[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 일차함수와 그래프 - 직선의 방정식

자 이번 시간은 직선의 방정식입니다 자 우리가 오늘 배울 내용은이 직선의 방정식이라는 것인데 뭐 완전히 새로운 내용은 아니에요 자 예를 들어서 뭘 배우고 싶은 거냐면 우리는 좌표 평면 위에 좌표 평면 위에 어떤 직선을 나타내는 직선을 나타내는 식을 알고 싶어요 그런데 예를 들어서 요렇게 좌표평면이 있을 때 이런 직선을 나타내는 건 우리가 방정식이 어떻게 생겼어요 우리가 문자가 두 개 들어가 있는 1차 방정식의 형태로 써 있죠 ax+by + c는 연골이라 그러고 a와 b가 0이 아니다 우리가 이렇게 배웠었죠 우리가 이미 배운 1차 함수 또는 1차 방정식이 나타내는 그래프가 좌표 평면 위에서 이렇게 직선의 형태로 그려지고 우리는 이거를 이제 뭐라고 할 거냐면 직선의 방정식이라고도 할 겁니다 좌표 평면에서 직선을 나타내는 방정식은 직선의 방정식이고요 우리가 조금 다른게 하나 있어요 자식이 구조가 똑같은데 뭐가 다르냐면 a와 B 중에 하나는 0이 될 수가 있습니다 자 둘 다 0이 아닐 수도 있고요 하나가 0이 될 수도 있어요 우리가 0이 되는 경우는 어떤 방정식이나 함수라고 할 수가 없었어요 그런데 우리가 둘 중 하나가 0이 되는 건 어찌됐든 직선을 나타내서 둘 중 하나는 0이 된다라고 써 있습니다 자 그렇다면 둘 중 하나가 0이 되면 어떻게 되는지를 밑에서 한번 보도록 할게요

자 만약에 만약에 b가 0이라면 만약에 b가 0이라면 ax + c는 0이라고이 직선의 방정식이 정리가 되고요x에 관해 정리하면 - a분의 c라고 정리가 되죠 자 이런 경우엔 우리가이 마이너스 a분의 c가 상수기 때문에 x는 x는 피꼴로 우리가 정리를 할 수가 있습니다 자 그러면이 x는 p 꼴은 그래프가 어떻게 생기냐 자 x는 픽홀은요 p 콤마 0을 지나고 y축의 평행한 직선이래요 자 이렇게 표현이 되어 있지만 저는 이거를 이렇게 생각을 해 볼게요 x좌표가 p인 점들을 모두 찍을 겁니다 자 x좌표가 p인 점들을 모두 찍으면 여기 p 콤마 형도 있고요 B 콤마 1도 있고 p 콤마 1도 있고 자 이렇게 여기 위에 있는 점들은 모두 x좌표가 p인 점들이죠 그래서 x는 p를 나타내는 직선은 요렇게 생긴 겁니다 자 b 콤마 0을 지나면서 비콤마 0을 지나면서 x축과 수직이죠 자 그리고 y축과 평행하기도 합니다 표현하는 방법이 다양해요 자 x는 피꼴의 그래프는 우리가 뭐라고 표현한다고요 y축의 평행하다 또는 x축이 수직이다 그러면서이 p 콤마 0을 지나는 직선을 찾아주면 됩니다 자 우리가 x는 0이 그래프는요 x좌표가 0인 것을 모아 놓은 거기 때문에요 x는 0의 그래프는 우리가 y축이라고 확인을 할 수 있겠죠 우리 0을 지나면서이 y축과 일치하죠 일치하고 x축과는 수직인 요런 직선을 x는 0의 그래프라고 합니다

자 그러면 이번에는이 직선의 방정식에서 a에다가 0을 집어넣을 건데 a의 0을 집어넣으면 by + c는 0골이고요 y는 - b분의 10골이니까 우리가 이거를 정리해서 y는 어떤 상수 어떤 상수니까 축골의 그래프로 많이 씁니다 자 이렇게 y는 q꼴의 그래프에서요 추가 0이 아닌 경우에는 우리 x는 p의 그래프를 그렸던 것처럼 y 좌표가 추인 점들을 모두 모을 겁니다 자 여기도 있죠 자 이런 점들이 모두 y 좌표가 q인 애들이에요 그래서 요렇게 생긴 직선이 바로 y는 q라는 직선이에요 자 그러면 얘는 어떤 특징이 있어요 y축과는 수직이고 x축과는 평행한 걸 우리가 확인을 할 수가 있죠 자 그래서 y는 0 콤마 q를 지나고 x축의 평행하면서 y축의 수직인 직선입니다 자 y는 0골의 그래프는 어떻게 되겠어요 우리 y 좌표가 0인 것들을 모두 모았으니까 바로 x축이 되는 겁니다 x축이 되고요 마찬가지로 y축과 수직이죠 자 이런 거까지 확인할 수 있습니다 자 우리가 나중에 뭐가 헷갈리냐면 x는 p의 그래프가 x축하고 수직인지y축하고 수직인지에 깔려요 자 우리가 헷갈리지 않도록 복습을 하는게 중요하고요 만약에 깜빡했다면 우리가 x좌표가 p인 점들을 모두 찍는다고 생각을 하면 됩니다 x좌표가 p인 점들을 모두 찍는다 이렇게 해서 확인해 주면 되겠죠

자 그러면 우리 개념 예제 한번 보도록 할게요 자 1번 보면 3 4를 지나면서 x축의 수직인 직선이래요 자 그러면 3 4를 지나니까 요렇게 3을 이렇게 찍을 수 있고요 x축의 수직이라 그랬네요 자 x축의 수직이니까 그래프가 이렇게 그려져야겠죠 자 얘는 뭐라고 쓸 거예요 우리 x 척하고 수직이니까 x는 3이라고 쓸 겁니다 자 실제로요 직선 위에 점들은 우리 모두 x좌표가 3이죠 자 두 번째 볼게요 -1 -7을 지나면서 -1- 7을 지나면서 x축의 평행하되어 이번엔 그러면 이렇게 생겼죠 x축의 평행하면 우리가 y는 꼴로 쓰고요 여기는 지금 -7을 지나기 때문에 y는 -7이라고 구해줄 수가 있습니다 자 여기까지 됐을까요 자 그러면 넘어가 보겠습니다 자 그래서 우리가이 직선의 방정식을 구하는 걸 배울 건데 사실은 앞에서 우리가 1차 함수식을 구하는 방법과 똑같습니다 그렇기 때문에 우리가요 내용만 읽으면서 개념 예제 한번 바로 풀어볼게요 자 우리 기울기가 a고 점 X1 콤마 y1을 지나는 직선의 방정식은 어떻게 구했어요 직선 y는 ax+b라고 놓고 우리 지나는 점 하나를 대입을 해서 나머지 b값을 구해줬죠 자 우리 좌표 점 두 개가 주어진 경우에는 우리가 두 점을 지나는 직선의 기울기를 직접 구해서 기울기를 직접 구해서 이렇게 다시 와있는 ax+b라고 놓고 한 점의 좌표를 대입하여 나머지 b값까지 우리가 구해서 직선의 방정식을 구할 수가 있겠습니다

자 밑에 개념예제 한번 바로 보도록 할 거고요 자 기울기가 3이래요 그러면 우리는 y는 3x+b라고 이렇게 직선의 방정식을 놓습니다 자 여기에 뭐를 대입해요 마이너스 1 콤마 4를 대입을 하죠 -1 콤마 4를 대입을 하면 4는 - 3 + b구요 b는 7이니까 y는 3x + 7이라고 정리할 수 있습니다 자 우리가 요렇게 썼다고 직선의 방정식이 아닌게 아닙니다 우리가 3x-y + 7은 0이라고 써도 되고요 그냥 이렇게 1차 함수의 형태로 써도 직선의 방정식이 되는 겁니다 우리가 굳이요 두 개를 엄격하게 구분 짓지 않아요 자 2번 풀어보면요 1 0과 3 8을 지나는 직선의방정식인데 제가 기울기 a를 먼저 구할게요 자 X 값 증가량 분의 y 값 증가량 계산하면 4가 나오죠 따라서 y는 4x + b라고 놓고요 제가 1 0을 대입해서 b값을 구해주면 0을 4 + b니까 b는 -4라고 구할 수가 있습니다 따라서 y는 4x-4라고이 직선의 방정식을 구할 수 있고요 당연히 4x-y-4는 0 꼴로 변형해서 답을 써줘도 상관없습니다 자 어쨌든 둘 다 답으로 써도 상관없어요 자 넘어가 볼게요 자 우리 필수 이제 볼 건데 1차 방정식 ax+by는 1꼴의 그래프가 다음과 같이 생겼대요 자 지금 그래프가 뭐냐면 x축하고 평행한 y축의 수직인직선입니다 자 그럼 우리가 이거를 어떤 식으로 표현을 하죠 여기가 지금 -4니까y는 - 4라고 표현을 하겠죠 자 그런데 여기 우변을 보면 지금 -4가도 있는데 여기 문제에서 문제에서 준 ax+by는 1에서 우변이 1로 되어 있어요 우리가 a값 B 값을 비교하기 위해선이 상수항이 똑같이 맞춰진 상태에서 비교를 해야 되기 때문에 저는 여기다가 마이너스 4를 곱해 줄게요 자 -4ax - 4by가 -4구요 그러면 이제 비교를 할 수가 있는 겁니다 자 여기는 x가 있지만 여기에는 x가 없기 때문에 a는 0이라고 구할 수 있고요 자 y의 계수는 1이죠 그래서 여기 써 있는 -4b가 1입니다 결론적으로 우리가 a 값 B 값을 a는 0 b는 - 4분의 1로 구할 수 있고요 a - b는 4분의 1이라고구할 수 있겠죠

자 그러면 넘어가서 우리 필수 예제 하나 더 풀어볼게요 x의 값이 4만큼 증가할 때 y의 값은 3만큼 감소한다 그랬네요 자 이거는 우리한테 뭐를 주고 있는 거예요 기울기를 주고 있는 겁니다 자 기울기는 몇이에요 x값 증가량 4 Y 값 3만큼 감소 자 기울기를 -4분의 3이라고 적습니다 자 그러면 y는 - 4분의 3x + b구요 문제에서 y 절편이 5라고 했으니까 우리 여기 써 있는이 b가 5가 되겠죠 따라서 우리가 구하는 직선의 방정식을 y = - 4분의 3x + 5구역 우리가 양변에 4를 곱해서 4y는 -3x + 20 3x+4y -20은 0이라고 우리 직선의 방정식을 구할 수가 있습니다 자 얘도 되고얘도 돼요 둘 다 상관없습니다

자 여기까지 해서 오늘 직선의 방정식 배워 봤구요 우리가 직선의 방정식이라는 거 자체가 완전히 새롭지는 않을 것 같아요 하지만 우리가 x축하고 수직인 직선 y축하고 수직인 직선 두 개 명확하게 헷갈리지 않도록 알고 있어야 합니다 자이 내용까지 복습 꼼꼼하게 해주시고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다