자 그러면 우리 여기 있는 개념 예제 한번 볼게요 다음 중 1차방정식 x-2y +2=0의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르라고 했는데 제가 첫 번째 y절편 찾으라고 했네요 자 y절편은요 우리가x에다가 0을 넣어서 찾을 수가 있고요 0을 집어넣으면 - 2y + 2는 0이니까 y는 1이라고 나와요 그래서 y 절편은 -2가 아니라 1이고요 자 x절편은 y에다가 0을 집어넣어서 찾을 수가 있죠 x+2는 0이니까 x는 -2라고 구할 수가 있습니다 자 요거는 맞네요 자 그러면 우리가 x절편하고 y 절편을 찾았으니까 그래프를 그릴 수 있겠죠 x절편이 -2니까 여기고요 y 절편이 1이니까 6입니다 그래서 두 점을 이렇게이어서 그래프를 그릴 수 있겠죠 자 그럼 3번 4사분면을 지나지 않는다고 했는데 자 지금 4사분면을 지나고 있나요 안 지나고 있죠 그래서 3번도 우리 답으로 골라주면 되겠네요 자 4번 1차 함수 y는 2x의 그래프와 평행하냐고 물어봤는데 정행인지 아닌지를 조사하기 위해서는기울기를 알아야 되고요 기울기를 구하기 위해서 y에 관해서 정리를 해야 됩니다 그래서 -2y는 -x - 2라고 정리한 다음에 y는 1/2x+1이라고 구할 수 있죠 자 기울기 몇이에요 2분의 1이죠 평행한가요 기울기가 다르기 때문에 병행하지 않습니다 자 마지막 5번 -1을 지나냐고 물어봤는데이 마이너스 1을 지나는지 안 지나는지는 대입을 해보면 됩니다 자 x에다가 -1을 대입을 하면요 우리 여기다가 대입을 할게요 y는 - 2분의 1 + 1이니까 2분의 1이라고 나와요 자 그러면 -1이 아니라 -1/2을 지나겠네요 자 따라서 답은 2번 3번입니다

자 우리 필수 예제도 한번 쭉쭉 풀어보겠습니다 자 다음 1차 함수의 그래프 중 1차 방정식 3x+2y-4는 0의그래프와 일치하는 것을 고르라고 했고요 우리가 이거를 변형해서 일치하는지 안 하는지 보면 되겠죠 자 y에 관해 정리를 해 줄 거고요 2y는 -3x+4니까 y는 -2분의 3x + 2라고 나옵니다 자 답은 몇 번이에요 3번이 딱 똑같이 나오죠 그래서 답은 3번입니다

자 두 번째 필수 예제고요요 1차 방정식 ux+4y-9는 0의 그래프와 그래프에 대한 설명으로 옳지 않은 것을 고르라고 했고요 x절편을 먼저 물어봤네요 x절 평 구하기 위해서는 y에다가 0 대입하면 되고요 0을 대입하면 6x-9는 0이니까 6x는 9고 x는 2분의 3이라고 나옵니다 자 요거는 맞네요 자 두 번째 y절편은 3이라고 했으니까 x에다가 0을 넣어서 확인을 한번 해줄 거고요 3y - 9는 0이니까 우리가 y는 3이라고 나오죠 자 요것도 맞네요 자 그러면 절편 다 구했으니까 우리가 그래프를 좀 그려 볼게요 x절편 2분의 3이니까 요점 지나고요 y 절편 3이니까요 점 지납니다 그러면 그래프가 이렇게 생겼겠네요 자 얘는 몇사분면을 안지나요 3사분면을 안 지나고 나머지 4분면은 지나고 있죠 자 근데 4사분면은 지나지 않는다라고 했으니까 3번이 틀렸네요 자 4사분면 지금 지나고 있습니다 자 4번 1차 방정식 -8x-4y-6은 0의 그래프와 평행하다 그랬는데 그러면 우리가 기울기를 비교를 해줘야 되고요 우리가 여기 써 있는요 1차 방정식 먼저 변형을 좀 해 줄게요 자 3i는 -6x+9니까 y는-2x+3이라고 나오죠 기울기는 -2입니다 자 4번도 변형을 해 줄게요 -4y는 4x + 6이고 양변을 우리가 -4로 나눠주면 -2x - 2분의 3입니다 그러면 기울기가 -2니까 우리가 기울기가 지금 똑같네요 그러면서 y 절편은 또 다르죠 자 이런 경우에 우리는 그래프가 평행하다고 하니까 우리가 병행한 거는 맞네요 자 3 - 3 지나는지 확인하기 위해서 여기에다가 여기가 아니죠 여기는 지금 4번 보기에 나온 거니까 자 여기에다가 x는 플러스 3을 한번 대입해 보겠습니다 플러스 3을 대입하면 y는 -2 곱하기 3+3이니까 -6+3이라 -3이라고 나오죠 따라서 3- 3을 지나는 그래프가 맞네요 답은 요거 3번 3번입니다

자 여기까지 해서 1차 함수와 1차 방정식의 관계에 대해 배웠고요 우리가이 방정식과 함수가 다르지 않다는 것을 알아야 됩니다 우리 방정식의 해는 함수의 점이에요 함수의 좌표입니다 그렇게까지만 우리 잘 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다