[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 도형의 닮음과 피타고라스 정리 - 평행선 사이의 선분의 길이의 비

자 이번 시간 배울 단어는 평행선 사이에 선분의 길이의 비 입니다 자 오늘 우리 엄청나게 많은 그림들이 나와요 그림들이 나오는데 그 그림들에서 어떤 성질이 성립하는지 정확하게 알아두셔야 됩니다

자 우선요 우리 삼각형 abc에서 주변 ab와 AC 또는 그 연장선 위의 점을 각각 d랑 2라고 할 때 bc랑 d가 병행하면 요런 성질이 성립을 한대요 자 우리 식보다는 그림으로 보는게 좋을 것 같아요 자 여기 지금 삼각형 abc가 있는데요 삼각형 abc에서 점d랑 2를 잡을 거예요 우선 어떻게 잡을 거냐면 선분 AB 위에 있는 점d와 전분 AC 위에 있는 점 2를 잡으면요 요렇게 d를 그릴 수가 있는데이 de를 그 중에서도 어떻게 잡았냐면이 d랑 bc가 평행하도록 점d랑 점 2를 정해준 거예요 자 이렇게 평행선을 그렸을 때요 우리 여기 있는 삼각형 ade와 삼각형 abc가 뭐겠어요 닮음이죠 자 무슨 닮음일까요 두 삼각형은 여기 각이 가게가 공통이고요 ad랑 abc랑 여기가 동의각으로 크기가 같습니다 자 그래서 닮음이기 때문에 ab를 d가 성립을 하는 겁니다 그래서 요게 성립을 하는 거예요 자 우리 어떤 삼각형과 어떤 삼각형이 닮음인지 닮음인 삼각형을 찾는 것이 중요합니다 자 그러면 계속 해 볼 건데 아까는 선분 ab와 AC 위에 점d와 점이를 잡았다면 요번에는 삼각형 abc에서요 ab의 연장선과 ac의 연장선 위에 점디랑 점 2를 잡을 거예요 그러면 여기에 있는이 bc와 여기 있는 de가 병행하죠 병행하도록 잡은 겁니다 자 이렇게 잡아도 닮음비 삼각형이 있는 거예요 삼각형 abc와 삼각형 ade가 닮음이고요 무슨 닮음이냐면 여기도 여기 있는 가게가 공통이고 각 abc랑 ade가 동의각으로 갔습니다 그래서 마찬가지로 a b대 ad는 a 지대 a는 BC대 d가성립하는 거예요 자 그림이 비슷하게 생겼죠 우리가 사실은 같은 그림인데 어떻게 점을 찍었느냐에 차이가 있는 거예요 첫 번째 그림은 삼각형 abc에서 평행한 성분 be를 ab와 a c 선분 위에 잡은 거고요 두 번째 그림은 삼각형 abc에서 bc와 평행한 성분 de를 연장선 위에 잡아 준 겁니다

자 마지막 세 번째 그림 볼 거고요 삼각형 abc에서 이번에도 마찬가지로 연장선 위에 연장선 위의 평행한 성분을 만들어 줄 건데 반대 방향에서 만들어 줄 거예요 이렇게 된 연장선과 이렇게 된 연장선 위에 이렇게 그려주면요 여기도 마찬가지로 삼각형 a b c 와 삼각형 ade가 닮음이에요삼각형 a b c 삼각형 ade 볼게요 여기 가게이가 여기 각도가 같아요 뭘로 같아요 맞꼭지각으로 갔구요 지금 bc와 d가 평행하니까 여기 각도랑 여기 각도랑 어디다 그러겠네요 그래서 AA 닮음이 되는 거고요 여기서도 AB대 ad는 ac대 a2는 BC대 d가 성립하는 거예요 자 이렇게 세 개 그림 우리 잘 알아두기 바라구요 자 이 두 번째 내용 한번 볼게요 자 이번에는 bc랑 de가 평행한데 db랑 ec가 같아요 자 지금 아까랑 조금 달라요 아까는 요거대 요거가 요고데 요거와 같았다면 지금은 AD대db가 A2대 ec와 같대요 자 이게 왜 성립하는지 볼 건데요 제가 뭐를 해 줄 거냐면 여기에 있는이 선분 ec랑 선분 ec랑 평행하면서 점디를 지나는 요런 성분을 그어 줄 겁니다 자 이렇게가 평행하고요 그랬을 때요 삼각형 ade와 삼각형 ade와 삼각형 DB 제가요 점을 f라고 할게요 dbf가 닮음이에요 자 무슨 닮음이냐면 여기 각도랑 여기 각도랑 동이각으로 같고요 여기 각도랑 여기 각도도 동의각으로 갔겠죠 지금 df랑 ac랑 평행하기 때문에 동의 각이 만들어지는 겁니다 자 그래서 삼각형 ade랑 삼각형 dbf랑 dbf랑닮음이고요 그렇게 되면 여기에서 AD대 db는 A2대 df라고 할 수가 있는데이 df의 길이는 여기에 있는 ec의 길이와 같아요 자 왜 같냐면 사각형 decf가 평행사변형이죠 두 쌍의 대변이 모두 평행하기 때문에 평행사변형이고 df의 길이가 ec의 길이와 같아서 우리는 이제이 a1의 df라고 했던 것을 a1에 ec라고 할 수가 있는 겁니다 따라서 add는 add db는 a2c가 성립하는 거예요

자 이번엔 두 번째 그림 볼 거고요 이번에도 마찬가지로 ce랑 평행한 성분을 그을 건데 c랑 평행하면서 정비를 지나는요런 성분을 긋겠습니다 그러면 제가이 선분 de와 만나는이 점을 p라고 할게요 자 그랬을 때 무슨 삼각형이 닮음이냐면 삼각형 삼각형 bdp랑 bdp랑 뭐랑 닮음이냐면 삼각형 ade랑 닮음이죠 이렇게 생긴 삼각형 ad랑 닮음이에요 자 무슨 닮음일까요 우선 각기가 공통이고요 각기가 공통이면서 여기 있는 각 bpd랑 aed랑 동의각이기 때문에요 두 삼각형은 AA 닮음입니다 자 그러면 이제 뭐가 성립하죠 AD대 db는 a2대 여기 있는 bp가 성립한다고 할 수 있습니다 자 제가 그걸 쓸게요 AD 대에db는 add db는 a2대 bp가 성립한다고 할 수가 있어요 자 그런데 우리 지금 여기 bp랑 c2랑 평행하고요 bc가 pe랑 평행하기 때문에 묘사각형 bc2p는 평행사변형이고요 평행사변형이기 때문에요 bp의 길이가요 bp의 길이가 c2의 길이와 같아서 ec라고 쓸게요요 bp가 ec의 길이와 같아서요 길이가 동일하기 때문에이 bc를 ec라고 쓰면 우리 교재에 나와 있는 비례식이 성립하죠 자 그래서 두 번째 그림도 외성립하는지 한번 봤습니다

자 우리 세 번째 그림 볼 거고요 제가 여기서는 뭘 만들어 줄 거냐요 선분 ce와 평행한 성분을 만들어 줄 거예요 이렇게 만들어 줄 건데요 bc와 bc의 연장선과의 교점을p라고 하겠습니다 자 이렇게 만들어지는데 뭐랑 뭐랑 닮음이냐면 삼각형 ade랑요 삼각형 dbp랑 닮음이에요 일단은 여기 각도랑 여기 각도랑 엇각이랑 같아요요 c2와 dp가 평행하기 때문에 엇각으로 갔구요 여기에 있는 2db의 각도와 bbp의 각도가 마찬가지로 엇각이랑 같아요 자 그러면 삼각형 ade랑 뭐랑 닮음이라고요 dbp랑 닮음이라고요 자 이렇게 닮음이고요 그러면 요 ad의 add db는요 여기에 있는 a2대 dp랑 같고요요 dp의 길이는 사각형 cpd가 평행사변형이기 때문에 여기에있는요 사각형이 병행사변형이기 때문에 DP 길이는 CE 길이와 같아서 CE 길이와 같아서 우리가 add는 a2:2c가 마찬가지로 성립을 하는 겁니다 자 그림이 많이 복잡하죠 하지만 우리가 이거를 직접 복습하면서 자기 걸로 만들고 이해를 하는 과정이 꼭 필요합니다 자 일단은 여기까지 하고 넘어가 볼게요

자 삼각형 abc에서 자 제가 삼각형 abc를 하나 그릴게요 이렇게 된 abc에서 만약에 ab와 ac의 연장선 위에 점d랑 2가 있대요 ab랑 AC 또는 그 연장선 위에 있는 점 d랑 2에 대하여 요거를 만족시키면 자 제가 d랑 1을 선분위기 있다고 생각을 할게요 여기 abc에서 AB 위에 하나 AC 위에 하나점디랑 점이가 있다고 합시다 그때 ab를 a가 같으면 뭐랑 뭐랑 평행하대요 여기에 있는 빛이랑 b랑 병행하세요 자 우리 앞에서 했던 내용을 거꾸로 가는 거죠 우리 평행하면 저 비례관계가 성립을 한다 그랬는데 거꾸로 비례 관계가 성립하면 우리 평행하다고도 할 수 있는 겁니다 마찬가지로 AD대 db가 A2대 ec랑 같으면 여기에 있는 bc랑 b가 마찬가지로 평행한 거예요 자 여기까지 됐을까요 자 그러면 개념에 이제 한번 해보도록 할게요 다음 그림에서 bc랑 d가 평행할 때 x의 값을 구하라고 했고요 자 우리 닮음인 삼각형을 찾는 겁니다 삼각형 ade랑 삼각형 a b c랑 닮음이죠 요게 지금 두 개가 닮음이에요닮음이기 때문에 여기 6대 8이면 요거대 요거죠 따라서 6대 8은 15대 x 따라서 6x는 8 곱하기 15 즉 120이기 때문에 x를 20이라고 구할 수가 있습니다 제가 비율을 어차피 같은 미래식이기 때문에 상관없습니다 자 두 번째 그림 볼게요 자 닮음이 삼각형 보이나요 요거대 삼각형이 두 개가 닮음이죠 두 삼각형이 닮음이기 때문에 여기 10대 x는 12대 6 길이 18이죠 자 이거대로 비례식 세워주면 되는 겁니다10대 x는 12대 18 6으로 나눠주면 2:3과 같구요 2x는 30이기 때문에 x는 15라고 구할 수가 있습니다 자 여기까지 됐을까요 넘어가 보도록 할게요

자 이번엔 평행선 사이에 선분의 길이의 비구요 자 지금 l과 m과 n이 이렇게 되어 있는데 평행해요 지금 거기에 직선 두 개가 있을 때 뭐가 성립한다 했냐면 이거 내 이거는 이거대 이거래요 자 이게 왜 성립을 하느냐 제가 얘를 이렇게 옮겨 줄게요 이렇게 옮겨주면 지금 평행하죠 평행하고 여기에 있는요 사각형과 요 사각형이 모두 평행사변형이기 때문에 제가요 길이를 c라고 할 수 있고요요 길이를 d라고할 수 있죠 자 그러면 우리 앞에서 배운 내용대로 요고데 요거는 요거 내 요거니까 adb는 cdb라고 할 수가 있는 겁니다 자 직선 두 개가 이렇게 만나고 있어도 어차피 이직선 하나를 옮겨서 일로 옮기면 똑같은 똑같은 그림이 나오니까 우리가 마찬가지로 여기 a 여기가 b여서 adb는 cdd가 성립을 하는 겁니다 자요 그림 기억해 주시고요 우리 두 번째 내용 볼게요 자 사다리꼴에서 평행한 평행선 사이에 선분의 길이의 b인데요 자 요거에서 지금 ef의 길이가 이렇게 정리되어 있어요 자 이거 공식을 유도하는 과정에는 우리가 배우지 않은 다항식의 곱셈이 들어가 있기 때문에이 공식을 유도하지는 않을 거고요 제가이 오른쪽 그림에서 숫자를 집어넣어서 닮음인 삼각형을 찾아서 직접 ef 길이 구하는 과정을 한번 해 보도록 할게요저는요 m을요 5라고 할 거고요 n을 3이라고 할게요 a는 6이라고 할 거고요 여기 있는 b는 8이라고 하겠습니다 자 그러면 제가 여기에 있는이 dc를 dc를 이렇게 옮겨요 이렇게 평행하도록 옮겨주면 묘사각형도 병행사변형이고 묘사각형도 병행사변형이죠 그러면요 길이가 6이니까 얘도 여기고 얘도 6이겠죠 자 그러면 제가요 길이를 x라고 놔볼게요요 길이는 몇이에요 우리 8에서 6을 뺀 2가 나오죠 자 그러면 앞에서 배운 내용을 쓰는 겁니다 요거 내 요거는 요거대 요거니까 즉 5대 8은 x를 2적 따라서 파렉스는 10이니까 x를4분의 5라고 구할 수가 있겠네요 자 여기까지 됐어요 자 그러면 우리가 구하는 ef의 길이는 x+6이니까 4분의 5에다가 6을 더해서 우리는 뭐라고 구할 수 있어요 4분의 29라고 구할 수가 있죠 자 이런 식으로 우리 닮음이 삼각형 찾아 주는 겁니다 이렇게 삼각형이 닮음이었죠

자 세 번째 그림 볼게요 자 평행선 사이의 선분의 길이에 비해 응용 인데요 지금 ac와 bd의 교점을 2라고 하는데요 ac와 bd의 교점을 2라고 하고요 이때 얘랑 얘랑 얘랑 평행하고요 길이를 a요 길이를 B 이렇게 놨을 때 ef의 길이를 구해놨네요 자 ef의 길이를 구해놨는데 제가 여기를 x라고 하겠습니다 그러면요 삼각형 cef랑 cab랑 닮음이니까 여기는x고 여기는 a겠죠 X대 a인 겁니다 그러면 여기는 어떻게 될까요 길이가 a -x라는 비율을 갖게 되겠죠 자 그러면 제가 이번엔요 삼각형을 볼 겁니다 어떤 삼각형을 보냐면 bef랑 bdc랑 볼 거예요 그러면 x의 b는 b는 a - x대 a 를 정리를 해보겠습니다 ax는 ab - ax고요 bx고요 그러면 ax+bx가 ab니까 요게 a+b의 x여서 우리 x를 a+b라고 구할 수가 있죠 자 그래서 요렇게 비율이 나오게 되는 거고요 BF대 fc를요 bfdfc를 우리가이 구한 x를 집어넣어서 정리를 해주면a대 b라고 정리가 됩니다 그래서 a대 B면 여기가 a대 b로 나와요 그래서요 내용은 우리가 또 공식으로 외워 주시면 좋을 것 같아요

자 넘어가서 개념 예제구요 자 지금 l과 m과 n이 평행할 때 x의 값을 구하라고 했어요 뭐가 성립한다 그랬어요 요거대 요거는 성립한다 그랬죠 따라서 4로 나눠주면 2대 3이 성립을 하는 거고요 ex는 18이니까 x를 9라고 구할 수가 있어요 자 밑에 그림도 마찬가지로요 우리 여기 지금 5대 15니까 요고데 요거로 구할 수가 있고요 우리 여기는 우리가 x-18이라고 쓸 수가 있죠 자 따라서 5대 15는 x-18 때 18이고요 우리가요거를 1대 3이라고 쓸 수가 있네요 따라서 18은 3의 x-18이구요 3x-54니까 3x는 몇이라고 나와요 70이라고 나오죠 따라서 x는 몇이에요 24라고 나오네요 자 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요 자 우리 첫 번째 필수 예제구요 지금 l과 m과 n이 평행하다 그랬어요 그러면 우리 앞에서 배운 내용 열심히 활용해 주는 겁니다 1대 3이죠 그러면 여기도 1:3인 거예요 여기도 1도 3이에요 그러면 y대의 3이니까 3y는 6이고 y를 2라고 구할 수가 있습니다 자 이번엔 x를 구할 건데 여기가 x예요 그럼 얘는 어떤 삼각형을 이용하냐 요거랑요거가 닮음인 걸 이용하는 거예요 그럼 주의해야 될 점은 1대 3을 이용하는게 아니죠 1대 4를 이용하는 겁니다 그래서 1대 4는 2대 x니까 x는 8이라고 나오네요 따라서 x+y의 값은 10이라고 나오죠 자 우리 요거 중요합니다 어떤 삼각형이 닮음인지를 봐야 돼요

자 두 번째 필수 예제고요 지금 ac랑 bd의 교점이 2고요 AB e f dc가 모두 평행해요 여기가 20cm이고 여기가 30cm이고 여기는 40cm고 XY 값 구해줘야 되는데 자 우리 요거는 공식으로 외웠으면 좋겠습니다 요고데 요거는 3이고요 제가 길이를 각각 2A 3a라고 놓으면요 2a랑 3a를 더해서 몇이 나오는 거예요40이 나오는 거죠 그래서 5a는 40이니까 a를 8로 구할 수 있겠네요 따라서 여기가 16cm 여기가 24cm 따라서 x는 16이라고 나오는 거고요 우리 y의 값은 어떻게 구해요 y대 20은 요걸로 구해주면 됩니다 즉 24대 40은 와이드 20이고요 우리 요거를 8로 나누면 3대 5 여서 5y는 60이라 y를 10이라고 구할 수가 있어요 따라서 x는 16 y는 10이니까 x + y의 값은 28이겠네요

자 여기까지 해서 우리가 오늘 배울 내용은 모두 마쳤구요 정말 많은 그림들이 나왔고 많은 삼각형들을 찾아봤는데 익숙하지 않을 거예요 학생들이 많이 어려워하는 부분이니까 강의 여러번 들어보면서 우리 닮음인삼각형 찾는 연습해 주시고 공식 한번 쫙 외워주시고 복습하면서 꼼꼼하게 문제도 풀어 주시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다