[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 도형의 닮음과 피타고라스 정리 - 삼각형의 닮음 조건

자 이번 시간 배울 단어는요 삼각형의 닮음 조건입니다 우리가 직각삼각형에서의 합동 조건도 배웠고 일반적인 삼각형에서의 합동 조건도 배워봤어요 자 삼각형이 합동이기 위한 조건이 있듯이 우리 삼각형이 닮음이기 위한 조건도 있습니다

자 그 닮음 조건에는 3가지가 있고요 첫 번째로 제 쌍의 대응변의 길이의 비가 같은 경우입니다 자 그런 경우에는 SS 닮음이라고 해요 자 오른쪽 그림에서 보면 만약에 요고데 요거랑 요거대 요거랑 요거대 요구가 모두 같으면 즉 세상에 대응변에 기레비가 모두 같으면 우리는 두 삼각형이 닮음이라고 할 수 있는 거고요 그때 SS닮음이라고 하는 겁니다 자 우리 이런 식으로 표현이 되겠죠 a대 a 프라임은 비데 비프라임을 C대 C 프라임 자 여기 첫 번째 닮음 조건이고요 두 번째 닮음 조건은 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같은 경우 SAS 닮음이라고 합니다 자 두 쌍의 대형면의 길이비가 같아요 즉 요고데 요거는 요거대 요거랑 같고요 그 사이에 있는이 인각인 각 b랑 각 비프라임이랑 같은 경우에 우리는 SAS 닮음이라고 합니다 자 이렇게 a대 a 프라임이 c-c 프라인 거 같고 요거가 같고 그 사이에 있는 끼인각의 같으면 닮음이다 여기에 두 번째 SAS 닮음입니다 자 마지막으로요 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같은 경우에 우리는AA 닮음이라고 해요 자 대응각의 크기가요 각이랑 각이 프라임이랑 같고 각비랑 각 B 프라임이랑 같은 경우에 우리는 AA 닮음이라고 하는 거예요 자 이렇게 두 각도가 같으면 나머지 한 각도 자동으로 갔겠죠 자 그래서 3강의 크기가 같은 경우라고 생각해도 무방합니다 자 어찌됐든 두 개만 같으면 두 개만 같으면 우리는 두 삼각형이 닮음이다라고 할 수 있는 겁니다 이렇게 AA 발병까지 우리 닮음 조건 SS 닮음하고 SAS 닮음하고 aa 닮음까지 배워봤습니다

자 개념 예제 볼 거구요 다음 중 서로 닮은 삼각형을 모두 찾아 기호로 나타내라 그랬어요 자요 첫 번째 삼각형부터 보겠습니다 자 여기 있는 삼각형 abc를 보면 세변이 길이가 주어져 있어요 그러면 닮음인 걸 좀 찾기 위해서 대변 길이가 주어져 있는 삼각형을 보면요 삼각형이 있고요길이의 비가 어떤지 좀 보겠습니다 제가 가장 긴변의 길이가 8이고요 여기는 12죠 두 개 지금 길이비가 몇대 몇이에요 2대 3이죠 자 여기에 있는 4랑 6을 비교해도 2:3이고요 6이랑 9를 비교해도 2:3입니다 자 그러면 세상에 대응변의 길이의 비가 모두 같기 때문에 두 삼각형은 닮음이고요 삼각형 abc가 뭐랑 닮음이에요 삼각형 nmo랑 닮음이죠 대응변의 세상에 대응변의 길이의 비가 같은 닮음이니까 SS 닮음입니다 자 요번엔요 삼각형이랑 닮음인 삼각형을 찾아 줄 거고요 지금 각도가 60도 35도로 나와 있는데 제가 여기 각도를 구해주면 우리 내각의 합은 180도니까 여기를 85도라고 구할 수가 있죠 자 그러면 각도가 같은 삼각형을 찾아주면 요기요 삼각형이랑 각도가 같네요 여기 60도 여기 85도 이렇게 각도 두쌍이 같기 때문에 우리 두삼각형 닮음이라고 할 수가 있고요 삼각형 def랑 뭐랑 닮음이에요 삼각형 lkd랑 닮음이죠 무슨 닮음이에요 불쌍해 대응하게 크기가 같으니까 aa 닮음입니다 자 마지막으로요 두 삼각형 남은 거 비교를 할 건데 지금 여기 10에 8이죠 자 요 삼각형 보면 길이가 5랑 4라고 주어져 있는데 여기 있는 10이랑 여기는 5랑 길이비가 2대 1이고요 여기 있는 팔이랑 여기 있는 사도 2:1이죠 자 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고요 그 사이에 있는 끼인 가게크기가 42도로 같으니까 두 삼각형은 닮음이네요 삼각형 gih랑 뭐랑 닮음이에요 삼각형 QR b랑 닮음입니다 요거는 SAS 닮음이죠 자 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요 자 이번엔 직각삼각형의 닮음이고요 가게이가 90도인 직각삼각형 abc에서 꼭짓점 a에서 지금 여기가 90도인데 빗변 bc의 내린 수선의 발을 h라고 하면요 지금 삼각형이 이렇게 양쪽에 두 개 생겨요 두 개 생기는데 제가 여기 각도를 한번 좀 계산을 좀 해 보도록 할게요 제가 여기 각도를 a라고 할 거고요 여기 각도를 b라고 하겠습니다 그러면 여기 90도까지 있으니까 되게 더해서 180도가 나와야 되고요 그래서 우리가 a+b는 뭐라고 나오는거예요 a+b는 90도라고 나오는 거죠 자 두 개를 더해서 90도입니다 자 그런데 여기 각 a를 보면 얘랑 얘를 더해서 90도가 나와야 되는데 여기가 b니까 여기를 우리가 뭐라고 할 수 있어요 a라고 할 수가 있죠

자 이번엔 삼각형 ach에서 보면요 여기도 마찬가지로요 삼각형 안에 들어가 있는 각도를 모두 더해서 180도가 나와야 되는데 a가 있고 90도가 있으니까 여기가 몇이겠어요 b인 거죠 자 이렇게 삼각형의 각도를 좀 찾아봤는데 삼각형 abc에서요 우리가 각도가 어떻게 들어가 있어요 90도 하나 a 하나 b 하나 들어가 있죠 자 삼각형 hba에서는요 hba에서도 90도 하나 a 하나 b 하나 들어가 있고요 삼각형 hac에서는90도 하나 a 하나 b 하나 들어가 있습니다 자 이렇게 세 삼각형의 들어있는 각도가 모두 같으니까 우리 삼각형이 모두 닮음이라고 할 수가 있는 겁니다 aa 닮음이죠 자 그러면이 닮음이 삼각형들을 가지고 우리가 몇 가지 공식을 좀 유도하도록 하겠습니다 자 삼각형 abc랑 hba에서요 ABD hb는 ab데이 hb는 자 요거는 뭐냐면요 삼각형 abc에서 가장 짧은 변의 길이대 삼각형 abh에서 abh에서 가장 짧은 변의 길이죠 자 짧은 변의 길이대 짧은 변의 길이는요 여기 BC 자 b c는 근삼각형에서 빗변의 길이죠 그리고 bc는 ba는요 ba는 삼각형 abh에서의 빗변 길입니다 자 그래서AB대 hb는 bcd ba가 성립을 하겠죠 우리 대형변의 길이비가 같으니까 성립을 하고요요 비례식의 성질로 풀어주면 AB 제곱은 bh 곱하기 bc인 겁니다 자 요거는 요거 제곱은요 ab의 제곱은요요 ab의 제곱은 요거 곱하기 요거인 겁니다 자 이번엔 삼각형 abc랑 삼각형 hac에서 볼 거고요 BC대 a씨는 자 BC대 ac면 어디를 얘기하는 거예요 요고데 요거죠 자 우리 삼각형 abc에서의 빗변과 삼각형 ahc에서의 빗변입니다 자 빗변대 빗변은 acd HC ac는 뭐예요 두 번째로 긴 길이죠 a실에 삼각형 ahc에서삼각형 ahc에서 두 번째로 긴 길이는 hc입니다 그래서 ac대 hc도 같겠죠 요렇게가 같아요 자 그러면 요거를 또 마찬가지로 비례식이 성질로 풀어주면 AC 제곱은 CH 곱하기 12구요 그 말은 우리가 A c의 제곱 요거의 제곱은 요거의 제곱은 이거 곱하기 이겁니다 자 마지막으로요 삼각형 hba랑 삼각형 hac랑 닮음에서 삼각형 hba대 삼각형 hba와 삼각형 hac가 닮음이니까 bhd ah는 자 bh랑 ah는 어디예요 여기랑 여기죠 자 bh는요 삼각형에서는 짧은 길이를 말하는 거고요 ah는 삼각형 ahc에서 짧은 길이를 말하는 거죠 그거네 그거는 ah-ch래요 자 ah는요 삼각형abh에서 두 번째로 긴 길이고요 삼각형 ahc에서 두 번째로 긴 길이는 hc죠 그래서요 길이비와 같습니다 자 따라서 Ah 제곱은 HB 곱하기 hc고요 우리가요 삼각형에서 어디를 말하는 거냐면 Ah 제곱은 요거의 제곱은 2고 곱하기 이거인 겁니다

자 우리 세 가지 공식들이 잘 외우고 있어야 되고요 앞으로도 많이 나옵니다요 삼각형은 자 확실하게 외우고 있어야 되고 우리가 정말 중요한 건 이렇게 항상 닮음을 따지기에는 많이 복잡해요 우리가 매번 닮음을 따져가면 이거를 할 수 없으니까 공식을 외워서 문제를 풀어주는게 좋고요이 닮음인 삼각형에서 찾았던 과정들을 여러분이 복습하면서 꼭 해주셔야 돼요 정확하게 뭐랑 뭐랑 닮음이고 뭐랑 뭐랑 길이비가 같은지 그거를 직접 해보면서직접 해보면서 연습을 해줘야 됩니다 연습하고 공식 외우는 것까지 꼭 복습할 때 해주시기 바랍니다 자 그러면 넘어가서 개념이 예제 한번 풀어보도록 할게요 다음 그림과 같은 직각삼각형 abc에서 x의 값을 구하라고 했고요 자 공식을 쓸 겁니다 요거의 제곱은요 요거 곱하기 요걸로 해주면 되겠죠 따라서 x의 제곱은 3 곱하기 여기서부터 여기까지 길이는 12죠 자 36입니다 자 지금 제곱에서 제곱에서 36이 나온대요 x의 값은 뭐겠어요 제곱에서 36 나오는 건 6일 겁니다 우리가요 도형의 길이는 요렇게 양수로 나와야 되기 때문에 x는 6이라고 나오는 거예요 자 넘어가 볼게요 자 다음 그림에 abc와 def가 닮은 도형이라 할 수 없는 것은 인데요 하나씩 보도록 할게요add는 요고데 요거는 비데 2는 C대 애플이에요 자 이건 무슨 닮음이에요 SS 달붐이죠 자 닮음이라고 할 수가 있습니다 자 2번 볼게요 거기에다가 각비랑 각이랑 같아요 자 그럼 얘는 무슨 닮음이에요 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 사이에 끼인각의 크기가 같으니까 SAS 닮음입니다 자 요번엔 가게이랑 각기랑 같고 여기랑 여기랑 같고 각시랑 가게프랑 같아요 자 이건 무슨 닮음이에요 aa 닮음이죠 자 4번 볼게요 a 대디는 bd랑 같고 요거대 요거는 요고데요거랑 같고 여기는 여기랑 같아요 자 닮음인가요 자 요거는 닮음이 아닙니다 SAS 닮음이라고 할 수가 없어요 왜냐면 지금 여기 각도를 두어진게 끼인 각도가 아니기 때문에 우리가 요거는 닮음이라고 할 수가 없습니다

자 마지막 5번 볼 거고요 2분의 a는 2분의 b는 C대 f라고 되어 있는데 이거는 뭐예요 2분의 a는 결국 a의 d를 준 거죠 add는 B대 2는 C대 f고요 요거는 우리 1번하고 같은 조건 준 거죠 결국엔 SS 닮음입니다 그래서 답은 4번이 되겠네요 자 두 번째 필수 예제구요 다음 그림의 삼각형 abc와 def가 닮은 도형이 되려면 다음 중 어느 조건을 추가해야 되냐고 물어봤어요 자 여기 50도구요 여기 60도고 여기 8cm4cm 주어져 있네요 자 그러면 1번부터 볼게요 ac의 길이가 8cm고 df의 길이가 4cm예요 자 그러면 닮음이라고 할 수가 있나요 자 달봄이라고 할 수가 없죠 자 지금 길이비가 2:1이랑 2대1로 갔지만 사이에 끼인 각도가 같은지 아닌지는 모르기 때문에 1번은 닮음이라고 할 수가 없습니다 자 그러면 이번엔 2번 볼게요 ac는 10cm 구요 d는 5cm예요 자 요거는 우리가 어떤 길이배를 찾을 수가 없죠 어떤 대형변이 길이 비를 찾을 수가 없습니다 여기 하나밖에 못 찾죠 그렇기 때문에 요것도 닮음이 된다고 할 수가 없겠네요 자 요번엔 ab가 12cm 구요 여기가 12cm고 6cm에요 자 두 쌍의 대형변의 길이비가 2대 1로 나오는 거는 됐는데 우리가 사이에 끼임 사이에 끼인 각도의 크기가 같지 않으니까요것도 닮음이라고 할 수가 없습니다 자 요번에는 4번이고요 각시가 45도 여기가 45도 각 d가 45도래요 자 그러면 우리 남은 각도 한번 구해봅시다 여기 몇 도예요 우리 85도라고 나옵니다 여기는요 75도라고 나와요 자 두 쌍의 각도가 같지 않기 때문에 같은 각도가 하나도 하나밖에 없죠 여기 45도 밖에 없기 때문에 요거는 닮음이라고 할 수가 없겠네요 자 그러면 마지막 5번 물고요 자 5번을 보면 가게인은 70도 여기는 70도 각인은 50도 자 이렇게 주어져 있네요 그럼 여기 각도 60도라고 찾을 수 있고요 여기 각도 70도라고 찾을 수 있습니다 자 그러면 각도의 크기가 모두 같고요 우리 두 쌍의 대응각의 크기가 같다고 할 수 있기 때문에 AA 닮음이라고 할 수가 있죠따라서 5번이 답입니다

자 여기까지 해서 우리가 닮음 조건 모두 맞췄고요 우리가 오늘 헷갈리는 내용들도 많이 했어요 닮음 조건도 있고 직각삼각형에서 어떤 공식들도 나왔으니까 제가 아까 말씀드렸던 것처럼 그 부분 복습하고 우리가 공식 외우는 것까지 꼭 좀 철저하게 해주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다