[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 도형의 닮음과 피타고라스 정리 - 피타고라스 정리

자 이번 시간 배울 단어는 피타고라스의 정리구요 우리가 피타고라스의 정리는 어디선가 들어본 학생이 많을 거예요 자 이 피타고라스의 정리가 무엇이냐 직각삼각형에서요 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a랑 b라고 하고 빗변의 길이를 c라고 했을 때이 abc가요 a² + B 제곱은 c제곱이라는 식을 만족시킵니다 그래서 요식을 우리 피타고라스의 정리라고 해요

자 이 빗변의 길이가 쓰고 직각을 낀 두 배의 길이가 ab일 때에 a² + B 제곱은 c 제곱입니다 자 이게 왜 성립하는지는 조금 뒤에서 보기로 하고요 우선 밑에 있는 개념 예제 한번 풀어보도록 하겠습니다 자 다음 그림의 직각삼각형에서 엑셀 값을 구하라고 했는데 x 제곱은3의 제곱 플러스 4의 제곱을 만족을 하겠죠 자 9 + 16이니까 25입니다 자 x²이 25면 x는 우리 제곱해서 25가 되는 숫자는 오겠죠 그래서 답은 뭐라고 나와요

자 두 번째 개념 예제도 볼 거고요 우리요 직각삼각형에서 뭐가 성립해요 요거 제곱은 자 빗변의 제곱은 x의 제곱 더하기 6의 제곱이죠 자 100은 x 제곱 플러스 36이고요 우리 x제곱은 64라고 나오게 됩니다 제곱해서 64가 나오는 건 바로 8이죠 따라서 답은 8이라고 나와요 자 넘어가 볼게요 자 이번에 피타고라스 정리에 확인이고요 우리 앞에서 배웠던 피타고라스의 정리가 왜 성립하는지를 보일 거예요 자 그거를 볼 건데이 과정이 좀 많이 복잡합니다 복잡하지만 우리 요거를 활용해서문제를 풀기도 하고요 그리고 수행평가로 많이 나오는 부분이니까 우리가 꼭 완벽하게 이해하고 복습도 해주셔야 됩니다

자 그러면 하나씩 해보도록 할게요 자 일단은 저는요 삼각형 abc에서요이 abc의 각변 길이를 cab라고 하겠습니다 자 ab를 c라고 할 거고요 bc를 a라고 할 거고 ca를 b라고 할 거예요 자 그랬을 때 지금 그림에서 사각형이 달려 있죠 묘사각형은 무슨 사각형이냐 여기에 있는 abed라는 사각형은요 ab를 ab를 한 변으로 하는 정사각형이에요 즉 한 변의 길이가 c인 정사각형이 되는 거죠 여기는 bcfg는 한 변 길이가 a인 정사각형이 되는 거고요 AI hc는 aihc는 한병 길이가 b인 정사각형입니다 자 그러면 우리 요때 요 이 정사각형 AB ed의 넓이는 c제곱이겠죠 자 c제곱인데 삼각형 a2b는요요 정사각형의 절반이겠죠 따라서요 삼각형의 넓이는 2분의 1 C 제곱입니다 자 이제부터요 삼각형과 넓이가 같은 삼각형을 하나씩 찾아볼 거예요

자 우선 뭐랑 비교할 거냐 삼각형 ebc랑 비교하겠습니다 자 두 삼각형은요 일단 밑변 길이가 같아요 밑변 길이가 같고요 우리가 2b랑 평행한 직선 위에 꼭짓점이 존재하기 때문에 두 삼각형의 넓이를 계산할 때이 높이의 크기가 ab로 같아요 우리 여기도 높이를 구할 때 이렇게 되겠죠 높이의 길이가 같기 때문에 밑변 길이도 같고 높이도 같아서 삼각형의 넓이가 같은 겁니다 자 그러면 우리가 여기서 지금 뭘알았어요 삼각형 ab2의 넓이와 삼각형 ebc의 넓이가 같다는 걸 알았어요 자 둘 다 1/2 c제곱이죠 자 그러면 이번엔 뭐를 비교할 거냐 우리요 삼각형 ebc랑 삼각형 abf랑 비교할 거예요 자 요거를 비교할 건데 일단은 제가 여기 각도를요 x라고 놓으면 각 ebc는요 각 ebc는 x+90도죠 각 ebc는 x+90도 자 각 abf는 각 abf도 마찬가지로 x+90도죠 x+90도 여기도 x+90도 그래서 ebc와 abf의 크기는 같아요 자 그러면서 2b의길이와 ab의 길이는 정사각형의 각 변이니까 길이가 같겠죠 자 마찬가지로이 bf와 bc도 정사각형의 한 변이기 때문에 각각 정사각형의 한 변이기 때문에 길이가 같아요 자 그러면 삼각형 ebc와 abf는요 주변의 길이가 같고 그 사이에 끼인각 같기 때문에 합동이 되겠네요 무슨 합동이겠어요 SA SAS 합동인 거죠 자 합동인삼각형은 넓이도 같기 때문에 삼각형 ebc의 넓이는 삼각형 abf의 넓이와 같아요 자 그러면 지금 abf까지 같은 걸 보였고요 이번에는 뭘 볼 거냐면 삼각형 abf와 삼각형 bfln 넓이를 비교를 해보겠습니다 자 두 삼각형은요 bf가 공통으로 길이가 같고요부사각형이 넓이를 계산할 때 높이를 보면 높이를 어디로 계산하겠어요 bl로 계산하겠죠 우리 삼각형 abf도 우리요 bf와 평행한 직선 위에 꼭짓점이 있기 때문에 높이가 bl로 같은 거예요

자 따라서 삼각형 abf도 bfl의 넓이와 같아요 삼각형 bfl의 넓이와 같습니다 DF ml의 넓이는 몇이겠어요 우리 2분의 1씩 제곱의 두 배인c^2이겠죠 그래서 두 부분에 넓이가 같아지는 겁니다 자이 같은 과정을 요 오른쪽 사각형 achi에서도 할 거고요 우리 같은 과정이니까 조금 간단하게 할게요 삼각형 ach는요 우리 삼각형 ach는 삼각형 bch의 넓이와 같고요이 삼각형 bch의 넓이는 acgn 넓이와 같습니다 acgnrb와 같고 얘는 삼각형 lcg의 넓이와 같아요요 넓이와 같기 때문에 처음에 그렸던 ach 넓이와이 LG c의 넓이가 같기 때문에 정사각형 achi의 넓이와 직사각형 clmg의 넓이가 같다고 나오고요 여기에 넓이는 우리 ac의 길이가 지금 b라고 나왔기 때문에B 제곱이고 여기도 b제곱이에요 자 그런데 우리 지금 b²과 c제곱으로 표현된요 정사각형 dfgc의 넓이는 한 변 길이가 a인 정사각형이기 때문에 A 제곱과 같죠 따라서 우리는 a 제곱은 b² + C 제곱이라고 결론을 내릴 수가 있는 겁니다 자 그래서 피타고라스의 정리가 나왔죠이 과정에 의해서 피타고라스의 정리가 성립한다는 걸 알 수가 있습니다 자 그래서 그거를 지금 요렇게 쭉 설명하고 있는 거고요 우리요 내용은 완벽하게 이해를 하고 있어야 됩니다 자 그리고 추가적으로 문제에서 어떤게 많이 나오냐면요 넓이와요 넓이와요 넓이가 같고 이 오른쪽에 있는 정사각형 넓이와이 직사각형 넓이가 같다는 걸 활용하여 문제도 많이 나오니까이 내용까지 같이 알아두시기 바랍니다

자 우리 개념 예제 볼 거고요 사각형 비린 ef의 넓이를 구하라고 했네요 자 제가 이 넓이는 어디랑 같다 그랬어요이 넓이는 요기 넓이랑 같다 그랬죠 여기 넓이는 몇이에요 우리 여기 ab를 한 변으로 하는 정사각형 넓이와이 넓이가 같기 때문에이 넓이는 25고 우리 저기 사각형 BD ef의 넓이를 25라고 구할 수가 있는 겁니다 자 우리 필수 예제 풀어볼 거고요 지금 두 대각선의 길이가 6cm8cm인 마름모에서 abcd에서이 한면의 길이를 구하는 문제입니다 자 우리 마름모에서 두 대각선은 어떻게 만나요 서로 수직이는 분 하죠 저도 수직이등분하기 때문에 제가요 길이를 3cm라고 구할 수 있고요요 길이를 4cm라고 구할 수 있습니다 자 그러면요 길이는 몇으로 나와요요 길이는 우리 x라고 놓고 비타고라스의 정리를 써주면 되죠요 직각삼각형에서비타그라스의 정리를 써 주는 겁니다 자 X 제곱은요 3의 제곱 더하기 4의 제곱이고요 9 + 16이니까 20으로 나와서 제곱에서 25가 되는 x값은 5cm라고 구할 수가 있겠죠 따라서 답은 5cm입니다

자 우리 하나 더 볼게요 자 다음 그림과 같이 각비가 90도인 직각삼각형 abc에서 ac랑 bd가 수직이래요 그랬을 때 우리가 구해야 되는 길이는 여기 c의 길이를 구하는 건데 우선 여기에 있는 ac의 길이를 구해주도록 하겠습니다 자이 길이를 x라고 하면요 우리는 피타고라스의 정리에 의해서 x 제곱은 9의 제곱 더하기 12의 제곱이죠 자 81 + 12를 제곱하면 144가 나와요 225구요 제곱을 해서 225가 되는 숫자를 우리가 직접 찾아 줘야 됩니다자이 숫자는 15로 나와요 우리가 요거는 직접 계산을 해 봐야 됩니다 15 곱하기 15 = 25 7 그리고 15니까 225라고 나오죠 자 그래서 제곱에서 225 되는 숫자 15라고 찾아낼 수가 있겠죠 자 그래서 여기는 15cm라고 빗변 길이가 나오고요 그 다음에이 DC cd길이는 우리가 어떻게 구할 수 있을까요 제가 여기를 a라고 놓으면 우리 앞에서 배웠던 닮음을 이용하는 겁니다 자 우리 닮음에서요요 삼각형 bcd와 뭐랑 닮음이라고 배웠어요 acb랑 닮음이라고 배웠죠 a12랑 닮음이라고 배워서 우리 여기서 BC대 cd는 bcd cd는 ac대 bc라고 되고요 dc의 제곱은cd의 ac를 곱한 값과 같다라고식이 정리가 되죠 자 우리 요거는 닮은 배울 때 공식처럼 배웠던 내용입니다 자 그래서 여기에 주어진 길이를 집어넣기만 하면 12의 제곱은 15 곱하기 a니까요 12제곱하면 144가 나와요 15 곱하기 a는 뭐예요 15분의 144 3으로 나누면 40 8 이렇게 구할 수가 있습니다 답은 5분의 48cm죠 cm가 최종적으로 나와야겠네요

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 피파고라스의 정리 모두 배워 봤고요 아무래도 우리 피타고라스의 정리를 확인하는 그 과정이 조금 복잡하고 어려웠을 텐데 우리가 그 부분을 꼭 알고 가야 되는 부분이니까 복습할 때 꼼꼼하게 해주시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다