[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 삼각형과 사각형의 성질 - 삼각형의 외심

자 오늘 배울 단어는 삼각형의 외심입니다 자 우리가 오늘 외신 배우고 다음 강의에서 내신 배우게 되는데이 외심과 내심을 상당히 헷갈려요 우리가 성질들이 되게 비슷하기 때문에 우리가이 외심 강의를 듣고 내심 강의를 듣기 전에 복습을 정말 꼼꼼하게 하고 내심을 들어야 돼요 알겠죠

자 일단은 우리가 이 외에 심에 관해서 배워보도록 할 건데이 외심이 뭐냐 외심은요 우리가 어떤 삼각형에서 외접원의 중심을 외심이라고 합니다 자 외접원의 중심을 외심이라고 하는데이 외접어는 뭐냐면 우리가 왜 자가 이제 바깥쪽이라는 의미가 있어요 그래서이 삼각형 바깥쪽에서 접하는 삼각형의 바깥쪽에서 접하는원을 말합니다 자 그래서 어떤 원이 있냐면이 오른쪽에 삼각형 abc가 그려 봤을 때 외접원이라는 거는요 삼각형의 꼭짓점 a와 b와 c를 지나는 요원을 얘기합니다 자 이 원을 우리가 이 삼각형 abc의 외접원이라고 해요 자 그러면이 외접원의 중심이 있겠죠 원의 중심이 있을 겁니다 그래서이 외접원의 중심을 우리가 삼각형 abc의 외심이라고 하는 거예요 삼각형 abc의 외심 자 그러면이 외심에는 어떤 성질이 있냐 자 첫 번째는요 저는 여기에 가장 중요한 것 같아요 자이 외심에서이 꼭짓점 a까지 거리와 b까지 거리와 c까지 거리가 모두 똑같습니다 자 왜 똑같겠어요 자 원에서 보세요 원을 기준으로이oa와 ob와 oc는 모두 원의 반지름입니다 원의 반지름이기 때문에이 길이가 모두 똑같은 거예요 그래서 외심에서 각 꼭짓점까지 그은이 선분의 길이가 모두 동일하다 자 그게이 외심의 성질 교재는 두 번째로 나와 있죠 외심에서 새 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같다 그래서 oa는 ob는 5시고요 이게 왜 저번 5의 반지름과 같습니다

자 두 번째는요 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다라고 되어 있는데 아까 이 외심에서는 OA 길이와 OB 길이가 같다 그랬어요 자 그러면 5에서 변 ab의 수직인 성분을 그리면요 우리가 지금 삼각형 oab가 oab가 무슨 삼각형이에요 2등변 삼각형이에요 그래서요 길이와요 길이가 같고요 그러면 삼각형OA 자 제가요 점을 m이라고 하면 m과 삼각형 obm이 합동이 되는 거죠 무슨 합동이에요 둘 다 집값 가지고 있고요 빗변의 길이 갚고 한 변이 공통이니까 우리 rhs 합동이라고 할 수가 있는 겁니다 자 그래서 우리가 요렇게 삼각형 두 개가 합동인 걸 볼 수가 있고요 그리고 교재에 나와 있는 내용은 우리 거꾸로이 변 자 제가 다른 면에서 해볼게요이 bc의 수직이등분선은 우리가 이등변 삼각형이기 때문에요 삼각형 obc가 이득매 삼각형이기 때문에 각을 2등분하는 것이고 여기이 삼각형의 no라는 점을 지나게 되는 겁니다 자 그래서 외심은요 각 변의 수직 이등분선이 만나는 점이라고도 할 수 있겠죠 자 그러면 우리가 정말 내용이 많아요 자 다시 한번 정리를 해 볼게요 자 첫 번째 성질은 뭐냐 수직 이등분선이한 점에서 만난다 자 외심은 수직 이등분선의 교점이다 이렇게 첫 번째 성질이 있고요 두 번째 성질은 외심에서 꼭짓점에 이르는 거리는 같다 그래서요 길이요 길이요 길이 5a oboc가 같다 이렇게 확실하게 정리를 하시기 바랍니다 자 그런데 지금 외심을 그린 거는요 예각 삼각형일 때 외심을 그린 거예요 그런데 삼각형의 종류에 따라서이 외심의 위치가 조금씩 달라지게 됩니다 자 우리 예각 삼각형 같은 경우엔 외심이 삼각형 내부에 있는게 맞구요 직각삼각형은 빗변의 중점에 있어요 자 우리가 모든 변의 모든 변이 아니라이 외심에서 모든 꼭짓점에 이르는 거리가 같기 때문에 우리가 직각삼각형에서 모든 꼭짓점에 이르는 거리가 같은 위치는 바로이 빗변의 중점인 겁니다 자 빗변의 중점이어야이 점과이 점까지의 거리가 같겠죠 자 그리고 여기까지도 거리가 같아지는 겁니다 자 세 번째이 둔각 삼각형에서는요 우리가 외심은 바로이 삼각형의 외부에 있습니다 자 어디에 있어요 삼각형의 외부에 있어요 자 이렇게 거리가 같아지는 위치가 외부에 있다는 거 요거까지 우리가 확인하면 되겠네요 자 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요

자 우리 개념 예제 풀 거고요 자 점호가 삼각형 abc의 외심이라고 했는데 우리 왜 심은 뭐예요 꼭짓점까지의 거리가 동일하죠 이렇게 거리가 모두 동일합니다 그러면 삼각형 obc에서 삼각형 obc에서 ob의 길이와 oc의 길이가 같기 때문에요 삼각형이 무슨 삼각형인 거예요 2등변 삼각형인 거죠 그러면요 x도를 우리가이 42도와 같다고 볼 수가 있겠죠따라서 우리가 문제에서 찾는 다 맥스는 42입니다 자 됐죠 자 우리 외심의 응용 볼 건데요 자 첫 번째는요 일단은 우리가 외심이라는 것은 각 꼭짓점의 거리가 꼭짓점까지의 거리가 이렇게 모두 동일하다고 했고 제가 여기를 x라고 하면 우리 삼각형 oab가 이등변삼각형이라 요기도 x고요 여기를 y라고 하면 여기도 아이고 여기를 z라고 하면 여기도 z죠 자 그러면 우리가 삼각형 내각의 합은 180도이기 때문에 2x 2y 2z가 180도로 나와야 되죠 따라서 양변 2로 나눠주면 우리 x와 y와 z를 더해서 90도라고 구할 수가 있습니다 그래서요 각도 요각도요 각도를 더해서 90도가 나오는구나 그렇게 봐주시면 됩니다

자 두 번째고요 지금 여기를 동그라미 제가 여기 헷갈리니까 x라고할게요 여기를 x라고 하면 이렇게 이등변 삼각형이라서 동그라미가 여기랑 여기랑 같고 여기가 있으면 여기도 x인데 자 우리 삼각형의 외각에서요 삼각형의 외곽에서 여기 각도가 a고 여기 각도가 b면요 각도가 a+b죠 자 그러니까 삼각형 oab에서 oab에서 지금 요렇게 여기는요 각 비오디는이 ba와 abo의 합이 되겠죠 그래서 동그라미가 두 개가 됩니다 자 삼각형 oac에서도요 요 각도는 각 oac와 oca의 합이기 때문에 x가 두 개예요 자 그러면 여기는 동그라미 더하기 x고 여기는 동그라미 2개 X 두 개죠 그래서 여기를 a라고 하면요 여기 각도는 2a가되는 겁니다 그래서 여기가 a면 여기가 2a구나 이렇게 외심의 성질이 있습니다 자 그럼 밑에 개념 예제 볼 거고요 자 마찬가지로 다음 그림에서 점5가 우리 삼각형 abc의 외심이고요 x의 크기를 구하는 건데 x랑 36이랑 20도 더해서 몇도 나와야 돼요 x+36도 플러스 20도는 90도가 나와야 됩니다 자 36도 20도 더해주면 56도구요 90도에서 56도 빼주면 x는 34도라고 구할 수가 있겠죠 그래서 답은 34도입니다 자 넘어가 볼게요

우리 필수 예제 한번 풀어보도록 할게요 점호가 삼각형 abc의 외심이라고 했고요 옳지 않은 것을 고르라고 했습니다 자 우선 oa랑 ob랑 oc랑 같다고 물어봤네요 자 요거는 맞나요 자 요거는 맞죠 우리가 삼각형 abc의 외심은 꼭지점까지의 거리가 모두 같다고했습니다 자 2번 각 oad랑 각오bd랑 같냐고 물어봤는데 여기는 우리 같죠 우리 삼각형이 다 이등변 삼각형이 만들어진다 그랬어요 그래서 2번도 맞고요 삼각형 삼각형이 아니라 각도죠 obe랑 o 살짝 갔냐고 물어봤어요 오비이랑 oce랑 같냐고 물어봤는데 자 여기도 이등변 삼각형이기 때문에 카트인데요 자 4번 ocf랑 ocf는 여기 있죠 ocf랑 oaf랑 같냐고 물어봤어요 자 여기도 이등변 삼각형이니까 같겠네요 자 마지막으로 삼각형 oec랑 삼각형 oec랑 삼각형 ofc랑 합동이냐고 물어봤는데 자 요거는 합동이 아닙니다 우리가 삼각형 oec랑 합동인 삼각형은 뭐라 그랬어요 삼각형우이비랑 합동이라 그랬어요 여기에 있는 삼각형이랑 합동입니다 자 그래서 답은 5번 이렇게 골라주시면 되겠네요 자 필수 예제 하나 더 볼 거고요 자 점보가 삼각형 abc의 외심일 때 가게세의 크기를 구하라고 했습니다 자 외심에서 여기 있는 각도와 여기 있는 각도 사이에는 무슨 성질이 성립해요 자 x를 두배하면 122도가 나오는 겁니다 즉 ex가 122도여서 우리 x를 61도라고 구할 수가 있습니다

자 여기까지 해서 우리가 오늘 외심에 관해 배워 봤구요 우리 외심의 성질 그리고 성질을 응용하는 것들까지 공식 정확하게 외우고 그림으로 모두 이해하시기 바랍니다 자 처음에 강조했듯이 복습고 꼼꼼하게 해주셔야 되고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다