[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 도형의 닮음과 피타고라스 정리 - 삼각형의 무게중심의 성질

자 이번 시간 학습할 내용은 삼각형의 무게중심의 성질입니다 자 오늘 무게중심에 관해서 배울 건데이 무게중심이 뭔지 먼저 알아야겠죠 자 무게중심이 뭐냐면 삼각형의 세 중선의 교점입니다 중산의 교점이에요 중선이 뭐죠요 변 bc의 중점과 남은 꼭짓점 a를 연결하여 만든 선을 중선이라고 해요

자 요 중선을 꼭짓점 b에서도 만들 수 있고요 꼭짓점 c에서도 만들어낼 수가 있는데 요렇게 세중선이 만나는 한 점을 무게중심이라고 하는 거예요 자 일단이 무게중심에 의해서요 각 변이 2등분 되겠죠요 길이 두 개 같고요 bd랑 dc랑 같고 bf랑 af랑 같을 거예요자 이때 어떤 성질이 있냐 자 어떤 성질이 있냐면 우리 여기 교재 내용을 보면 우선 세중 선은 한 점에서 만나요 우리 무게중심은이 중선의 교점으로 만들고 세중선이 항상 한 점에서 만나는 거예요 자 이때 무게중심은요 세중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각 2대 1로 나눈대요 2대 1로 나눈다는게 어디를 2대 1로 나누는 것이냐 2대 1로 나누는 거예요 여기도 2대 1로 나누고요 여기도 2대 1로 나누는 거예요 자 agd gd랑 b지대 g랑 cg대 gf는 각각 2대 1입니다

자 여기 왜 성립하는지 볼 건데요 우리가 넓이를 가지고 왜 2:1인인지 볼 거예요 자 우선 여기 삼각형 bdg랑cdg는이 중선에 의해서 삼각형이 나뉜 거기 때문에 밑변 길이가 같아져서 넓이가 같겠죠 제가 그 넓이를 각각 a랑 b라고 하겠습니다 자 그리고 같은 방식으로 삼각형 cge랑 age도 넓이가 같고요 제가 그 넓이를 b라고 쓸게요 자 여기 삼각형 afg랑 bgf도 넓이가 같아서요 우리 이너비를 각각 c라고 할 수가 있습니다 자 그러면요요 삼각형 abd랑 acd도 중산에 의해서 삼각형이 나뉘었기 때문에 넓이가 같겠죠 그래서 a+2c는 a+2b와 같아서 b는 c라고 나옵니다 자 따라서 여기 넓이가 b라고 할 수가 있겠죠

자 이번엔 여기서 볼게요 여기 있는 삼각형 넓이랑 여기 있는삼각형 넓이도 마찬가지로 같아서 2a+b랑 3b랑 같아요 그러면 2a는 입이고요 a는 b라고 나오죠 자 따라서 우리는 여기를 모두이 여섯 조각의 넓이를 모두 a라고 할 수가 있는 겁니다 a a aaa 자이 6조각의 넓이가 모두 a로 같아지고요 자 어디를 볼 거냐면 삼각형 a b g와 a b g와 삼각형 bdg의 넓이를 비교할 건데 자 bdg의 넓이를 비교하려고 보니까 제가 요거를 조금 다시 그릴게요 이렇게 요렇게 되어 있는데 지금 여기가 지구요 여기가 a 여기가 D 여기가 b입니다 그런데 여기가 지금 넓이가 아까 우리 a라고 구해놨죠 삼각형 bgg의 넓이와삼각형 AB g&rb를 비교하면 얘는 a고 얘는 2a죠 자 넓이 비가 1대 2입니다 그런데 우리 두산같이 넓이를 구할 때 높이는 똑같구요 결국 넓이bb는 밑변 길이비와 같기 때문에 넓이 비가 지금 1대 2여서 밑변 길이비도 1대 2로 나오는 겁니다 자 따라서이 무게중심 g는요요 중선 ad를 2대 1로 나누는 거예요 자 같은 방식으로 다른 종선에서도 2:1인 걸 찾을 수 있겠죠

자 결론적으로 우리 무게중심을 g라고 하면 a주대 GD b지대 GD c지대 gf가 모두 2:1이라는 거 우리가 기억해 주시면 됩니다 자 밑에 있는 개념 예제 한번 볼 거고요 자 점지가 삼각형 abc의 무게중심이라 그랬네요 자 그러면 여기가 x면요 2:1이기 때문에 여기는 ex예요 그러면ex와 x를 더한 3x가 여기 12와 같구요 x는 4라고 찾을 수 있겠네요 자 y는 어떻게 구할까요 자 y가 BC 길인데 지금 bd의 길이가 5라고 나와 있죠 그러면이 무게중심은 중산의 교점이고 ad가 중선이기 때문에 요 밑변 bd와 cd의 길이가 같습니다 따라서 여기도 5구요 우리 y를 10이라고 구할 수 있겠죠 자 이렇게 답을 구할 수가 있습니다

자 우리 무게중심과 넓이에 관한 내용이 있는데 앞에서 이미 우리 한번 봤던 내용이에요 자 우리 새 중산에 의하여 삼각형 넓이는 6등분 된다라고 나와 있고요 삼각형 abc의 무게중심을 g라고 하면 어디 넓이가 같다고요이 6등분된 넓이가 모두 같다고요 제가 한 조각이 넓이를 s라고 하면 다 s인거에요 그래서 전체 넓이는 6s로 나오겠죠 자 그래서 요거를이렇게 식으로도 쓸 수가 있습니다 gaf gbf gbd gcd gc ga는 모두 각 한 조각을 말하는 거구요 요거는 삼각형 abc의 6분의 1로 구할 수가 있겠죠 자 그러면이 넓이에 관한 내용을 가지고 밑에 있는 개념 예제를 한번 볼 건데 삼각형 abc의 넓이가 40이 되고 cm라 그랬어요 그런데 g는 무게중심이고요 우리가요 gac의 넓이를 구해줘야 됩니다 자 우리 무게중심에 의해서 나뉘는 삼각형을 모두 그려주면 이렇게 6등분이 되는데 이때 우리가 구해야 되는 agc의 넓이는 부조각이죠 자 한 조각의 넓이는 몇이에요 우리요 한 조각이 넓이는요 42에 6분의 1이기 때문에 7제곱 cm고요 우리가 구해야 되는이 agc의 넓이는 두 조각이니까 14 제곱센티미터로구할 수가 있겠죠 그래서 답은 14제곱 cm입니다

자 우리 필수 예제 볼 거고요 다음 그림에서 점디는 선분 bc의 중점이구요 점지와 지프라임은 abc와 B c의 무게중심이래요 자 ad를 18이라고 줬고요 우리요 길이 구하는 건데 우선이 삼각형 abc에서 삼각형 abc에서 무게중심에 의해서 2대 1로 나뉘죠 2대 1로 나뉘기 때문에 제가 여기를 2의 2a라고 놓으면 3a가 18이어서 a를 6cm라고 구할 수가 있어요 따라서 여기는 12cm고요 여기는 6cm죠 자 그때 우리는 다시 보는 겁니다 지금 여기 gd가 6cm인데이 g 지프라임을 구하기 위해서는요이 6cm를 다시 한번 2:1로 나눠야겠죠 그래서이 미b라고 나와서 3b는 6cm에서 b를 2cm라고 구할 수가 있죠 따라서 우리가 구하는 GG 프라임의 길이는 2b이기 때문에 4cm라고 구할 수가 있습니다 자 우리 무게중심에 의해 나뉘는 그 2대 1의 길이비를 두 번 써준 것 뿐이죠

자 우리 필수예제 하나 더 볼 거고요 삼각형 abc의 넓이가 33 제곱센티미터일 때요 사각형의 넓이를 구하라고 했어요 그런데 우리는이 사각형 넓이를 사각형으로 구하는게 아니라 삼각형 두 개의 넓이로 구하는 겁니다 자 무게중심이기 때문에요 한 조각이 넓이는요이 33의 6분의 1이기 때문에 6분의 33 즉 2분의 11제곱 cm로 구할 수가 있고요 우리가 구해야 되는요 사각형의 넓이는 두 조각의 넓이기 때문에 2분의 11에다가 2를 곱해서 11제곱 cm로구할 수가 있습니다 따라서 답은 11제곱 cm예요

자 여기까지 해서 우리 무기중심 배웠고요 우리 무게중심도 마찬가지로 고등학교 과정에서 정말 많이 나오는 내용입니다 그래서 무게중심이 중산의 교점이라는 거 그 넓이 6등분 되는 거 우리 무게중심 에 의해서 중선이 2대 1로 나뉘는 것까지 우리 모두 완벽하게 복습해 주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다