[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 삼각형과 사각형의 성질 - 삼각형의 내심

자 이번 시간 배울 단어는 삼각형의 내심입니다 자 우리가이 내심이 먼저 배울 건데 지난 시간에 배웠던 외심하고 겹치는 내용이 상당히 많습니다 우리가 내용이 비슷하기 때문에 잘 구분지어서이 성질들을 숙지하기 바랍니다

자 일단은 요 이 원의 접선과 접점이라는 개념을 우리가 먼저 알아야 되는데 자 원에서요 원인으로 이렇게 있을 때 이 어떤 접선이라는 것이 뭐냐면 원과 스치듯이 만나는 거예요 자 접선은 요렇게 쭉 가면서 한 점에서 만나는 선을 접선이라고 해요 자 그때이 만나는 점을 우리는 접점이라고 하고요 자 이때 어떤 성질이 있냐면 우리가 원의 중심에서 접점까지 쭉 선분을 그으면이 선분과접선은 서로 수직이에요 자 그래서 우리가 접선은 뭐라고요 우리가 스치듯이 만나고 한 점에서 만나는 선을 접선이라고 하고 그 만나는 점을 접점이라고 하고 어떤 성질이 있다고요 원의 중심에서 접선까지 선분을 그으면이 선분과 접선이 수직이다 이런 성질까지 알아두면 될 것 같습니다

자 그래서 우리가 오늘 배운 내심은 뭐냐 자 내심은요 우리가 안에서 접하는 원의 중심이에요 자 내심은네 저번에 중심이고 네 법원의 중심에서이 네접하는 무엇이냐 내접어는이 삼각형에서 삼각형 안에 접하는 원을 말합니다 자 삼각형 abc가 요렇게 있으면요 abc가 지금 요렇게 있을 때 자 안에서 접하는 원은 우리가 이렇게 각 변의 접하도록 이렇게 원을 그릴 수가 있는 겁니다 그래서 여기서도 접하고여기서도 접하고 여기서도 접하는 원이 되겠죠 자 이원의 중심요 점을 우리가 삼각형 abc의 내심이라고 합니다 자 내심은 어떤 성질이 있냐면 우리가 삼각형 안에 있는이네 저번에서 원의 반지름은 항상 일정하기 때문에요 반지름의 길이가 모두 일정하고요이 반지름은 우리가이 내심에서 각각 변액 변해 내린 수선의 발까지의 거리입니다 자 그래서이 교지 내용 보면 우리가 삼각형의 내심에서 자 삼각형의 내심에서 세 변의 이르는 거리는 같다라고 되어 있어요 자 내심에서 내쉬면서이 변까지의 거리 그게 바로 반지름이죠 그 거리가 모두 같은 겁니다 그래서 아이디는 ie는 if는 대접원의 반지름길이다라고 나와 있는 거고요 자 첫 번째 우리 성질도 한번 다시 볼게요 세 내각의2등분선은 한 점에서 만난다라고 되어 있어요 자 각 꼭짓점에서이 내각을 이등분하는 선은 이렇게 그릴 수가 있는데 이렇게 그리면요 삼각형과요 삼각형은 합동입니다 자 무슨 합동이냐 지금 둘 다 직각을 가지고 있고요 빗변이 공통이고 우리가 각도를 2등분 한다고 했으니까 각도가 같아 rha 합동이 되는 것이죠 자 그래서 저 삼각형의 합동이고 여기에 있는요 삼각형하고요 삼각형도 같은 이유로 합동이고요 삼각형하고요 삼각형도 합동입니다 자 그래서 그 합동이기 때문에 우리가 여러가지 성질이 또 나오게 되고요 일단은 그 성질의 앞서서 우리가 4가지 2등분선의 교점이 바로이 내심이라는 거 내각의 2등분선의 교점을 이으면 우리가 여기 있는 내심을 찾아낼 수가 있는 겁니다 여기랑 여기 각도가같겠죠 자 내심의 위치는요 우리가 내접안의 중심이기 때문에 우리 항상 삼각형의 내부에 있겠죠 자 그것까지 정리됐을 거라 생각합니다 자 넘어가 볼게요

자 개념 예제 볼 건데 점 아이가 삼각형 abc의 내심이라 그랬어요 자 내심에서는 어떤 각도랑 어떤 각도랑 같다고 그랬어요요 각도랑 요각도랑 같다 그랬어요 왜냐 내심은 내각의 2등분선의 교점이기 때문에 우리가 꼭짓점에서 요렇게 꼭짓점에서 이렇게 선을 그으면 얘가 각 b의 2등분선인 거예요 그래서 x가 34도랑 같아지는 겁니다 x는 34라고 나오겠네요 자 이번엔 삼각형 내심의 응용인데요 자 방금 개념 예제를 풀면서 제가요 각도랑요 각도가 같다 그랬죠 가게 2등분선의 교점이기 때문에 자 그러면 육각도랑요 각도도 같고요요 각도랑요 각도도 같습니다

자 그래서 눈에 보이는 각도를 모두 더해주면 ex+2y + 2z가 삼각형 4각의 합이기 때문에 180도구요 요거를 가격 s+ 과거의 플러스 각 z는 90도라고 바꿀 수가 있겠죠 자 그래서 요거 외심에서도 똑같은 공식이 있었어요 우리가 외신과 정말 비교를 하면서 계속 공부를 해야 됩니다 자 2번을 보겠습니다 자 지금 각도가 이렇게 도형으로 좀 표시가 되어 있는데 제가 각각 이름을 좀 붙여줄게요 여기를 x라고 할 거고요 여기를 y라고 할 거고 여기를 z라고 하겠습니다 그러면요 각도는요 여기 각도는요 삼각형 abi의 외각이기 때문에이 x와 y를 더한 각도가 될 겁니다 자 여기 각도는요 삼각형 aic에서요 각도랑요 각도를 더한 거기 때문에 x+z가 되겠죠 자 그러면 여기에 있는이 부분요부분은 2x고요요 부분은 뭐예요 x+x+ y + z라고 나오죠 여기가 자 그런데 우리 x+y + z는 몇 도였어요 90도였으니까 요만큼이 90도인 겁니다 자 그래서이 각도와이 각도 사이에는요 각도 사이에는 무슨 관계가 있냐면 제가 각 bac를 a라고 했을 때 이거의 절반에다가 이거의 절반인 x에다가 90도를 더해주면 얘랑 같아지는 겁니다 그래서 여기 각도는 요거에 절반에다가 90도를 더해준 각도다 우리 외심에서는 그냥 두 배를 해주면 되는데 내심에선 조금 복잡하죠

자 어찌됐든 여기가 a라고 하면 90+1/2a로 구할 수 있다 이렇게 내심을 우리가 활용할 수 있겠네요 자 밑에 있는 내용들도 한번 보겠습니다삼각형 넓이를 우리가이네 저번에 반지름 길이로 넓이를 구할 수가 있어요 자 삼각형 abc 넓이를 어떻게 구할 거냐면 여기서 구할 겁니다 자 이렇게 삼각형 abi의 넓이와 bci의 넓이와 cain 넓이의 하부로 구할 거고요 자 제가 한번 쓸게요 삼각형 abi와 삼각형 bci 와 삼각형 cai의 합으로 구할 건데 우리 abi의 넓이는 1/2 곱하기 자 얘를 밑변으로 잡을 거고요 높이가 여긴데 높이가 뭐랑 같아요 반지름이랑 같은 겁니다 자 AB 곱하기 R 자 bci는요 우리 밑변을 bc라고 잡으면 마찬가지로 높이가 반지를 r과 같구요 자 삼각형 cai는 우리 밑변의 ca라고 생각하면 우리 높이는 마찬가지로 반지름 알 것 같습니다그래서 얘를 2분의 1 r로 묶어주면 2분의 1 r로 묶어주면 1/2 아래에 AB + B c++ca라고 정리가 되는 것이죠 자 얘는 우리가 삼각형 둘레에서 둘레 자 그래서 삼각형 둘레에다가 2분의 1을 r을 곱하면 우리가 넓이가 나온다 요런 넓이 공식도 하나 나오게 됐습니다 자 우리네 저번에 접선의 길이라고 되어 있는데 자 우리 삼각형에서이 네접원과 만나는 점을 각각 def라고 하면요 삼각형 dbi랑 dbi랑 ebi랑 합동이라 그랬어요 자 그러면 어디길이랑 어디 길이랑 같아요요 길이랑요 길이랑 같이 자 같은 방식으로 우리가 AD 길이랑 AF 길이랑 같다고 할 수 있고요 여기 C 길이랑 CF 길이도 같다고 할수가 있습니다 자 그래서 이렇게 접선에서 우리가 어떤 길이랑 어떤 길이가 같은지 우리가 요것도 그림상으로 확인할 수 있어야 되고요 아까 말했던 삼각형요 삼각형이랑요 삼각형 합동인 것도 우리가 알고 있어야 됩니다 자 여기까지 됐을까요

자 그러면 넘어가서 개념 예제 한번 보도록 하겠습니다 자 아이가 삼각형 abc의 내심이라고 했는데 자 보면은 각 X 32도 24도 자 이거 세 개 더해서 뭐 나와야 돼요 우리 요거 3개 더해서 90도 나와야 되죠 자 두 개 더하면 56도니까 우리 각 x를 34도라고 구할 수가 있습니다 자 어렵지 않죠 자 그러면 필수 예제 볼 건데 자 요거는 우리가 외심의 성질을 활용을 해야겠네요 자 여기 72도면이 x와 무슨 관계가 있다 그랬어요 72도를 반으로 나눈 거에다가 90도를 더해준게 x와 같다 그랬죠따라서 각 x는요 요게 36이니까 126도라고 나오게 됩니다 자 됐을까요 자 그러면 마지막 패스 예제까지 볼게요

자 x의 값을 구하라고 했는데 자 우리 지금이 길이를 가지고 문제를 푸는 거니까요 길이랑 같은 길이를 찾아볼 거예요 어디랑 같다 그랬어요 자요 길이랑 같습니다요 길이랑 자 그리고 여기에는 3cm는 여기 있는 3cm는 요거랑 같다 그랬죠 그래서 얘가 3cm고 여기가 xm니까 3하고 x를 더해서 7이 나와야겠죠 그래서 x는 4라고 구할 수가 있습니다

자 여기까지 해서 우리가 내심을 모두 배워 봤어요 자 우리 지난 시간에 배운 외심하고 이번 시간에 배운 내심하고 정말 유사한 점이 많죠 근데 공식이라 조금씩 다릅니다 그래서 두 개를 확실하게 구분 지으면서 외울 건 공식 외워주고요 우리 구분 지을 거 구분지어 가면서 복습 꼭 철저하게 해주시기 바랍니다 자 오늘강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다