[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 도형의 닮음과 피타고라스 정리 - 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질

자 이번 시간 배울 단어는요 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질입니다 자 우선요 우리가 여러가지 그림을 또 보도록 할 거예요 자 삼각형 abc에서 am과 mb의 길이가 같고요 an과 nc의 길이가 같으면 즉 m이 ab의 중점이고 n이 h의 중점이면 mm과 bc가 평행하대요

자 이게 왜 그런지 한번 볼게요 자 삼각형 amm과 amm과 abc를 볼 건데 얘가 각 mam요 각도가 공통이죠 두 삼각형에서요 각도가 공통입니다 자 그리고요 m이 중점이기 때문에 1대 2구요 여기도 1대 2적 자 그래서 삼각형 amn과 삼각형 abc가 닮음인 거예요 AA 닮음이죠 자 닮음이기 때문에 우리 닮음인 삼각형에서는 각도가 모두 같아요 여기가 x면 여기도 x고요 여기가 세모면 여기도 세모가 되겠죠 자 그럼 그렇게 됐을 때 mn 길이와 BC 길이는요 똑같이 일단 닮은 비가 적용이 돼서 1대 2에 의해서 1대 2가 됩니다 따라서요 길이를 a라고 하면 ea가 나오는 거고요 우리 mm과 bc가 평행한 이유는 뭐겠어요 여기가 지금 x고 여기도 x고 여기도 세모고 여기도 세모니까 이게 동의각으로 같아져야 돼서 mm과 bc가 평행해야 되는 겁니다 자 그래서 우리 삼각형 abc에서 m과 n이 ab와 ac의 중점일 때이 mn과 bc는 평행하고 여기가 a면 여기가 2a라고 나오는 겁니다 자 두번째 그림 볼게요 자 m이 삼각형 abc에서 ab의 중점이고요요 길이와요 길이가 같고요 얘랑 얘랑 에멘이랑 bc랑 평행하다면 삼각형 amm과 삼각형 abc가 마찬가지로 닮음이 되는 거죠

자 요거는 왜 닮음일까요 자 일단은요 우리 각 a가 공통이에요요 삼각형과요 삼각형에서 가게에 있는 공통이고 병행하기 때문에 육각도랑 요각도랑 통이각으로 같습니다 자 그래서 여기는 a의 닮음이 되고 자 닮음이기 때문에 우리 닮음비가 적용이 돼서 1대 2라 1대 2겠죠 자 그리고 여기도 1대 2입니다 그러면 1대 2면 1대 1이 되겠죠 그래서 n이요 ac에 중점이 되는 거예요 자그래서요 그림을 우리가 통째로 잘 외워두시기 바랍니다 자 2호 그림의 익숙해져야 돼요 자 밑에 있는 개념이지 한번 풀어보도록 할게요 자 삼각형이 abc에서 ab와 a c의 종점을 각각 m과 n이라고 하는데 여기가 지금 80도래요 자 우선 m과 n이 각각 선분 ab와 ac의 중점이기 때문에 mm과 bc는 평행하고요 x는 몇이 되겠어요이 80도와 동의각이기 때문에 80으로 구할 수가 있습니다 자 두 번째 거 볼게요 지금 mne 각각 abyc의 중점이죠 그러면 1대 2 닮음비가 적용이 되어서 여기가 오면 여기가 마찬가지로 1대 2여야 되기 때문에 x가 10이라고 나옵니다

자 넘어가 볼게요 자 사다리꼴의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질이고요 지금 오른쪽 그림을보도록 하겠습니다 우선 ad랑 bc랑 평행이에요 자요 변이랑요 변이랑 평행하고요 m과 a는 각각 ab와 dc의 중점이에요 자 그랬을 때 여기를 이렇게 이어주면 우선 ad와 mm과 bc가 모두 평행합니다 자 요거는 왜 평행하겠어요 우리가 삼각형을 이렇게 만들어 주면요 이렇게 만들어주면 여기 각도를 동그라미라고 했을 때 여기가 x고요 여기도 x입니다 그리고 닮은 비를 그대로 적용시킬 수가 있어서 우리 삼각형 제가요 점을 x라고 하면 xad와 xml이 닮음이어서 여기도 x라고 할 수 있습니다 그래서 동일각에 의해서 각도가 모두 같아지는 거라서 여기 mn도 병행한 거예요 자 그러면 우리가 이렇게 평행한 걸 알았는데이 m&a길이는 어떻게 구하느냐 제가 두 개로 쪼개서 구할 거예요 mp와 pn의 합으로 mn을 구한다고 하면 mp는요 삼각형 AB d에서 abd에서 여기가 중점이기 때문에 요거의 절반이요 길이고요 삼각형 bcd에서도요 n이 cd의 중점이어서 1대 2적 그래서 1대 2입니다 따라서 mn의 길이는 mp+pn의 값으로 구할 수가 있는데요 mp는 ad의 절반이고 mp는 여기는 ad의 절반이고 여기에 있는 pn은 여기에 있는 p에는 bc의 절반이죠 자 따라서 2분의 1의 ad+bc로 구할 수가 있는 겁니다

자 이번에 pq의 길이를 구해 볼 거예요 자 제가 그림을 좀 지우겠습니다 자 pq의 길이는 어떻게 구하느냐 자 pq의 길이는 어디냐면 지금요 사다리꼴에서요 부분 말하는 거죠 여기는 어떻게 구하냐면 mq에서 mq에서 mp를 뺄 거예요 자 mq는요 삼각형 abc에서 요 m이 ab의 중점이기 때문에 1대 2로 적용이 돼서 1대 2는 1대 2겠죠 그래서 mq의 길이는 1/2 피스입니다 자 그러면 MP 길이만 구해주면 되는데 mp는 어떤 삼각형이냐 abd에서 보는 거예요 abd에서 보면 1대 2니까 1대 2고요 우리 MP 길이를 ad의 절반이라고 볼 수가 있겠네요따라서 pq의 길이는 M2 - mp고 요거는 1/2의 BC 마이너스 ad로 구할 수가 있는 겁니다 자 우리 요거이 사다리꼴 안에서이 여러가지 삼각형을 활용해서 지금 공식을 유도했는데 우리 꼭 공식을 아는 것도 중요하지만 여기서 이런 삼각형 저런 삼각형 찾아서 문제 풀 수 있는 것도 할 수 있어야 됩니다 자 그러면 밑에 있는 개념이 이제 한번 볼 건데 자 요거는 어렵지 않죠 m&a 길이를 구하는 겁니다 요거는 어떻게 구한다고요 m과 n이 각각 ab와 cd의 중점이기 때문에 요구와 요구와 15를 더해서 반으로 나눠주면 m&a 길이가 나온다고 위에서 했죠 따라서 9 + 15 / 2라고 나옵니다 답은 12cm

자 넘어가 볼게요 자 필수 이제 볼 거고요 첫 번째 문제 한번 풀어보겠습니다 자요렇게 삼각형 abc에서 ab와 bc와 CA 중점을 각각 def라고 하는데요 삼각형 def의 둘레의 길이를 구하라고 했습니다 자 한번에 구하시면 말고요 제가 DF 길이 좀 먼저 한번 보도록 할게요 자 DF 길이 구하려면 어떤 삼각형으로 봐야겠어요요 adf와 abc에서 봐야겠죠 1대 2니까 1대 2구역요 10의 절반인 5cm가 되겠네요 자 그러면 제가요 삼각형을 가지고요 df가 5cm라는 걸 구했는데 만약에 D이 길이를 구한다고 하면 어떻게 하면 되겠어요 삼각형 bed랑 삼각형 bca를 보면 되겠죠 자 1대 2니까 1대 2에서 우리 8cm의 절반인 4cm로 구하면 되는 겁니다 자 그러면요 마지막 ef 길이는 우리요 6cm를 활용하면 되겠죠6cm의 절반인 3cm가 되겠어요 자 따라서 삼각형 def의 둘레길이는 5와 4와 3을 더해서 12cm라고 구할 수가 있겠네요 두 번째 필수 예제 볼 거고요 지금 ad와 bc가 평행한 사다리꼴 abcd에서 두덤 m과 n은 각각 ab와 dc의 중점이고요요 ab와 dc의 중점이기 때문에 우리 pq 길이를 쉽게 구할 수가 있습니다 우리 앞에서 공식을 유도할 때요 mq에서 mp를 뺀 걸로 계산을 했구요 mq - mp로 계산을 했고 mq의 길이는 mq의 길이는요 20의 절반 10cm 구요 mp의 길이는 여기 있는 mp의 길이는 8cm의 절반이라서 4cm죠 따라서 10에서 4를 뺀6cm가이 문제에 답이 되겠네요

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 배울 내용 모두 마쳤고요 정말 지금까지 하면서 많은 그림들이 나오고 있는데 항상 복습해 주면서 복습하면서이 그림에 익숙해지고 어떤 삼각형을 활용하는지 그런 거에 꼭 숙달하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다