[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 삼각형과 사각형의 성질 - 정사각형의 성질

자 오늘 배울 단어는요 정사각형의 성질입니다 우리가 정사각형이 뭔지 먼저 볼 건데 정사각형은요 네 각의 크기가 모두 같고 내변의 길이가 모두 같은 사각형을 정사각형이라고 합니다 자 abcd 각도보도 같구요 abbc CD da 모두 동일합니다 그래서 각도도 모두 같아야 되고 길이도 모두 같아야 정사각형인 거예요

자 이때 내 내각의 크기가 모두 같다고 했는데이 4개를 모두 더해서 360도가 나와야 되죠 그러면 하나의 몇 도겠어요 자 각각 90도가 되는 겁니다 각도가 모두 직각인 거예요 자 그러면 이런 정사각형은 어떤 성질이 있냐면 두 대각선의 길이가 같고 서로 수직 이등분 하는겁니다 대각선이요 대각선과 요대각선이 서로 수직으로 만나면서 서로를 2등분하는 성질이 있어요 자 그러면 우리가 저번에 배웠던이 직사각형과 마름모가 있는데 얘네들이 정사각형이 되기 위해 어떤 조건이 필요한지를 볼 거예요

자 첫 번째로 직사각형이 정사각형이 되는 조건은 우리가 두 가지 경우가 있어요 첫 번째는요 이웃하는 두 변의 길이가 같아져야 돼요 자 우리 직사각형은 정의가 뭐였어요 내 각도가 모두 같은 사각형이었죠 그런데 정사각형은 각도도 같고 길이도 같아야 되니까 그 내변의 길이가 같다는 조건이 들어가면 정사각형이 되는 거고요 우리 직사각형을 이렇게 그려놨을 때 어차피이 직사각형은 요변 길이와 요변 길이가 같고 요변 길이가 같고 요변 길이와이변길이가 같기 때문에 이웃하는 두 변이 파란 길이와 빨간 길이가 같기만 하면 내변 길이가 모두 같아지는 겁니다 그래서 이웃하는 두 변의 길이가 같으면네 배의 길이가 같아져서 정사각형이라고 할 수가 있고요

자 두 번째 경우는요 두 대각선이 서로 수직으로 만나는 겁니다 우리 직사각형의 성질 중에 대각선이 서로 2등분 한다는 대각선의 길이가 같고 서로 2등분 한다는 성질이 있었어요 그런데 여기에 수직으로 만나기까지 하면 우리 정사각형이 성질이 되는 거니까 우리 그런 경우에는 정사각형이라고 할 수가 있겠죠 자 다음은요 마름모가 마름모가 정사각형이 되는 조건인데 마름모는 어떤 사각형이었어요 내변의 길이가 같은 사각형이었죠 그러면 마름모가 정사각형이 되기 위해선 각도만 같아지면 되겠네요 자 그러면 제가 마름모를 이렇게 그려 놨을 때 자 마름모에서요각도와요 각도와요 각도는 같고요 그리고 요각도와요 각도는 같습니다 그래서 제가 여기를 a라고 하고 여기를 b라고 했을 때 우리 a와 b를 더해서 몇 도예요 a와 b를 더해서 180도죠 a와 b를 더해서 180도인데 만약에 하나가 직각이 되면요 하나가 직각이 되면 우리가 a도 90도라고 나오니까 모든 각도가 90도가 되겠죠 그래서 그런 경우에는 우리 내각의 크기가 모두 같아지니까 마름모는 원래 내변의 길이가 같았는데 각도까지 같아지면 무슨 사각형이 되는 거예요 정사각형이 되겠죠 그래서 마름모가 정사각형이 되는 첫 번째 경우는 한 내각이 직각이어서 모든 각도가 직각으로 만들어지는 경우입니다

자 두 번째는요 두 대각선의 길이가 같다라고 나와 있는데 자 마름모의 대각선은 어떻게 된다는 성질이 있어요 서로 수직 이등분이라는수직이등분이라는 성질이 있습니다 근데이 대각선의 길이가 같지는 않았어요 그런데이 대각선의 길이까지 같아지면 우리 정사각형의 성질이 되는 거니까 대각선의 길이가 같으면 우리 마름모가 정사각형이 된다고 할 수 있겠죠 자 우리 요거 헷갈리지 않도록 복습할 때 꼼꼼하게 공부해 주시기 바랍니다 자 개념 이제 볼 거구요 가게스와 가와이의 크기를 각각 구하라고 했네요 자 각 x는 뭐예요 우리 지금 대각선이 대각선이 이루고 있는 각도가 각에 있습니다 대각선이 이르는 각도는 몇 도죠 90도죠 그래서 각 x는 90도라고 구할 수가 있고요 자 우리 대각선이 서로 수직 이등분하기 때문에요 길이와요 길이가 같고 여기는 90도에요 그러면 삼각형 aod에서 aod에서이 y가 여기에도 똑같은 각도가 있겠죠 그래서 y + y+90도가 삼각형 내각의 합 180도가 되기 때문에 y를 우리는 45도라고 구할 수가 있습니다 따라서 가격 쓰는 90도 가구 아이는 45도죠

자 첫 번째 필수 예제 볼 건데요 다음 그림과 같은 정사각형 abcd에서 bd의 길이가 14일 때요 길이가 14일 때 삼각형 abc의 넓이를 구하라고 했네요 자 그러면 요기 길이가 14면 우리는 6일을 7cm라고 구할 수가 있고요요 길이도 7cm라고 구할 수 있죠 하지만 우리 정사각형의 대각선은 서로 수직이 등분하면서 길이가 같기 때문에 모두 여기 7cm라고 표시할 수 있겠죠 자 그리고 여기 수직입니다 자 그러면 삼각형 obc의 삼각형 obc의 넓이를 구할 수가 있겠죠 요거 넓이 몇이에요 2분의 1 곱하기 7 곱하기 7이죠 따라서 2분의 49구요 자 여기삼각형 aob도 마찬가지입니다 마찬가지로 우리 2분의 49라고 구할 수 있어요 두 개 더해서 우리가 구하고 싶은 삼각형 abc의 넓이를 몇이라고 구할 수 있어요 49제곱센티미터라고 구할 수 있겠네요 제가 여기 담임의 생략을 했는데 여기도 마찬가지로 제곱센티미터겠죠 자 답은 49제곱센티미터입니다

자 두 번째 필수 이제 볼 거고요 다음 중 그림의 평행사변형 abcd가 정사각형이 되는 조건을 구하라고 했어요 자 1번부터 볼게요 1번에 뭐가 나와 있냐면 ab와 ad가 같대요 자 평행사변형에서 ab의 길이와 ad의 길이가 같으면 얘는 무슨 사각형이에요 말은 뭐죠 자 그러면이 마름모에서 지금 oa랑 OD 길이까지 같아요 원래 평행사변형에서 그리고 마름모에서는요 대각선이 서로 수직으로 만나구요 그리고 서로 대각선이 2등분 되죠자 원래 이등분이 되는데 지금 OA 길이랑 OD 길이까지 같다고 해버렸으니까 우리가 어떻게 되는 거예요 대각선의 길이까지 같아지는 겁니다 대각선의 길이가 같고 서로 수직이는 거란다는 조건 이거는 뭐예요 정사각형의 성질이죠 그렇기 때문에 1번은 정사각형이 되네요 자 답은 1번이고요 밑에 있는 2번 3번 4번 5번도 하나씩 해볼게요 자 2번 보면 ab와 ad가 같다 그랬어요 그래서요 길이가 같아서 여기까지는 지금 마름모라고 알려주고 있는 거고요 ac랑 bd랑 수직이래요 자 그런데 얘는 이미 마름모의 성질인 거죠 그래서 그냥요 조건을 만족하면 말은 뭐가 되는 겁니다 자 3번 보면요 ac의 길이와 bd의 길이가 같다 그랬고요 지금 평행사변형에서 대각선의 길이가 같으면 무슨 사각형이에요 직사각형입니다 직사각형이고 각 abc가 90도래요 자 요것도 직사각형이라고 알려주는 거죠그렇기 때문에 결론적으로 직사각형이 나오는 거고요 4번 a 씨와 bb가 수직이고 여기가 수직이면 우리가 어떤 사각형이에요 말은 봅니다 마른몬데 ao의 길이랑 coa 길이가 같아요 자 이거는 이미 평행사변형에서 성립하는 성질이죠 그래서 얘는 말은 뭐고요 자 마지막 5번입니다 oa랑 oc랑 길이가 같대요 oa랑 oc랑 길이가 같으니까 어 요거는 근데 이미 평행사변형에서 성립하는 성질이죠 자 그냥 변화가 없고요 각 acb랑 acb랑 dac랑 각도가 같아요 자 이것도 평행사변형의 성질이죠 그래서 우리가 5번은 그냥 어떤 사각형이 그냥 평행사변형 그대로 남아 있는 겁니다 자 그래서 답은 1번이에요

우리가 지금까지 해서 직사각형 마름모 정사각형 그리고 맨 처음에 평행사변형까지 배웠었죠 자 사각형을 좀 많이 배웠었는데 그 각 성질들이 조금 헷갈릴 수 있어요 우리가 오늘까지 배운 내용 가지고 전체적으로이 사각형에 관한 정의 정지 복습 꼭 해주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다