[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 삼각형과 사각형의 성질 - 등변사다리꼴의 성질

자 오늘 배울 단어는 등변 사다리꼴의 성질이고요 오늘 일단이 사다리꼴과 등면사다리꼴 배우고 나서요 지금까지 배웠던 사각형의 어떤 특징과 성질 비교하는 것까지 배워보도록 하겠습니다 자 가장 먼저이 사다리꼴이 뭔지 좀 기억이 나나요 자 사다리꼴은요 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이고요 예를 들어서 요렇게 한 쌍의 대변이 평행한 사각형을 우리가 사다리꼴이라고 하는 거예요 자 이렇게 한 쌍이 평행하기만 하면 되는 거예요 얘랑 얘랑 이렇게 생긴 사다리꼴이 있을 수도 있습니다 요거랑 요거랑 평행하기만 하면 사다리꼴이니까 요런 사각형을 만들어 낼 수도 있죠 얘도 사다리꼴이에요 자 그러면 그 중에서 등변 사다리꼴이 무엇이냐 자사다리꼴인데 아랫변에 양 끝까지 크기가 같은 거예요 자 요거를 아랫변이라고 하고요 양 끝각이면요 각도와요 각도를 말하는 거겠죠 이 두 각도의 크기가 같은 사다리꼴이 등변 사다리꼴이에요 자 그래서 오른쪽 그림에서 ad와 bc가 지금 평행하다고 했고요요 각비와 각시가 같으면 등변사다리꼴이라고 하겠죠 그래서 각기와 각기가 같은 경우를 등변 사다리꼴이라고 합니다 자이 등변 사다리꼴의 성질에는 어떻게 어떤게 있느냐 우선 평행하지 않은 한 쌍의 대변 길이가 같습니다 여기에 있는이 ab와 여기에 있는 dc에 길이가 통일해요 자 또한 원래 사다리꼴은 대각선의 길이가 일치하지는 않습니다 대각선의 길이가 일치하지는 않는데이 등변사다리꼴인 경우에만 이 대각선의 길이가 서로 같아요

자 주의해야 될 점은 2등분하지 않습니다 그냥 대각선의 길이가 같은 것이지 서로 이등분하거나 수직으로 만나지 않아요 헷갈리지 않도록 잘 기억해 주시기 바랍니다 두 대각선의 길이만 같다는 것이요

자 개념 예제 볼 거고요 사각형 abcd에서 ad랑 bc랑 평행한 등변 사다리꼴이래요 자 그러면 첫 번째 문제에서 x값을 구하려고 하면 등장 사다리꼴이니까요 길이랑요 길이가 같겠죠 우리 x는 7이라고 쉽게 구할 수가 있습니다 자 두 번째 문제는요 마찬가지로요 면과요 변이 평행하니까 우리가요 밑에 있는 58도 58도가 어디랑 같겠어요 등변사다리꼴이기 때문에 여기가 58도인 겁니다 자 그러면 여기가 x면 여기도 마찬가지로 x고요 그러면 우리가이 사각형에서 x + x +58 + 58이 사각형 내각각 360도입니다 58도 두 개 더해주면 116도구요 2x가 ex가 360 -116이니까 계산해주면 244라고 나오네요 따라서 x도는 우리가 122도라고 구할 수 있고요 x값을 122라고 구할 수가 있습니다 자 조금 더 쉽게 구하려면요 우리가 어차피 왼쪽에 있는 각도랑 오른쪽에 있는 각도랑 같으니까 각각 합해서 180도가 나와야 돼요 그래서이 각도와요 각도를 더해서 180도다 이렇게 해서 x값을 좀 더 빠르게 구할 수 있겠죠 자 넘어가 보겠습니다 자 여러가지 사각형 사이의 관계인데 자 우리가 배운 사각형이 정말 많아요

자 첫 번째 보면요 우리가이 사각형이 임의의 사각형을 말하는 겁니다 임의의 사각형이 있는데 여기서어떤 조건이 추가되면 사다리꼴이라고 할 수 있어요 한 쌍의 대변이 평행하며 사다리꼴이라고 할 수 있습니다 이렇게 한 쌍의 대변인 병행한 사각형이며 사다리꼴이 되겠죠 자 그 사다리꼴에서요 다른 한 쌍의 대변인 다른 한 쌍의 대변이 마저 평행하면 어떤 사각형이 되냐 자 얘는 이미 평행했고요 얘는 평행했고 다른 대변이 병행하면 우리는 두 쌍의 대변인 평행한 사각형이기 때문에 얘를 평행사변형이라고 할 수 있습니다 자 우리 평행사변형은 어떤 조건이 추가되면 직사각형이 될 수도 있고요 다른 조건이 추가되면 마름모가 될 수도 있습니다 자 그럼 평행사변형이 직사각형이 되기 위한 조건은 뭐랑 뭐였어요 한 4가지 직각이거나 한 4가지 직각이어서이 내각의 크기가 모두 90도로 나오거나 두 대각선의 길이가 같거나이 두 조건 중 하나를 만족하면직사각형이 되는 거였죠 자 마름모가 되기 위해서는요 이웃하는 두 변의 길이가 같아서 이웃하는 두 변의 길이가 같아서 내변 길이가 모두 같아진 마름모가 되거나 또는 두 대각선이 서로 수직이어서 마름모가 될 수 있다 그랬습니다

자 그러면 우리 직사각형이 정사각형이 되는 조건도 배웠고요 마름모가 정사각형이 되는 조건도 배웠습니다 자 직사각형이 마름모가 되는 조건은 이웃하는 두 변의 길이가 같은 경우에 우리 정사각형이 되죠 우리 직사각형은 지금이 대변의 길이가 같지는 않아요 대변의 길이가 같지는 않은데 이웃하는 두 변의 길이 즉요 변의 길이와요 변의 길이가 같아지면 우리가 이렇게 정사각형이 된다고 할 수 있겠죠 자 또는 두 대각선이 서로 수직이라면 우리 직사각형은 대각선의 길이가 같고 서로 2등분만 했어요 근데 여기에 수직이라는 조건이추가되면이 정사각형이 된다 그랬죠 자 말은요 한 4가지 직각이면 정사각형이 될 수 있다 그랬습니다 자 마름모에서는요 각도와요 각도가 달랐는데 바다가 90도면 모든 각도가 90도로 되기 때문에이 정사각형이 된다 그랬어요 자 또한 두 대각선의 길이가 같으면 정사각형이 될 수 있다 그랬죠 마름모의 대각선은 서로 수직이 등분을 했어요 그런데 수직 이등분 하면서 대각선의 길이까지 같아져야 정사각형이 될 수 있다 그랬죠 자 그래서요 사각형 사이의 관계요 우리가이 머릿속에 완벽하게 들어가 있어야 됩니다 요거는 외워 주셔야 돼요 우리는 요거를 완벽하게 외우고 있어야 문제를 풀 수가 있습니다 자 밑에 여러가지 사각형의 대각선의 성질이고요 자 나 또 볼게요 복습하는 거죠 자 평행사변형은요 우리 대각선이 어떻게 돼요 병행사변형의 대각선은 서로 이렇게길이 같지 않고요 2등분만 합니다 수직으로 만나지도 않아요 2등분 말하고요 자 직사각형은 대각선이 어떻게 맞나요 직사각형의 대각선은 길이 같고요 서로 2등분하죠 수직으로 만나지는 않습니다 2등분하고 길이가 같아요 자 마름모는요 마름모는 우리가 대각선이 서로 수직이등분으로 만든다고 했습니다 길이는 같지 않아요 2등분하면서 수직인 거고요 정사각형은요 정사각형은 서로 2등분도 하고 길이도 같고 수직으로 만든다고 했습니다 자 마지막으로 등변 사다리꼴은요 우리가 오늘 배웠는데 등변 사다리꼴에서 대각선의 길이만 같다 그랬죠 서로 2등분하지도 않고 수직으로 만나지도 않는다 그랬습니다

자 마지막으로이 사각형의 각변의 중점을 연결하여 만든 사각형인데 자 예를 들어서 여기 사각형이 1번에 그려져 있는데이 사각형의 각 변의 중점을 찍고 나서이점들을이어서 사각형을 만들어낼 수가 있습니다 그러면요 사각형은 무슨 사각형이냐 병행사변형이 되는 거예요 우리가 이거를 정확하게 왜 평행사변형이 되는지를 설명하기에는 아직 뒤에 있는 닮음을 배우지 않았기 때문에 조금 복잡해요 그래서 오늘요 내용은 일단 간단하게 어떤 거를 중점을 연결하여 만든 사각형이 어떤 사각형인지 그것만 좀 공부해 보도록 할 거고요 이게 정확하게 왜 그런지는 나중에 닮음까지 배우고 나서 다시 한번 복습하면서 확인해 보는 걸로 할게요 자 여기 평행사변형은요 정행사변형의 중점을 연결하면 어떤 사각형이 되느냐 이렇게 또 하나의 평행사변형이 만들어지는 겁니다 자 우리 직사각형을 한번 해 볼 거예요 자 집사각형은요 직사각형의 중점을이었을 때 무슨 도형이 되냐 마름모가 됩니다 자 왜냐면 우리 직사각형이 중점을 이으면 요런 삼각형 4개가만들어지는데요 삼각형들은 모두 합동이죠 직각을 가지고 있고 변두개가 같으니까 SAS 합동이 되는 겁니다 그러면 모든 삼각형의 빗변 길이가 동일하니까 우리 안에서 만들어지는 사각형이 내변의 길이가 같은 사각형으로 마름모로 나오는 겁니다 자 4번 마름모구요 마름모의 중점을 이으면 무슨 사각형이 되냐 바로 직사각형이 됩니다

자 정사각형의 중점을 이은 사각형은요 정사각형이 중점을 이은 사각형은 정사각형이 돼요 이렇게 정사각형이 되고요 우리 요것도 우리 3번하고 비슷하게 확인할 수가 있는데 여기에 있는 4개 삼각형이 모두 합동이고요 모두 합동이고 그 각각의 삼각형이 이등변 삼각형이어서 여기 각도를 구하면 우리가 45도라고 구할 수 있어요 여기도 45도죠 그러면 여기를 90도라고 구할 수 있겠네요 그래서 4가지 모두 90도고 내변의 길이가 모두 같아서정사각형으로 나오는 겁니다 자 마지막으로 등변 사다리꼴이고요 우리 등변 사다리꼴의 중점을 이으면 마름모가 나옵니다 자요 내용도 우리가 암기하고 있으면 좋구요 그림을 좀 많이 그려가면서 어떤 사각형이 나오는지 눈으로 익숙해지는 것도 좋습니다 외울 때 꼭 사각형 그려가면서 외우시기 바랍니다 자 두 대각선이 서로를 수직 이등분하는 사각형을 모두 고르라고 했고요 자 하나씩 봅시다 서로 수직 이등분 이래요 그러면 제가 수직인 걸 먼저 골라볼게요 정행사변형의 대각선 서로 수직인가요 아니죠 직사각형 아니구요 마름모 수직인 거 맞습니다 우리 마름모는 내면의 길이가 같은 사각형이고 대각선을 그었을 때 서로 수직으로 만난다 그랬어요 자 그리고 2등분도 맞죠 그래서 3번 우리 대각선이 서로 수직 이등분하는 사각형이고요 4번 정사각형입니다 정사각형의 대각선은 어떻게 돼요 길이 같고서로 수직이고 2등분까지 합니다 그래서 4번도 맞구요 자 등변 사다리꼴은 어떻다 그랬어요 길이만 같고 수직도 아니고 2등분도 아니라고 했습니다 답은 3번 4번이에요 자 필수 예제 볼 거고요 옳은 것을 보기에서 모두 고르는 문제인데 자 요런 문제는요 우리가 뭐로 활용하냐면 앞에서 배웠던 사각형관의 관계를 나타내는 그림을 활용해야 돼요 사각형이면 우리가 어떤 조건이 달렸을 때 여기서는 우리가 한 쌍의 대변이 평행하다는 조건이었죠 그 조건이 달렸을 때 사다리꼴이 된다 그랬어요 그러면 우리는 이걸 가지고 뭐라고 할 수 있냐면 사다리꼴은 싹과 사각형인 겁니다 사각형의 조건이 추가돼서 사다리꼴이 된 거니까 모든 사다리꼴은 사각형이라고 할 수가 있는 거예요

자 사다리꼴의 조건이 달리면 병행사변형이 된다고 했고요 평행사변형이 된다고 했고 여기서 어떤조건이 달리냐에 따라서 우리 직사각형이 될 수도 있고 직사각형이 될 수도 있고 마름모가 될 수도 있다 그랬습니다 자 그리고 각각 조건이 붙어서 뭐가 될 수 있어요 정사각형이 될 수 있다 그랬죠 자 그래서 이 그림을 우리가 외우고 있어야 되고요 이거를 활용해서 문제를 풀어주면 됩니다 기억 직사각형은 병행사변형이다라고 물어봤어요 우리 평행사변형에서 조건이 붙어서 직사각형이 되는 거니까 우리 또 직사각형 그려놓으면 직사각형을 그렸지만 얘는 우리가 평행사변형이라고 할 수 있는 사각형입니다 그래서 직사각형은 평행사변형이다 맞는 말이고요 정사각형은 말은 뭐다 요것도 맞네요 자 정사각형은 직사각형이다 요것도 맞죠 평행사변형은 사다리꼴이다 평행사변형은 사다리꼴이다 맞구요 마지막 등변사다리꼴은직사각형이다라고 했는데 우리 등변사다리꼴은 요렇게 그림이 그려져요 이렇게 평행하고 요가 크기랑 요각 크기가 같은 사각형이 등변사다리꼴인데 직사각형이라고 할 수는 없죠 그래서 미음은 틀렸습니다 답은 기역 니은 디귿 리을이라고 나오고요 우리가 또 어떤 경우에 틀린 보기가 되냐면 요런게 되어 사다리꼴은 병행사변형이다 자 이렇게 거꾸로 가면 틀린 겁니다 병행사변형이면 사다리꼴이다 이렇게 될 때만 맞는 겁니다 자 다음 필수 예제구요 대각선이 길이가 같은 사각형을 모두 고르라고 했어요 자 기억 사다리꼴이네요 사다리꼴은 우리 대각선의 길이가 다를 수도 있죠 이렇게 생긴 사각형도 사다리꼴인데 대각선의 길이가 항상 같은 거는 아닙니다 등변 사다리꼴은 대각선의 길이가 어떻다 그랬어요 같다 그랬죠 우리 등변 사다리꼴은 대각선의 길이가 같고어떤 2등분이나 수직 조건이 없다 그랬습니다 니은 맞고요 디귿 평행사변형에서도 대각선의 길이 같나요 자 이것도 같지 않죠 우리가요 길이와요 길이는 같지 않습니다 릴 직사각형이에요 자 직사각형은 대각선 길이가 동일하죠 대각선의 서로 2등분 하면서 길이까지 같습니다 자 마름모는요 어떻게 돼요 자 마름모는 대각선의 길이가 같지 않습니다 얘는 서로 수직 이등분만 하죠 그래서 미음 틀렸고요 자 마지막 비읍 정사각형입니다 정사각형은 대각선이 서로 수직이면서 2등분 하면서 그리고 길이가 모두 같다 그랬습니다 답은 리을 리을 비읍이에요

자 여기까지 해서 오늘 배울 내용은 모두 끝났고요 오늘이 사다리 사다리꼴을 배웠는데 사다리꼴 말고 그 뒤에 사각형에 관해서 정리를 했어요이 내용을 정말 완벽하게 외우고 이해하고 있어야 됩니다 자끝나고 복습 꼭 해주시고요 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다