[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 도형의 닮음과 피타고라스 정리 - 도형의 닮음

자 이번 시간 배울 단어는 도형의 닮음이고요 오늘 닮음을 처음 배우게 되는데 이 닮음은 학생들이 문제 풀 때 조금 어려워하는 단어 중 하나에요 자 그러면이 닮음이 뭔지 먼저 보도록 할게요 닮음이 뭐냐면 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소를 한 것이 다른 도형과 합동이 되면 우리는이 두 도형을 서로 닮음인 관계에 있다 또는 서로 닮음이다 이런 식으로 표현을 합니다 자 그러면 지금 오른쪽에 삼각형 두 개가 있는데 삼각형 abc를요 우리가 확대 또는 축소를 해서 삼각형 def와 합동이 되도록 만들 수 있으며 우리는 삼각형 abc와 bf가닮음이다 이렇게 표현을 할 수가 있는 겁니다 또한 닮음인 관계에 있는 두 도형을 우리는 닮은 도형이라고도 표현을 할 수가 있어요

자 그래서 지금 삼각형 abc와 def가 닮음인데이 abc를 확대해서 def가 되는 거면 각각 대응되는 위치가 있어요 자 꼭지점 a는요 꼭짓점 a는 확대해서이 d와 일치하는 점이 되는 거죠 자 그렇게 일치하는 점을 우리는 대응점이라고 하고요 자요 각도는 확대를 했을 때이 각도와 일치를 하겠죠 그러면 대응각이라고 합니다 자 그리고 우리 bc를 확대하면 bc를 확대하면 ef와 일치를 하겠죠 자 이런 경우에는 대응변이라고 합니다 자 같은 위치에 있는 꼭짓점 그리고 각도 그리고 변을 각각 대응점 대응과 대응변이라고 하는 거예요 자 우리이 용어도 알아두시기바랍니다 자 그러면 우리가 이렇게 두 닮음인 삼각형을 기호로는 어떻게 표현을 하느냐 기호로는 요렇게 삼각형 abc와 삼각형 def가 닮음일 때는 요런 식으로 씁니다 물결무늬가 조금 비슷하죠 물결무늬랑 이런 식으로 써주고요 여기서 중요한 것은 지금 삼각형 abc랑 닮음이면 그대로 순서대로 순서대로 삼각형 def에 닮음이라고 써 줘야 됩니다 갑자기 edf나 이런 식으로 우리가 순서를 바꾸면 안 되고요 대응점 순서대로 우리가 요렇게 써 줘야 돼요 자 꼭짓점은 대응하는 순서로 써 줘야 됩니다 자 그럼 밑에 개념 예제 한번 볼게요 자 지금 그림에서 사각형 abcd랑 사각형 efgh랑 닮음이래요 자 점 a에 대한 점을 찾으라고 했고요 점 a의 대응점은점2죠 요거는 점2입니다 자 선분 bc의 대응변은요 전분 bc의 대응변은 요기적 그러면 선분 fg라고 써주면 되겠네요 자 됐죠 넘어가 볼게요 자 그러면 닮은 도형의 성질인데요 자 우리가 서로 닮은 두 평면 도형에서 첫 번째로 대응변의 길이의 비는 일정합니다 자 여기 무슨 말이냐면요 ab의 길이와 de 길이와 gb는 AC대 df와 같구요 요거는 bc와 ef와도 같아요 자 각각 대응변의 길이의 비는 항상 똑같이 나오는 거고요 예를 들어서 여기가 3이고 여기가 6이에요 그리고 여기 길이가 2라고 합시다 그러면DF 길이를 우리가 모르지만 길이비가 일정하다는 것을 가지고 우리가이 길이를 즉 df의 길이를 구할 수가 있는 겁니다 자 3대 6이 지금 길이고요요 길이비와 2대 x라는 길이비가 같기 때문에 우리는 3x는 12로 x는 4라고 구할 수가 있는 거예요 자 아니면 요런 식으로도 할 수 있습니다 자 몇 배예요 두 배죠 그러면 얘도 두 배여야 되는 거예요 그래서 x는 4구나 요런 식으로 우리가 길이를 찾을 수도 있습니다

자 두 번째는요 대응각의 크기는 각각 같다라고 나와 있죠 자 우리 각은요 어떤 비율이 아닙니다요 각도랑 요각도랑 일치하고요요 각 b는 각 2랑 일치하고 여기 있는 각시는 여기 있는 각 f와 같습니다 자 그래서 서로 닮은 두 평면도형에서 대응변의 길이 비는 일정하고 대응각의 크기는 같다는 거요 내용까지기억해 두시기 바랍니다 자 이때요 우리가 지금이 길이 비를요 3대 6 또는 2:4 즉 1대 2라는이 비율을요 우리는 닮은비라고 합니다 자 닮은 부도형에서 대응변의 길이비를 우리가 닮은 비라고 해요 닮은 비 자 닮은 비라 그러면 대응변의 기립이구나 이렇게 하시면 됩니다 자 입체 도형에서도 닮음이 있고요 우리 입체 도형에서는 마찬가지로 대응하는 모서리의 길이비는 일정하고 대응하는 면은 서로 닮은 도형입니다 자 대응하는 모서리 길이비는 모두 일정한 거예요 요거대 요거는 뭐 다른 모서리를 잡아도 위치만 갔다면 요거와 같구요 뭐 또 다른데도 똑같겠죠 요기대 요기도 같습니다 자 이때 대응하는 면은 서로 닮은 도형이라고 했고요 여기에 있는 abcd라는 면과a 프라임 B 프라임 C 프라임 디프라임이라는요 면이 저로 닮음인 거예요 각 면은 면끼리 대응이 되는 면이면 모두 닮은 도형이 되는 겁니다 자 그럼 넘어가 볼게요 자 이번에 이 닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 b인데요 자 만약에 길이의 비가 1대 2인 즉 닮은 비가 1대 2인 정사각형이 있다고 해볼게요 이렇게 생긴 정사각형과 이렇게 생긴 정사각형이 있어요 자 기립이 즉 닮은 비는 1대 2지만 우리가 넓이 비는 몇대 몇일까요 넓이 비는 1대 4인 겁니다 왜냐면 길이의 비가 1대 2면요 제가 6일을 a라고 했을 때요 길이는 2a가 되겠죠 자요 길이가 a고요 길이도 2a일 거예요그러면 넓이는이 길이를 두 번 곱한 거기 때문에 A 제곱 때 4a 제곱이고요 a²을 나눠주면 1대 4로 나오는 겁니다 즉 닮은 비를 가지고 넓이비를 찼을 때는 어떻게 하면 되겠어요 닮은비가 m데n이면 제곱을 해서 m제곱 때 n제곱이라고 하면 되는 겁니다 자 우리가 길이를 9번 곱해서 넓이를 구하기 때문에 두 번 곱해서 넓이를 구하기 때문에 제곱을 해서 닮은 도형의 넓이 비를 구하는 겁니다

자 그러면 제가 이번에는 정육면체가 있다고 해볼게요 정육면체가 있다고 할 거고요 길이의 비가 마찬가지로 1대 2라고 할게요 자 닮은 비 길이비가 1대 2면요 한병 길이를 각각 a랑 ea라고 했을 때 부피 b는 어떻게 되겠어요 자 우리 부피를 구할 때는 가로 곱하기 세로 곱하기 높이기 때문에 우리왼쪽에 있는 정육면체는 A3 제곱이고요 오른쪽에 있는 정육면체는 8의 3제곱입니다 즉 부피비는 1대 8이라고 나오죠 자 그러면 닮은 비를 가지고 우리가 부피비를 계산을 할 때는 어떻게 해야 돼요 우리 닮은비가 mdn이면 세제곱을 해주는 겁니다 M3 제곱 때 n³으로 우리가 세제곱을 해서 부피비를 구할 수가 있어요 자 가로 세로 높이를 곱하기 때문에 세 번 곱하기 때문에 세제곱을 해주는 겁니다 자 밑에 있는 개념 예제 볼 거고요 다음 그림의 원기둥 ab가 서로 닮은 도형일 때 x의 값을 구하라고 했네요 지금 닮은 비가 몇대 몇인지 보면 여기가 8이고 여기가 12면 몇대 몇이겠어요 4대 5죠 자 8:10이니까 8등 10이니까 우리가 2로 나눠주면 4대 5라고 길이비를 구할 수가 있고요 그게 지금요 반지름4랑요 반지름 x의 길이비도 똑같아야 되기 때문에 4대 x와 같습니다 따라서 x를 5라고 구할 수가 있겠네요 자 됐을까요 넘어가 볼게요

자 첫 번째 필수 예제구요 다음 중 항상 닮은 도형이라 할 수 없는 것을 모두 고르라고 했어요 자 닮은 도형이라 할 수 없는 것은이라고 했는데 자 또 정삼각형이면 우리 정삼각형은 모양이 모두 똑같죠 우리가 확대 축소로 모두 합동이 되도록 만들어 낼 수가 있습니다 그렇기 때문에 얘는 항상 닮은 도형이고요 자 두 직사각형의 경우는 아니죠 우리 직사각형 같은 경우는요 이렇게 길쭉한 직사각형일 수도 있고 조금 위로 조금 더 긴 요런 직사각형일 수도 있습니다 자 우리 두 도형을 닮음이라고 할 수 없기 때문에 우리 2번은 항상 닮은 도형이라고 할 수 없는 도형이고요 자 세 번째 두 원은요 우리가 모양 향상 똑같죠 모양이 항상똑같기 때문에 요거를 확대해서 이렇게 만드는게 항상 가능합니다 그렇기 때문에 두 원도 항상 닮은 도형이고요 정육면체도 우리가 모든 면의 길이가 같은 입체 도형이기 때문에 이렇게 생긴 정육면체도 확대 축소를 통해서 우리가 얼마든지 또 다른 정육면체로 만들어 낼 수가 있습니다 자 마지막으로 반지름의 길이가 같은 부채꼴인데 부채꼴은 반지름 길이가 같아도 반지름길이가 같아도 우리가 확대 축소를 통해서 다른 도형으로 만들어 낼 수는 없죠 왜냐면 중심각의 크기가 다르기 때문에 우리가 요거를 확대한다 그래서 얘를 만들어 낼 수는 없는 겁니다 그래서 5번도 답이에요 답은 2번하고 5번입니다

자 두 번째 필수 예제구요 다음 그림의 두 삼각 기둥 ab가 서로 닮은 도형일 때 다음을 구하라고 했네요 지금 각각 여기 8cm랑4cm가 주어져 있어요 그러면 닮은 비는 몇대 몇이에요 닮은 비는 길이비를 말하는 거고요 8대 4니까 우리가 2대 1이라고 구할 수 있겠네요 자 삼각기둥 a의 겉넓이가 288이래요 그러면 우리 넓이비가 넓이비가 몇대 몇이니까 넓이 비는 닮은 비를 제곱해서 구하니까 4:1이죠 넓이비가 4:1이니까 우리 삼각기동 b의 건넓이를 x라고 하면 288대 x죠 자 여기 제곱센티미터라고 하겠습니다 자 4:1이 288대 x와 같아야 되니까 우리 x를 뭐라고 구할 수 있는 거예요 72라고 구할 수 있는 거겠죠 따라서 삼각지동 b의 겉넓이는 72제곱 cm입니다 자 그러면 두 번째는 이번에 b의 부피가 30 세제곱센티미터래요 자닮은 비가 2대 1이면요 부피비는 몇대 몇이에요 우리 부피비는 세제곱을 해서 구하기 때문에 8:1이구요 우리 a의 부피를 y 세제곱 cm라고 하면 y = 30과 같아서 y를 240이라고 구할 수가 있습니다 따라서 삼각기둥 a의 부피를 우리는 240cm라고 구할 수가 있겠죠

자 여기까지 해서 우리가 오늘 닮음에 관한 기본적인 내용들 배워 봤어요 우리 닮음은 학생들이 문제를 풀 때 조금 어려워합니다 복잡한 도형에서 닮음인 도형을 찾는게 좀 어렵고요 우리가 아직 닮음을 다 안 배운 거기 때문에 다음 시간도이어서 좀 열심히 배워보도록 하겠습니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다