[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 삼각형과 사각형의 성질 - 직사각형의 성질

자 오늘 배울 단어는 직사각형의 성질입니다 자 직사각형이 뭔지 우리가 처음 보는 건 아닌데요 그래도 일단 하나씩 내용 꼼꼼하게 보도록 하겠습니다

어떤 사각형을 직사각형이라고 하냐 내각이 모두 직각인 사각형을 직사각형이라고 합니다 자 내각이 모두 직각이기 때문에 우리요 사각형 a b c d에서 가게이와 각비랑 각시랑 각기가 모두 같구요 즉각 90도로 같은 겁니다 자 이런 사각형을 직사각형이라고 하고요 어떤 성질이 있냐면 우리 두 대각선의 길이가 같고 서로를 2등분 한다는 성질이 있어요 자 대각선이 지금 요렇게 두 개가 있는데이 내각선의 길이와 대각선의 길이가 같고요 서로 2등분하기 때문에요 길이요길이요 길이요 길이 모두 같게 됩니다 자 그러면 이렇게 생긴 직사각형은요 평행사변형일까요 자 얘는 평행사변형이 맞습니다 우리 평행사변형이라는 사각형 안에 직사각형이 들어 있는 거예요 요렇게 평행사변형 안에 직사각형이 들어있어서 모든 직사각형은 병행사변형이라고 할 수 있습니다 자 그러면 직사각형이 평행사변형이 지금 들어가 있다 했는데 평행사변형이 직사각형이 되려면 어떻게 돼야 되냐 자 요런 평행사변형이 있다고 해볼게요 요런 평행사변형이 있을 때 이런 평행사변형이 직사각형이 되려면 우리가 두 조건 중 하나를 만족을 해야 돼요 첫 번째 조건은 한 내각이 직각이라는 조건을 만족시켜야 됩니다 자 지금요 각도를 a라고 하고요 각도를 b라고 하면 우리가 여기가 b구요 여기가 a인데 한 각도가90도가 되면 우리가 가게이와 각비를 합쳐서 180도가 되어야 되니까 두 개를 더해서 180도가 돼야 되니까 얘도 90도가 되고요 그래서 얘도 90도 얘도 90도 그래서 모든 내각이 직각인 사각형이 되죠 자 이렇게 한 내각이 직각이면 우리 평행사변형이 직사각형이 되고요 자 또한 우리가 평행사변형에서는 정확하게 두 대각선의 길이가 일치하지는 않습니다 일치하지는 않은데 만약에요 대각선의 길이와요 대각선의 길이가 같아진다면 우리가 직사각형의 성질을 만족을 하기 때문에 직사각형이 되는 거예요 자 두 대각선의 길이가 같을 때도 병행사변형이 직사각형이 된다 그래서요 두 조건 두 조건 기억해 주시기 바랍니다

자 그러면 개념에 이제 한번 보도록 할게요 자 다음 그림에서 사각형 abcd가 직사각형일 때 x의 값을 구하는 문제고요 자 1번 보면 여기지금 7cm 8cm 나와 있습니다 자 구해야 되는 길이는 여기구요 우리가 직사각형에서 두 대각선의 길이는 서로 같고 2등분 한다고 했어요 그러면 여기 2등분 돼서 여기가 몇 cm인 거예요 4cm인 거죠 근데요 길이랑요 길이랑 길이가 같으니까 우리 x는 4라고 구할 수가 있겠네요 자 두 번째 보겠습니다 여기가 지금 34도예요 여기가 34도면 우리 직사각형의 모든 내각은 90도이기 때문에 여기 각도 몇 도일까요 여기 각도 56도죠 왜냐 저 각도를 a라고 놓으면 여기를 a라고 놓으면 a와 34도를 더해서 90도가 돼야 되니까 우리가 여기를 56도라고 구할 수가 있는 겁니다

자 그 다음에 우리 대각선의 서로 2등분하고 길이가 모두 같아서 독일이랑요 길이도 같죠요 길이랑요 길이도 같으니까요 삼각형oab가 5ab가 무슨 삼각형이 되는 거예요 2등 외삼각형이죠 그래서 x가 56하고 같은 겁니다 이렇게 되겠네요 자 그럼 넘어가 볼게요 자 필수 예제 풀어볼 거고요 자 우리 다음과 같은 직사각형 abcd에서 우리 x+y의 값을 구하는 문제입니다 자 지금 대각선이 8cm라고 나와 있어요 우리 대각선의 길이가 같고 서로 2등분 한다고 했으니까 2등분 돼서 여기 4cm 구요 그러면 여기도 길이가 같으니까 x는 4라고 찾을 수가 있겠네요 자 지금 각도 여기가 24도라고 나와 있는데 24도면 여기를 제가 a라고 했을 때 a와 24도를 더해서 몇도 나와야 돼요 90도 나와야 되죠 따라서 a는 66도구요 자 여기가 66도입니다 자 그러면 아까랑 비슷한 문제네요요 길이랑요 길이가 같은 걸 우리가 알고있으니까 이등변삼각형 oab를 볼 수가 있고요 y가 몇 도란 걸 찾을 수 있어요 y가 66도라는 것을 찾을 수가 있습니다 자 따라서 x+y는 몇이에요 72죠 자 이렇게까지 됐습니다 abcd가 직사각형이 되는 조건이 아닌 것은이라고 물어봤는데

자 우리 두기 조건을 앞에서 배웠어요 첫 번째는 한 내각이 90도라는 거가 있었고요 두 번째는 구 대각선 길이가 일치한다 두 대각선 길이가 일치한다라는 두 가지 조건 중 하나를 만족하면 직사각형이 된다 그랬죠 자 하나씩 볼게요 자 1번은 AC 길이랑 BD 길이가 같아요 자 그러면이 두 번째 조건하고 완전히 일치하죠 그래서 1번은 직사각형이 되는 조건이 맞고요 2번 AOA 길이랑 doe 길이가 같대요그러면요 길이랑 지금요 길이가 같다는 건데 ao의 길이가 근데 oc의 길이랑 같죠 우리가 이거는 평행사변형의 성질이에요 그래서 ao랑 d5랑 같은데 ao랑 oc랑 같으니까 두 배를 해서요 2배를 해서 ao의 두 배는 AOA 두 배는 a c와 같고 do의 두 배는 bd랑 같죠 자 결론적으로 우리 두 대각선의 길이가 일치한다라고 말하고 있는 겁니다 그래서 2번도 우리가 직사각형이 되는 거 알 수가 있고요 자 3번 각 bcd가 90도라 그랬네요 자 bcd가 90도 한 4가지 90도라고 알려 준거죠 자 한내각이 90도면 무조건 직사각형이 된다고 했습니다 자 4번은요 각 bcd랑 adc랑 같아요 자 그런데 제가이 각도를 a라고 하고이 각도를 b라고 하면 우리 평행사변형에서a와 b를 더해서 180도가 나와야 돼요 180도가 나와야 되는데 지금 a와 b의 각도가 같다고 했으니까 a가 몇 도인 거예요 90도인거죠 자 결론적으로 얘도 90도 얘도 90도인 거니까 얘도 직사각형이 되는 겁니다 자 마지막으로 abc와 abc가 같다 그랬는데 ABC 와 adc가 같다고 한 거는 이미 평행사변형에서 성립하는 조건이죠 그래서 우리 5번은 직사각형이 되는 조건이 아닙니다 그래서 답으로 5번 골라 주시면 되겠네요

자 여기까지 해서 우리가 오늘 배울 직사각형에 관한 내용은 모두 끝났습니다 우리가 계속 지난 시간에 이어서 사각형에 대해 배우고 있고요 앞으로도 사각형을 몇 번 더 배울 겁니다 그러니까 우리가 그 사각형 별로 어떤 성질이나 정의 그리고 그때 나오는 다른 특징들 그런 거 모두 완벽하게 공부하시기 바랍니다 자 오늘 강 의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다