[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 삼각형과 사각형의 성질 - 평행사변형의 성질

자 이번 시간 배울 단어는 평행사변형의 성질입니다 자 우리 평행사변형에 대해서는 배운 적이 있는데 우리가 오늘 그 평행사변형에 대해서 완벽하게 완벽하게 배워보도록 할게요 자 평행사변형의 정의는요 우리가 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 평행사변형이라고 합니다 자 두 쌍의 대변이라는 것은 얘랑 얘가 평행해야 되고요 그리고 ad랑 bc가 평행해야 우리가 평행사변형이라고 할 수가 있는 거예요

자 그래서 이때 나오는 평행사변형의 성질들에는 어떤 것들이 있냐 첫 번째이 대변의 길이가 각각 같습니다 자요 ad의 길이와 ad의 길이와 bc의 길이가 같고요 ab의 길이와ab의 길이와 cd의 길이가 같아요 자 그래서 정의는 평행한 거고요 정의는 대변이 각각 평행한 거고 우리가 그때 나오는 성질로이 대변의 길이가 같은 겁니다 자 또한 우리가 평행하기 때문에 병행하기 때문에이 bc와 ad가 평행을 하면요 요각도랑 이직선에 대해서 요각도가 같죠 제가 여기를 a라고 하면 여기가 a구요 제가이 각도를 b라고 하겠습니다 그러면 a+b가 180도라는 거를 우리가 알 수가 있고요 자 마찬가지로 이 ab랑 cd랑 평행하니까 이직선에 대해서 요기가 b면 여기가 b인 거예요 자 그럼 여기가 몇 도일까요 우리 여기랑 d랑 앞에서 180도가 나와야 되니까 여기가 a인 겁니다 자 그래서 같은 이유로 여기도 b라고 구할 수 있고요 우리가 여기 써 있는이 abc와abc와 adc를 서로 대각이라 그래요이 대각이라고 하고 대각의 크기가 같은 거예요 자 여기도 대각의 크기가 같죠 가기와 각시가 같습니다 그래서 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같아요 자 그리고 대각선이 서로 다른 것을 2등분하는 성질도 있습니다 자 대각선이 지금 요렇게 있는데요 대각선이 있고요 대각선이 있어요 자 그런데 지금 평행하죠 ab와 cd가 평행합니다 그러면이 직선 ac에 대해서 여기 각도랑 여기 각도랑 같고요 여기 각도랑 여기 각도가 같습니다 자 또한 AB 길이가 cd길이와 같으니까 두 삼각형 ab와 삼각형 ab와 ab와 cdo 삼각형 cdo가 합동이죠 합동이기 때문에 우리가 6일이와A5 길이와 oc 길이가 같고요 Bo 길이와 OD 길이가 같은 겁니다 그래서 대각선이 서로 2등분한다라고 결론을 내릴 수가 있겠죠 자이 정의와 성질들 우리가 당연히 당연히 알고 있어야 됩니다 우리가 대변이 각각 평행한 사각형을 평행사변형이라고 하고 우리가 대변의 길이가 같고 대각의 크기가 같고 대각선이 서로 이동을 한다 자 이거까지 우리가 모두 처음 보는 내용은 아닐 거라고 생각합니다

자 밑에 다음 개념 예제 한번 볼 건데요 자 다음 그림과 같은 평행사변형 abcd에서 x와 y의 값을 구하라고 했고요 자 평행사변형이기 때문에 여기가 81도면 여기는 몇 도예요 똑같이 81도죠 그래서 x는 81이라고 나오고요 자 그리고 우리 여기에 있는이 y랑 여기 있는 y랑 크기가 같은데 제가이 81도를 여기다 옮길 수 있었지 아까 요렇게이 81도를 ab와 cd가 평행하다는 것을 가지고 이쪽으로 옮길 수가 있었습니다 그러면 y랑 더해서 180도가 나와야 되니까 y는 몇 도예요 99도가 나오는 거죠 그래서 x와 y의 크기를 각각 구할 수가 있겠네요 자 그래서 우리 평행사변형에서는요 각도와 육각도를 더해서 180도가 되는구나 그렇게 알고 있어도 좋습니다 자 이번엔 평행사변형이 되는 조건인데 우리 평행사변형이 되는 조건에는 이렇게 5가지가 있어요 어떤 사각형에서이 사각형이 병행사변형인지 아닌지를 판단하는 기준이이 5개가 있는 겁니다이 5개 안에 있어야 다섯 개 중 하나여야 평행사변형이 되는 거고요 그냥 평행사변형처럼 생겼다고 평행사변형이라고 하면 안 됩니다 우리가 정확하게이 다섯 개 중 하나를 만족해야 평행사변형이라고 할 수가 있는 거예요

자 첫 번째는요 대변이 각각 평행하면 평행사변형이라고 합니다 자 우리이거는 평행사변형의 정의에서 나오는 조건이죠 각각 대변이 평행한 경우에 병행사변형이라고 하고요 자 그때이 성질들 대변의 길이가 각각 같아도 대변의 길이가 각각 같아도 우리 평행사변형이라고 할 수 있습니다 자 대각의 크기가 같아도 대각의 크기요 각도요 각도 같고 각기 같으면 평행사변형이라고 할 수가 있어요 자 4번을 우리가 이제 조금 다르게 볼 수가 있는데 한 쌍의 대변이 평행하고 ab랑 cd랑 평행하고 그 길이가 같으면 그 길이까지 같으면 우리는 평행사변형이라고 할 수가 있습니다 자 우리 요거 4번은 우리 어떤 정의나 성질에서 나오는게 아니죠 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 병행자변형이다 이렇게 할 수가 있습니다 자 대변이 여기가 아니고 여기를 기준으로도 할 수 있겠죠 ad와 bc를 기준으로도 ad랑 bc가 평행하고 길이가 같다면우리는요 사각형을 병행사변형이다라고 할 수가 있는 겁니다 자 마지막 5번이고요 두 대각선이 서로 다른 것을 2등분 안 돼요 자 두 대각선이 서로 다른 것을 2등분하면 평행사변형이라고 했고요 우리 요거 5번도 우리 평행사변형의 성질에서 봤던 거죠 여기랑 여기 길이가 같고요 길이랑요 길이가 같으면 평행사변형이다 여기까지 해서 우리 평행사변형되는 조건 5가지 완벽하게 알았으면 좋겠습니다

자 다음 개념 예제 볼 건데요 다음 사각형 중 평행사변형이 아닌 것을 고르라고 했습니다 1번 먼저 보면 여기가 4 4 그리고 [음악] 7 7 자 각 대변의 길이가 같기 때문에 우리는 평행사변형이 맞죠 자 1번은 평행사변형이 맞고요 2번 보면 일단은 한쌍이 대변 길이가 같다고 나와 있고 지금 70도가 이렇게 두기 두어져 있는데 이거는 뭘 의미하냐 자 요직선에 대해서 우리요각도랑요 각도가 같으면 얘가 엇각 위치기 때문에 평행한 거죠요 변하고요 변이 평행한 겁니다 따라서이 변의 대변에 길이가 같고 평행하기 때문에 2번은 평행사변형이 맞아요 자 3번 보면 지금 대각선이 서로 어떻게 되고 있어요 서로 2등분하고 있죠 자 이런 경우에도 평행사변형이 맞죠 4번 보면요 제가 여기 지금 55도랑 125도가 주어져 있는데이 선을 쭉이어서 여기를 55도라고 쓸 수가 있어요 55도라고 쓸 수 있고 여기도 55도 여기도 55도니까 요게 동의각이어서 얘랑 얘가 평행하다는 거는 알겠어요 자 평행하다는 건 알겠는데 우리가 얘가 평행하면 나머지 대변도 평행하거나 아니면요 변의 길이가 같아야 되는데 그런게 없죠 지금 그래서 얘는 평행사변형이아닙니다 답은 4번이 되는 거예요 자 마지막으로 5번 보면요 지금 여기가 20도고 여기가 20도라고 주어져 있는데 엇각이기 때문에요 변과요 변이 병행한 거고요 지금 여기가 80도 여기가 80도면 얘랑 얘가 평행한 거죠 자 그러면 두 쌍의 대변인 평행하기 때문에 얘도 평행사변형이 맞습니다

자 이번엔 평행사변형과 넓이인데요 평행사변형의 넓이는 한 대각선에 의하여 2등분된다라고 나와 있어요 자 여기 보면은 지금 대각선 ac를 그어 놨는데 우리 평행사변형이면요 각도랑 요각도가 같고요 요각도랑 요각도가 같겠죠 자 왜냐면 엇각 관계입니다요 ab와 C d가 평행하기 때문에 6이랑 여기가 같은 거예요 자 그러면 우리가 삼각형 abc와 삼각형abc와 삼각형 cda가 합동이고요 자 합동이기 때문에 전체 넓이를 s라고 하면 우리가 여기 삼각형 하나의 넓이는 각각 2분의 1s가 되는 겁니다 그래서 넓이가 2등분 되겠죠 자 이렇게 대각선을 반대 다른 대각선을 그어도 이렇게 bd인 대각선을 그어도 똑같이 우리가 삼각형의 합동이라는 것을 확인할 수 있고요 여기도 넓이가 2등분 된다는 거 우리가 알 수 있습니다 자 만약에 우리가 이렇게 더 나눴어요 대각선 두 개로 나눠서 삼각형 4개로 나눈 겁니다 자 그런 경우에는 우리가 지금 여기 있는 삼각형 abo와 삼각형 ado에서 밑변을 b5와 bo와 od로 잡으면요 우리가 대각선으로 2등분 되기 때문에요 길이가 일단 각각 같아요 bo의 길이와 우디의 길이가 같고 두 삼각형의넓이를 계산할 때 결국 높이는요 길이로 똑같기 때문에 우리는 삼각형 abo의 넓이와 삼각형 abo에 넓이와 삼각형 aod의 넓이가 어떻게 되는 거예요 똑같은 거죠 자 그래서 여기 넓이가 s면 여기 넓이도 S 구요 자 같은 방식으로 삼각형 aod와 삼각형 cod의 넓이도 동일하고요 요렇게네 조각이 넓이가 모두 동일해지는 겁니다 그래서 평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의하여 4등분 된다라는 말이 요런 말이고요 사각형 사각형 abcd 넓이의 4분의 1을 해주면 각각 삼각형 넓이를 구해줄 수가 있겠죠 자 마지막 3번이고요 평행사변형의 내부의 임의예점 p에 대하여 자 점 p에서 제가 뭐를 할 거냐면ab의 평행한 직선을 하나 그을 거고요 병행한 dc의 평행한 직선을 요렇게 긋겠습니다 자 얘랑 얘랑 얘랑 병행하고 얘랑 얘랑 얘랑 평행이에요 자 그랬을 때 여기 보면 삼각형 ap 제가 m이라고 하면요 apm과 여기 있는 pa 제가 여기를 n이라고 할게요 ban이 서로 합동인 거예요 자 평행하기 때문에 여기 각도 여기 각도 같고요 여기 각도 여기가 또 같죠 그리고 ap가 공통이기 때문에 삼각형 a의 b는 뭐랑 합동인 거예요 pna랑 같습니다 자 앞 동이기 때문에 넓이도 동일하구요 넓이가 동일하니까 제가 그 넓이를 sa라고 할게요 a a라고 할 겁니다 자 같은 방식으로 우리가 요기 넓이랑 요기 넓이를같다고 해서 b라고 할 거고 여기 넓이 여기 넓이 같다 그래서 c라고 할 거고 여기 넓이 여긴 넓이 같다 그래서 d라고 할 겁니다 자 이렇게 넓이가 모두 같은데 삼각형 pab + pcd면요 pab는 넓이 a + b고 pcd는 c+d죠 그래서 a+b+c가 됩니다 자 이번엔 pda랑 pbc를 더할 건데 pda는 a+b pbc는 b+c죠 그러면 마찬가지로 a+b+c+d가 나오네요 자 두 개가 같아졌고요 그리고 얘는 우리 사각형 넓이의 절반이 되겠죠 우리 사각형 넓이가 2의 a+b+ c+d니까 2분의 1까지 곱해주면 모두 같아지는 겁니다 자 그래서 우리 평행사변형에서 임의의 점을 잡았을 때 이렇게 삼각형 넓이가 같아진다는 거요 삼각형 넓이랑요 삼각형 넓이 더한게 나머지두 삼각형 넓이를 더한 것과 같고 그 넓이는 전치사각형의 절반이다 요런 성질까지 확실하게 외워 주시기 바랍니다

자 개념 예제 볼 거구요 다음 그림과 같은 평행사변형 abcd에서 5가 대각선의 교점이래요 자 그리고 사각형 abcd의 넓이가 16이라 그랬어요 뭘 구하라 그랬냐면 삼각형 obc의 넓이를 구하라고 했네요 자 우리 대각선에 의해서 사각형 넓이가 4등분 된다 그랬죠 4등분 되니까 우리가 4s가 전체 넓이 16이구요 우리가 구하고 싶은 부분에 넓이는 4가 되네요 자 됐을까요 평행사변형이 된다고 한데요 평행사변형이 되기 위해서는 요변 길이랑 요변 길이 같고요 변기리랑요 변기리가 같아야 되겠죠 자 그래서 x+y가 6이고 7x+y가5x+2y니까 우리 요거를 2x는 y라고 정리를 할 수 있고요 우리 두 개를 연립을 해서 x값 y 값 구해주면 됩니다 y = 2x를요 식에다 대입을 해주면 3x는 6이 되어서 x는 2고요 42 하면 y는 4라고 구할 수가 있습니다 따라서 xy는 8이라고 나오겠죠 자 넘어가겠습니다 자 이번엔 다음 그림과 같은 평행사변형 abcd에서 자 제 생각에 점 p가 지금 어떤 제약이 없어요 그렇기 때문에 얘는이 평행사변형 내부에 있는 이미 예점이고요 pda와 pbc의 넓이가 각각 20하고 16이래요 자 여기에 넓이가 22구요 그리고 밑에 있는이 pbc의 넓이가 몇이래요 여기가 16이래요 자 전체 사각형 넓이 구하라고 했고요 우리 두 개 넓이 더하면 몇 나와요 36 나오죠그런데이 넓이는 전체 사각형 넓이의 절반이라고 했습니다 따라서 사각형 abcd의 넓이는 몇인 거예요 36의 두 배인 72인 겁니다

자 여기까지 해서 우리가 오늘 평행사변형 모두 배워봤고요 우리 공식이나 어떤 평행사변형이 되기 위한 조건들은 외워 주셔야 돼요 도형이라고 해서 외울게 없는게 아닙니다 우리가 기본적인 공식과 성질들은 모두 확실하게 외운 상태로 문제풀이를 연습하셔야 돼요 자 끝나고 우리 복습하면서 다 외워 주시고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다