[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 도형의 닮음과 피타고라스 정리 - 삼각형의 각의 이등분선

자 이번 시간 배울 단어는 삼각형의 가게 이등분선입니다 자 우리 오늘 몇 가지 공식을 배우게 되는데요 우선 내각의 2등분선의 성질입니다 자 삼각형 abc에서 가기의 2등분선과 2등분선이 변 pc와 만나는 점을 d라고 하면 AB대 a c는 bb데 cd가 성립을 한대요 자 여기 성립을 하는데 요게 왜 성립하는지 한번 보도록 할게요

우선 ab의 연장선을 그을 겁니다 자 ab의 연장선을 요렇게 그릴 거고요 그리고 ad와 평행하면서 점씨를 지나는 직선을 이렇게 그릴게요 그러면 두 직선이 이렇게 만나겠죠 자 제가요 점을 2라고 하겠습니다자 그러면 여기 각도가 지금 동그라미로 표시되어 있는데 여기도 동그라미겠죠 자 여기도 동그라미로 표시되어 있는데 여기도 동그라미일 겁니다 얘는 지금 ad와 ce가 평행하기 때문에 동의각이고요 여기 있는 dac와 ace는 엇각이죠 자 이렇게 만들어지는데 그렇게 되면 여기에 있는이 AC 길이와 A2 길이가 어떻게 돼요 동일하죠 왜냐면 삼각형 ace가 이등변 삼각형이기 때문에요 두 길이가 같아지는 겁니다 자 그리고 저는 bc의 평행한 직선을 하나 또 그럴 거고요 bc의 평행한 요런 직선을 긋겠습니다 얘는 얘랑 평행이에요 자 여기 각도를 x라고 하면요 여기도 x가 되겠죠 자 그러면 삼각형 abd와abd와 삼각형 2A 제가 여기 f라고 하겠습니다 2af가 닮음이죠 자 그러면 닮음이고요 닮음에 의해서 요거대 요거는 요거 내에 요거와 같겠죠 제가요 길이를 a라고 하고 b라고 하고 여기를 C 여기를 d라고 하면요 지금 a대 b는 시드 d가 성립을 하고요요 b는요 여기와도 길이가 같으니까 ac와도 길이가 같으니까 이렇게 옮겨 줄 수 있고 af의 길이는 요기와 길이가 같겠죠 우리 사각형 adcf가 평행사변형이기 때문에요 길이와요 길이가 같습니다 그래서 저는 뒤를 여기로 옮겨 줄 거예요 자 그래서 a 대비는 cdd가 성립을 하고요요삼각형에서 삼각형 abc에서 a일에 b를 요렇게 표현을 할 수가 있습니다 자 이등분선의 성질은 우리가 고등학교 과정에서도 자주 나오는 공식이니까 꼭 기억을 해주시기 바랍니다

자 이번엔 외곽의 이등분선의 성질을 한번 볼 거고요 삼각형 abc에서 각 a의 2등분선과 변비 씨의 연장선이 만나는 점을 d라고 하면 요고데 요거는 요거대 요거가 성립을 한대요 자 이거 한번 왜 그런지 이것도 증명을 한번 해보도록 할게요 자 일단요 제가 어떤 선을 그릴 거냐면 선분 ad와 평행하면서 ad와 평행하면서 덤 씨를 지나는 요런 성분을 하나 긋도록 하겠습니다 제가요 점에 2라고 할 거예요 자 그리고 여기 지금 제가 ec랑ad랑 평행하도록 병행하도록 선분을 그었기 때문에 여기 각도가 동그라미면 여기가 동의각으로 동그라미구요 여기가 동그라미면 여기도 엇각이라 동그라미죠 자 그래서 a의 길이와 ac의 길이가 같은 걸 우리가 볼 수 있습니다 왜냐면 삼각형 a c가 aec가 이등변삼각형이기 때문이죠 자 요번에도 직선을 하나 그릴 건데 bd와 평행하면서 dd와 평행하면서 점이를 지나는 이런 직선을 하나 긋겠습니다 그러면 여기 만나는 점이 하나 생기고요 제가이 점을 f라고 할 거예요 자 그러면 뭐랑 뭐랑 닮음이냐면 지금 제가 여기 각도를 x라고 하면 ef랑 bd가 표명하기 때문에 여기도 x가 되어서 삼각형 aef와 삼각형 a2f와 삼각형 abd가 닮음이 되는 겁니다자 여기 각도 동일하고요 각도가 공통이기 때문에 AA 닮음이 되는 거예요 자 그러면 닮음이기 때문에 요 기대 요기는 제가 여기에 여기는 요기 내에 요기라고 할 수 있겠죠

자 제가 순서를 좀 바꿔서 말할게요 자 여기들 여기는 여기 내 여기라고 할 수가 있어요 자 제가요 길이를 a요 길이를 B요 길이를 C 여기를 d라고 하면요 지금도 ad b는 d가 성립을 하고요 우리 a 길이를 여기로 옮길 수 있죠 이등변삼각형이기 때문에 여기를 a라고 할 수가 있습니다 그리고 우리 사각형 efdc가 평행사변형이죠 정행사변형이기 때문에 저 c를 여기로 옮길 수가 있어요자 그래서 필요 없는 부분을 좀 지워주면 우리가 a대 b는 cdt가 요렇게 성립을 하게 되는 겁니다 자 조금 헷갈리게 생겼죠 지금 [음악] 교재에 나와 있는이 AB대 a c는요 순서가 조금 바뀌어 있어요 요거를 비대 a는 d-c로 바꿔주면 b는 ab고 a는 ac고 d는 bd구요 c는 dc죠 cd라고 쓰겠습니다 이런 식으로 정리가 돼요

자 밑에 3번 한번 보도록 하겠습니다 내각의 2등분선에서요이 내각의 2등분선에 의해서 삼각형이 두 개로 나뉘어지게 되는데이 두 삼각형의 넓이는요 넓이비는요 밑변 길이요 비리대 cd와 같아요 왜냐하면 두 삼각형의 넓이를 구할 때밑변 곱하기 높이를 할 텐데 높이가 이걸로 공통이죠 그렇기 때문에 밑변 길이비가 즉 넓이비가 되는 거구요요 비리대 cd는 뭐와 같아요 AB대 ac의 길이와 같죠 자 그렇기 때문에 우리 넓이 비는 비리대 cd와 같고 AB대 ac와 같다 이렇게까지 우리 정리할 수 있을 것 같습니다 자 그러면 넘어가 보도록 할게요

자 개념 예제구요 자 다음 그림과 같은 삼각형 abc에서 1/3d가 가게의 2등분선일 때 엑셀과 쓰고 하라고 했어요 자 내각에 2등분선에서 뭐가 성립하느냐 요거들이 요거는 요거대 요거가 성립을 합니다 그래서 비례식만 세워서 풀어주면 되겠죠 발대륙은 X대 3이고요 6x는 24니까 x를 4라고 구할 수가 있습니다 자 2번 바로 볼게요 자 외곽의 이등분선과 bc의 연장선의 교점을 d라고 할 때x의 값을 구하는 문제고요 공식만 써주면 되겠죠 요거대 요거는 10대x는 자요 교점까지 가는 겁니다 24대요 [음악] 길이에요 근데 여기가 8이니까 16이라고 구할 수 있겠죠 따라서 24대 16이고요 우리가 24x는 160에서 x는 24분의 160 이구요 분모 분자를 팔로 약분시켜주면 3분의 20이라고 구할 수가 있습니다

자 이번엔 필수 예제 한번 보도록 하겠습니다 자 삼각형의 abc에서요 선분 bd가 각의 이등분선이라고 했고요 우리 그때 요거대 요거는 요거니까 우리 비례식 세워서 x값만 구해주면 됩니다 3x+1대 여기 3x-1이고요 요거가 3대 2니까 비례식 성질에 의해서 3 곱하기3x-1은 2 곱하기 3x+1이고요 9x-3이 6x+2와 같으니까 3x는 5여서 x를 3분의 5라고 구할 수가 있습니다 자 넘어가 볼게요 자 두 번째 필수 예제구요 이번엔 외각이 2등분선이네요 삼각형 abc에서 가게에 외각의 이등분선과요 선분 bc의 연장선과의 교점을 b라고 할 때 ac의 길이를 구하는 문제네요 제가요 길이를 x라고 놓겠습니다 그러면 우리 요거대 요거는 요거가 성립을 하죠 자 그렇기 때문에 X대 8은 15대 10으로 구할 수가 있고요 10x는 8 곱하기 15니까 x는 10분의 8 곱하기 15구요5로 약분하면 2분의 3 이로약분하면 4가 되어서 10이라고 구할 수 있겠네요 따라서 구하는 길이는 12cm입니다

자 여기까지 해서 우리가 오늘 가게 이등분선에 관한 내용 모두 마쳤고요 공식들 공식들 확실하게 외워 주시기 바랍니다 특히 외곽이 이등분선은 우리 그림에서 조금 헷갈리니까 꼭 어떤 그림인지 정확하게 외워두시기 바래요 자 오늘 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다