[수학대왕] 중학수학2-1 개념강의 : 일차함수와 그래프 - 연립방정식의 해와 그래프

자 이번 시간 배울 단어는 연립방정식의 회화 그래프입니다 자 우리가 연립방정식의 회화 그 그래프 사이에 어떤 관계가 있는지를 볼 건데요 자 우리 연립 1차 방정식이 이렇게 주어져 있다고 합시다 우리가 연립방정식에서 해는 의미가 뭐냐면 우리가이 첫 번째 1차 방정식을 만족하는 순서쌍이 있을 거고요 두 번째 방정식을 만족하는 순서쌍도 있을 겁니다 요렇게 있을 때 해라는 것은 두 개를 동시에 만족하는 순서쌍을 말하는 거고요 우리가 요거에도 해고이 두 번째 방정식에도 내가 되는 그 공통의 순서쌍이 바로이 연립일차 방정식의 해가 된다 그랬어요 자 그런데 우리가 이 연립 1차 방정식은 1차 방정식 2개로 이루어져 있는데 제가이 첫 번째 1차 방정식을 만족하는 해를 해를 좌표 평면 위에 표시를 할 수가 있다 그랬어요 요렇게 이 위에 있는 점들은이 방정식을 만족하는 회의 순서쌍이죠 자 그리고 이 두 번째 방정식도 마찬가지로 두 번째 방정식을 만족시키는 해를 이렇게 좌표 평면 위에 표시를 할 수가 있다 그랬습니다 요런 식으로요 자 그럼 이때 이 연립 1차 방정식의 해는요 연립일차 방정식의 해는 우리가 좌표평면상에서 어디에 그려지냐 연립방정식에는 두 방정식을 동시에 만족하는 동시에 만족하는 행위가 첫 번째 방정식이 나타내는 그래프 위에도 있으면서 두 번째 방정식이 나타내는 그래프 위에 있는겁니다 그래서 두 그래프 위에 있어야 되니까 두 그래프 동시에 위에 있는이 점 바로 우리가 교점이라고 하는 곳에 두 그래프의 교점이라고 하는 곳에 바로이 연립 1차 방정식의 해가 나타나는 겁니다 자이 내용 정말 중요하고요 우리가 연립 1차 방정식에는 두 1차 함수 그래프의 교점 좌표와 같다는 거 자 이거 정말 중요합니다 우리가이 중학교 과정에서도 배우지만 고등학교 과정에서도 많이 나오는 개념이니까 정말 꼼꼼하게이 부분 이해하고 넘어가야 돼요

자 연립일차 방정식의 해는 1차 함수 두 1차 함수 그래프의 교점 좌표다 이거 정말 중요합니다 자 그럼 밑에 있는 개념 예제 보면요 x y에 대한 두 1차 방정식 ax+by + c는 0과 a 프라임 x+b 프라임 y + c 프라임은 0의 그래프가 다음 그림과 같을 때 자 연립방정식의 해를 구하라고 했죠 연립방정식의 해를 구하라고 했는데 자 이 첫 번째 1차 방정식의 그래프가 이렇게 나와 있고요 두 번째 1차 방정식의 그래프가 요렇게 나와 있습니다 이렇게 자 그러면 연립방정식이라는 거는 이거에 하면서 요거에 하면서 요거의 해를 말하는 거고이 그래프 위에도 있으면서이 그래프 위에도 있는 점을 찾는 겁니다 그러면 그거를 그림상에서 어디라구요 바로 이 점 교점인 겁니다 우리가 연립방정식에는 그래프의 교점이에요 자 교점 좌표 몇 콤마 몇이죠 -2 -5입니다 자 따라서요 연립방정식에는 x는 -2 y는 -5라고 찾을 수 있는 거죠 다 됐을까요 넘어가 볼게요 자 연립 1차 방정식에서요 우리가 해가 꼭 한 개만 나오는 건 아니죠 우리가 연립 1차 방정식의 해는요 한 쌍의 해를 가질 수도 있고요 제가 없을 수도 있고 배가 무수히 많을 수도 있다고 배웠습니다 그래서 한 쌍의 해를 갖는 경우에는 한쌍 해를 갖는 경우에는 우리가 A 프라임 분의 a가 b프라임 분의 b와 다르다고 했구요 해가 없는 경우는 우리가 A 프라임 분의 a는 b프라임 분의 b는 C 프라임 분의 c에서 요거는 다르죠 해가 무수히 많은 거는 아예 다 같은 경우입니다 자 요거는 C 프라임 분의 c 자 이런 식으로 연립방정식의 해가 나뉜다고 했는데 자 제가 이 연립방정식의 해는요 그래프의 교점과 같다 그랬어요 그러면 한 쌍의 해를 갖는 건 교점이 몇 개예요 교점이 한 개죠 교점이 한계입니다 자 그럼 해가 없으면요 해가 없으면 교점이 없겠죠 해가 없다는 건 교점이 없는 겁니다 자기가 무수히 많다는 건 교점이 무수히 많은 거예요 자 그러면 우리가 교점이 하나라 그러면 우리가 그래프가 한 점에서 만나는 거기 때문에 그림상으로 이렇게 직선과 직선이 한 점에서 만나는 그림이 되겠죠 자 그런데 교점이 만약에 없으면요 그래프가 어떻게 그려져야 교점이 없냐 바로 평행한 겁니다 요렇게 그래프가 평행할 때 교점이 안 생겨요 자 해가 무수히 많은건요 교점이 무수히 많은 거고 두 1차 함수 그래프가 교점이 무수히 많으려면 요렇게 일치해야 되는 겁니다 일치 자 그래서 우리가 이거를이 조건을 통해서 찾아낼 수 있는데 자 어떤 연관성이 있냐 자 제가요 1차 방정식을요 1차 함수의 꼴로 바꿔주면 y는 -b분의 a의 x -b분의 c로 정리가 되고요 밑에 있는 방정식은 y는 -b프라임 분의 a 프라임 x -b 프라임의 C 프라임이라고 정리가 됩니다

자 그러면 우리가 만약에 부 1차 함수가 병행하다 그랬어요 평행하다 그러면 뭐라 그래요 기울기가 같고요 y절편은 다르다고 표현을 하죠 그럼 요거를 정리하면 양변을 a 프라임으로 나누고 양변의 b를 곱해주면 a 프라임 분의 a는 b프라인 분의 b라고 정리가 되고요 여기서 양변에 C 프라임으로 나눠주고 양변을 b를 곱해주면 C 프라임 분의 c는 b프라임 분의 b가 아니다라고 나와요 그러면 두 조건을 합쳐주면 a 프라임 분의 a는 b프라임의 b는C 프라인분의 c와 같지 않다 자 요런 식으로 조건이 나오게 됐어요 자 지금 뭘 한 거예요 우리가이 연립 1차 방정식에서 요거를 1차 함수로 바꿔서 1차 함수가 부일차 함수가 평행할 조건을 썼더니 평행할 조건을 썼더니 뭐로 정리가 됐어요 결국 연립방정식의 해가 없을 조건이라고 나왔죠 자 연립방정식의 해가 없을 조건은 그래프의 교점이 없는 거고요 우리가 그때는 평행한 거고 평행하다는 조건을 정리했더니 연립방정식의 해가 없을 조건이 나왔어요 자 우리가 배운 내용에서 모두 앞뒤가 딱딱 들어맞죠 자 그래서이 방정식과 함수는 완전히 다른 것이 아닙니다 그리고 정말 중요한 건 우리이 연립방정식의 해는 그래프의 교점과 같다이 내용입니다 자 우리요 경우도요 우리가 여기 있는 지금 해가 무수히 많은 경우에는요 애가 무수히 많은 경우에는 우리가 그래프가 일치한다고 여기에 등호가같지 않다가 아니라 같다로 들어가고 같다로 들어가서 여기에 갔다가 되겠죠 그래서 이렇게 조건까지 정리되는 거 우리가 확인할 수 있습니다 자 이내용 우리가 잘 숙지하기 바랍니다 자 d는 개념 예제 한번 볼 건데 자 교점이 무수히 많대요 그래프의 교점이 무수히 많다는 것은 연립방정식의 해가 뭐라는 거예요 연립방정식의 해가 무수히 많다와 같은 얘기에요 무수히 많다 자 그러면 ax+4y -2는 0과 x+2y + b는 0에 제가 무수히 많으면요 우리가 뭐라고 할 수 있어요 1분의 a는 2분의 4는 1/b라고 쓸 수 있겠죠 자 따라서 a는 2는 -b분의 2구요 우리 여기에서 a가 2라는 결론 나오고요 그리고여기에서 양변의 b를 곱해주면 2b는 -2니까 b는 -1이라고까지 구할 수 있겠죠 자 따라서 a+b의 값을 1이라고 구할 수 있겠네요 자 나왔죠

자 우리 필수 예제 한번 풀어보겠습니다 자 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 갔는데요 자 그러면 한 쌍의 해를 갖는다는 것은 우리가 A 프라임 분의 a와 b프라이분의 b가 같지 않다죠 자 요겁니다 요거를 가지고 우리가 조건을 찾아주면 되고요 k/2은 -2분의 2와 같지 않다 자 이게 -1이니까 양변의 k를 곱하면 -k가 1이 아니다고 결론적으로 k가 -1이 아니다라고 답을 구할 수가 있겠네요 자 넘어가서 마지막 필수 예제고요 두 직선이 만나지 않는데요자 만나지 않는 건 교점이 교점이 없는 거구요 교점이 없으니까 우리가 해가 어떻게 되는 거예요 걔가 없는 거죠 연립방정식의 해가 없습니다 그래서 x-y는 m과 nx+4y는 8에서 자 여기서는 양변에 8을 곱하면 -2가 아니다라고 나오죠 따라서 m은 -2가 아니다라고 나옵니다 따라서이 문제의 답은 m은 마이너스 2가 아니고 n은 -4다라고 나오는 거예요

자 여기까지 해서 우리가 오늘 배울내용 모두 맞췄고요이 그래프의 교점과 연립방정식의 해가 같다는 내용 우리가 정말 중요하니까요 제가 맨 처음 내용을 설명하면서 했던 그 과정들 한번 천천히 다시 들어보면서 곱씹으면서 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다