[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 도형의 닮음과 피타고라스 정리 - 직각삼각형이 되는 조건

자 이번 시간 배울 내용은 직각삼각형이 되는 조건입니다 자 우리가 직각삼각형이 되는 조건이라고 이름이 되어 있지만 이것뿐만 아니라 우리 피타고라스의 정리를 활용하여 여러가지 성질들도 배워보도록 하겠습니다 자 우선요 우리가 피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 쓸 수 있다 그랬어요 자 그런데 반대로이 피타고라스의 정리가 성립하면 a² + B 제곱이 c제곱이라는이 관계가 성립하면요 삼각형은 바로 c가 빗변인 직각삼각형이 되는 겁니다 자 그래서 직각삼각형인지 확인하기 위해이 피타고라스의 정리를 이용할 수가 있겠죠

자 그러면 밑에 있는 개념 예제 한번 풀어보도록 할게요 자 직각삼각삼각형인 것을 모두 고르시오라고 했고요기억을 먼저 보면 우리가 빗변이 지금 5죠 빗변이 오니까 빗변의 제곱이 3의 제곱 더하기 4의 제곱과 같은지 확인을 해보겠습니다 얘는 25구요 9 + 16이니까 25랑 같네요 자 그러면 얘는 피타고라스의 정리가 성립하니까 직각삼각형이라고 할 수가 있겠죠 자 니은 볼게요 자 니은에서 가장 긴 변의 길이는 6이구요 우리요 6을 빗변이라고 생각하고 b타그라스의 정리가 성립하는지 보도록 하겠습니다 자 좌변은 36이고 우변은 16 + 25니까 41이네요 자 두 개가 같지 않죠 그러면 직각삼각형이라고 할 수가 없습니다 자 디귿은요 가장 긴 변의 길이는 17이고요 자 17의 제곱은 8의 제곱 더하기 15의 제곱이 성립하는지 확인을 해 볼 거고요 무료 제곱은 직접 계산을 해야 됩니다17의 제곱은 289가 나오고요 8의 제곱은 64 15의 제곱은 225가 나와요 그래서 64 + 225를 해주면 289가 나오는데 자 똑같죠 따라서 ㄷ도 우리 직각삼각형이라고 할 수가 있겠네요 자 마지막 리을 볼 거고요 리을은 가장 긴 변의 길이가 지금 15예요 그러면 15의 제곱은 지배 제곱 더하기 12의 제곱이 성립하는지 보면 되고요 15의 제곱은 225고 지배제곱은 112의 제곱은 144입니다 백과 144를 더하면 244기 때문에 두 개가 다르네요 자 그러면 우리 리을은 직각삼각형이라고 할 수가 없겠죠 따라서 답은 ㄱ하고 ㄷ입니다

자 넘어가겠습니다 자 삼각형이 변과 각 사이의 관계고요 우리직각삼각형에서 a² + b²은 c제곱이 성립한다 그랬고 오늘 거꾸로 a² + B 제곱이 c제곱이면 직각삼각형이라 그랬어요 각시가 90도인 직각삼각형이라고 했는데 자 삼각형 abc에서 c가 가장 긴 변의 길이일 때요 우리가요 관계를 만족해요 a² + B 제곱은 C 제곱보다 크다를 만족시키면 abc가 요식을 만족을 시키면 c가 90도보다 작은 예각 삼각형이고요 a² + b²보다 c제곱의 크기가 크면 c가 90도보다 큰 중각 삼각형이 됩니다 자 우리가 직각삼각형으로 하나 그려놓으면요 이렇게 되어 있을 때 여기가 a 여기가 b고요 딱 90도일 때 a² + B 제곱은 c제곱을 만족한다 했어요 그런데 만약에요렇게 b의 길이가 유지되면서 비행기리가 유지되면서 c의 길이가 더 커지면 어떤 삼각형이 돼요 이렇게 둔각삼각형이 돼 버리죠 그래서 a² + B 제곱보다 c제곱의 크기가 크면 요렇게 둔각 삼각형이 되는 겁니다 여기 각도가 90도보다 커집니다 자 만약에 우리가 비의 길이가 유지되면서 이렇게 안쪽으로 c의 길이가 줄어들면요 a² + b²보다 c의 제곱이 더 작을 거고요 이런 경우에는 예각상각형이 되겠죠 그래서 a² + b²과 c제곱의 대소를 비교해서 둘 중 누가 큰지를 확인해서 우리는 뭘 찾을 수 있는 거예요 예각 삼각형인지 직각삼각형인지 분각상각형인지 찾아낼 수가 있는 겁니다

자 개념예제 한번 볼게요 세 변의 길이가 2랑 2랑 3이래요어떤 삼각형인지 찾으라고 있고요 가장 긴변의 길이가 3인데 3의 제곱과 나머지 두 변 제곱의 합을 비교를 하는 겁니다 자 2의 제곱 더하기 2의 제곱은 4 + 4니까 8이고요 3의 제곱은 9죠 얘가 더 크네요 그러면이 삼각형은 무슨 삼각형이 되는 거예요 중각 삼각형이 되는 겁니다 둔각 삼각형 이런 식으로 우리가 a² + b²과 C 제곱에 대소를 비교해서이 삼각형이 예각 삼각형인지 직각삼각형인지 중박 삼각형인지 구분을 지을 수가 있어요 자 이번엔 피타고라스 정리의 활용인데요 비타고라스의 정리를 활용해서 여러가지 도형에서 좀 공식들을 몇 가지 보도록 하겠습니다 자 지금 오른쪽 그림에서요 가게가 90도 이고요 가게가 90도고 점디랑 점이를 그냥abb의 임의점을 잡았고 AC 위에 임의의 점을 잡았어요 그랬을 때 뭐가 성립하냐면 be 제곱 더하기 자 be 제곱 + cd의 제곱은 g2의 제곱 더하기 bc의 제곱이래요 자 여기 성립한다 그랬는데 이게 왜 성립하는지 한번 볼게요 제가요 길이를 a요 길이를 be요 길이를 C요 길이를 d라고 놓을 거예요 그러면 be의 제곱은요 우리가 삼각형 AB e에서 b2의 제곱은 b² + C 제곱이라고 할 수 있겠죠 자 cd의 제곱은요 삼각형 adc에서 a² + b²이라고 할 수가 있습니다 따라서 좌변은 a² + b 제곱 더하기 c^2 + d^2으로 정리가 돼요 자 이번엔 d2의 제곱인데요거의 제곱은 삼각형 ade를 활용할 거고요 이거 제곱 더하기 이거 제곱이죠 a² + c제곱 자 bc의 제곱은요 ab² + CD 제곱은 [음악]마찬가지로요 ab^2과 cd의 제곱을 더한 것도 a 제곱 + b^2 + c^2 + D 제곱이죠 따라서 요런 관계가 성립을 하는 겁니다

자 마지막으로 직사각형에서 볼 거고요 직사각형 abcd에 내부에 있는 점 p에 대해서요 ap 제곱 + CP 제곱은 BP 제곱 더하기 디피제곱 이래요 자 얘는 왜 성립하느냐 이렇게 사각형을 쪼개주면요 제가요 녹색 선은요 이렇게 수직이 되도록 선을 그어준 겁니다 자 그랬을 때 제가 여기를 a 여기를 B요 길이를 C요 길이를 d라고 하면 여기에 있는 pa 제곱은 a² + C 제곱이겠죠 여기에 있는 pc의 제곱은 b² + B 제곱일 겁니다자 이번에는 여기에 있는 bp의 제곱은 a² + b² 이고요 여기에 있는 깊이의 제곱은 b² + C 제곱이 되겠죠 자 따라서 ap 제곱 플러스 CP 제곱은 a² + C 제곱 + b² + b² + DP 제곱은 a² + d^2 + b^2 + c제곱 결국엔 더 있을 때 같아지죠 그래서 요거 제곱 더하기 요거 제곱은 요거 제곱 더하기 요거 제곱이 성립하는구나 우리 이렇게 그림상에서이 세 가지요 세 가지 그림을 꼭 기억해 주시기 바랍니다 자 넘어가 볼게요 자 이번엔 직각삼각형에서 세 반원 사이의 관계고요 직각삼각형 abc가 있을 때 각 변을 지름으로 하는 반원을 그린 거예요 자 그랬을 때각 반원의 넓이를 pqr이라고 하면 p+q는 r이 성립을 한대요 자 제가이 각변의 길이를 C ba라고 나왔을 때요 b타고라스의 정의에 의해서 a²은 b² + c제곱이 성립을 하죠 자 이때 p는 단어를 넓이인데 반지름이 2분의 c니까 파이 2분의 C 제곱이 반지름이 2분의 c인 원의 넓이고요 우리 반원이니까 절반 해서 8분의 파이씨 제곱이라고 구할 수가 있습니다 자 같은 방식으로 q의 넓이도 구해주면 8분의 파이비 제곱이고 r은 1/8 제곱이에요 자 이때요 우리 p+q가 r이라는 관계식의 집어넣으면요 집어넣으면 8분의 파이씨 제곱 플러스 8분의 파이브 제곱은 1/8 제곱이라고 정리되는데결국엔 피타고라스의 정리가 나오죠 따라서 요식도 성립하는 식인 걸 우리가 확인할 수 있습니다

자 두 번째 그림 볼 거구요 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형 abc에서 대변을 각각 지름으로 하는 새 반원에서 자 아까는 bc를 지름으로 하는 반원을 아래다 그렸는데 이번엔 아레나 그린게 아니라 이렇게 그린 거예요 자 그랬을 때요 s1의 넓이와요 s2의 넓이는 삼각형 abc의 넓이와 같아요 자 우리가 S1 + s2의 넓이를 구하려면요 우리가 어떻게 해줘야 돼요 각변 길이 지금 abc라고 나와 있는데 우리 아까 넓이 구한 걸 좀 활용을 좀 할게요 자 S1 플러스 s2는요 우리요 반원과 요 반원을 더하고 가운데 있는 삼각형까지 더한 다음에 가운데 있는큰 반원을 빼주면 S1 플러스 s2를 구할 수가 있죠 자 그런다고 생각을 했을 때요 넓이는 8분의 파이씨 제곱요 넓이는 8분의 파이브 제곱 거기에서 삼각형을 지금 더해요 그러면 삼각형 넓이는 2분의 1 pc죠 자 1/2 bc인데 여기 밑변 곱하기 높이 나누기 2로 한 겁니다 거기다 지금 반원을 뺄 거예요요 만원을 뺄 건데 원래는 1/8 제곱인데 8분의 파이 a 제곱인데 우리 아까 8분의 파이씨 제곱 더하기 8분의 파이브 제곱이 8분의 파이 a 제곱과 같다 그랬죠 자 그렇기 때문에 얘랑 얘랑 사라져서 결국 남는 건 삼각형 넓이인 2분의 1 pc만 남는 겁니다 자 따라서 제가 빨간색 뒤꿈치인 부분에 넓이는어디와 같느냐 바로이 안쪽에 있는요 직각삼각형의 넓이와 같은 겁니다 요거까지 같이 기억해 주시기 바랍니다

자 우리 개념 예제 볼 거고요 다음 그림의 직사각형 abcd에서 x 제곱의 값을 구하라고 했어요 자 여기서 이거 제곱 더하기 이거 제곱이 이거 제곱 더하기 이거 제곱과 같다고 했고요 x 제곱 플러스 6의 제곱은 4의 제곱 플러스 바르제곱이니까 x² + 36은 16+64여서 80이고요 따라서 x 제곱은 44라고 구할 수가 있습니다 그래서 답은 44예요 자 두 번째 반원의 넓이를 구하라고 했는데 우리 오늘 비는 뭐랑 같다 그랬어요 위에 있는 두 반원 넓이의 합과 같다 그랬습니다 자 두 개 더해주면요 우리가 s는 26 + 13즉 39 제곱센티미터로 구할 수가 있겠네요 자 우리 공식만 잘 외우고 있으면 어렵지 않게 풀립니다

자 우리 필수 예제 하나씩 보도록 하겠습니다 세변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 둔각 삼각형인 것을 모두 고르시오라고 되어 있는데 우리가 가장 긴 변의 길이를 c라고 했을 때 c제곱이 나머지 두 변 제곱의 합보다 크면 둔각 삼각형이라고 했습니다 자 5의 제곱을 하면 25구요 나머지 2의 제곱과 4의 제곱을 하면 몇이 나와요 20이 나오죠 자 그러면 가장 긴 면을 제곱한게 더 크니까 기역은 둔각 삼각형이라고 할 수가 있겠네요 자 니은에서 가장 긴 변은 5구역 5의 제곱은 25 3의 제곱 더하기 4의 제곱은 두 개 더했을 때 20 나오네요 자 25가 나오죠 제가 계산을 실수했습니다 자 25가 나와요 두 값이 어때요 같게 나오죠 그래서뒤에는 직각삼각형이고요 자 디귿에서 가장 긴 변은 7입니다 7의 제곱은 49구요 4의 제곱은 16 6의 제곱은 36이라서 계산하면 52가 나오죠 나머지 두 변제곱의 합이 더 크니까 요거는 예각상각형이네요 자 마지막 가장 긴변 11이고요 제곱하면 120일 7의 제곱과 8의 제곱은 49 + 64구 더했을 때 뭐가 나와요 113이 나오죠 자 그러면 우리 가장 긴 변의 제곱이 더 크기 때문에 리을은 둔각 삼각형이라고 할 수가 있겠네요 따라서 답은 기어가고 리을입니다

자 두 번째 필수예제 볼 거고요 지금 가게가 90도인 직각 이등변 삼각형에서 abc의 세 변을 지름으로 하는 새 반원을 그렸을 때 S1 플러스 s2를 구하라고 했어요 자 우리 여기 있는 s1+s2는요 어디 넓이와 같다 그랬어요 요기 넓이는안에 있는이 삼각형 넓이와 같다고 했습니다 자 그런데 우리 삼각형 넓이 구하는게 조금 어려워 보여요 빗변의 길이만 주어져 있죠 자 제가요 길이를 x라고 놓고요 길이를 x라고 놓으면 우리 삼각형 넓이는요 삼각형 넓이는 1/2 곱하기 x 곱하기 x니까 2분의 1 x제곱이에요 자 그런데 비타고라스 정리에 의해서 x² + x 제곱은 10의 제곱이니까 EX 제곱은 100이고 x 제곱은 50이라고 구할 수가 있죠 따라서 우리 넓이 1/2x 제곱은 결국엔 뭐가 되는 거예요 2분의 1 곱하기 50이라서 25가 되는 거죠 따라서 넓이는 25로 나오는 겁니다

자 여기까지 해서 우리 오늘 배울 내용은 모두 배웠고요 공식이 정말 많이 나왔습니다 우리 공식들 언제 쓸 수 있는지 그리고 그 공식은 무엇인지정확하게 구분지어서 외워 주시기 바랍니다 자 복습고 꼼꼼하게 해주시고요 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다