[수학대왕] 중학수학2-2 개념강의 : 확률 - 경우의 수

자 오늘 배울 단어는 경우의 수입니다 자 우리가 오늘 경우의 수가 뭔지 배울 거구요 그 뒤에서이 경우의 수를 다양한 상황에서 구하는 방법까지 배워 볼 겁니다 자 오늘 배울 내용이 많으니까요 집중해서 잘 들어 주시기 바랍니다

자 우선 사건과 경우의 수예요 자 사건은 무엇이냐 동일한 조건에서 반복할 수 있는 실험이나 관찰의 결과래요 자 실험이나 관찰의 결과라고 되어 있는데 쉽게 예시를 좀 들어볼게요 우리 주사위를 던지면 숫자가 1부터 6까지 나올 수가 있죠 자 그런데 우리가 주사위를 던져서 나올 수 있는 결과를 다양하게 표현을 할 수가 있습니다 예를 들어서 홀수의 눈이 나온다라고 할 수도 있고요 볼수의 눈이 나온다라고 할 수도 있고5위상의 눈이 나온다라고 할 수도 있고 6의 약수의 눈이 나온다라고 결론을 말할 수 있죠 자 이런 애들이 바로 사건인 거예요 주사위를 던져서 나올 수 있는 결과 뭐 꼭 주사위가 아니어도 됐겠죠

자 그러면 경우의 수는 무엇이냐 그 사건이 일어나는 경우의 가짓수예요 가짓수 자 아까 홀수의 눈이 나온다고 했는데 주사위를 던져서 홀수의 눈이 나오는 건 홀수 1이 나오거나 3이 나오거나 5가 나와야 돼요 그러면이 홀수의 눈이 나오는 경우의 수는이 사건의 경우의 수는 세 가지인 겁니다 자 5 이상의 눈이 나오는 건 5가 나오거나 6이 나오는 경우를 말하고요 우리가 경우의 수는 두 가지가 되겠죠 유계약수의 눈이 나오는 건 1 2 3 6이 나올 수 있고요 경우의 수는 4가지가 있습니다 자 이래서 우리가 사건과 경우의 수까지 했고요이 경우의수를 세울 때는 모든 경우를 빠짐없이 그리고 중복되지 않게 구해줘야 됩니다 요것만 우리가 주의해 주시면 돼요 홀수의 눈이 나온다고 했는데 우리가 1을 빼고 계산하면 안 되겠죠 이렇게 우리가 빠짐없이 세야 되고요 1을 두 번 세도 안 됩니다 우리가 요런 것만 주의해 주시면 될 것 같아요

자 그럼 넘어가 볼게요 자 요번엔 우리가 좀 더 복잡한 상황에서 경우의 수세는 방법을 좀 배워 볼 건데 첫 번째로는 사건 A 또는 사건비가 일어나는 경우의 수를 세는 방법이에요 자 우리 일단 예시를 요렇게 들어볼게요 서울역에서 서울역에서 춘천역까지 갈 거예요 춘천역까지 갈 건데 서울역에서 춘천역에 기차를 타고 가는 방법은 두 가지가 있어요 기차를 타고 가는 방법은 두 가지가 있고요 버스를 타고 가는 방법은 세 가지가 있습니다자 요렇게 있을 때 사건 a를요 사건 a를 버스를 타고 춘천역에 가는 경우라고 할 거고요 기차를 타고 춘천역에 가는 것을 사건비라고 할 겁니다 자 그랬을 때 우리가 서울역에서 순천역까지 가는 경호의 수를 샌다고 생각을 해봅시다 그러면 서울역에서 춘천역까지 가는 경우의 수는 사건 a가 일어나거나 또는 사건 b가 일어나는 것이죠 우리가 서울역에서 춘천역에 가는데 사건 a도 일어나고 사건 b도 일어나는 건 없습니다 버스를 타고 가거나 또는 기차를 타고 가거나 해요 이렇게 사건 ab가 동시에 일어나지 않으면서 사건 a가 일어나는 경우의 수를 m이라고 하고 사건비가 일어나는 경우의 수를 n이라고 할 때 사건의 또는 사건 b가 일어나는 경우에서는요 우리가 m과 n을 더해서 계산을 합니다그래서 서울역에서 춘천역까지 경우의 수를 세라 그러면 우리는 몇 가지라고 하면 되는 거예요 5가지라고 하면 되는 겁니다 자 우리가 여기서 어떤 거를 알아야 되냐 우리가 버스를 타거나 기차를 타면 각각 서울역에서 춘천역까지 가는 경우의 수를 센 거죠 자 버스를 타면서 기차를 탈 수는 없습니다 우리가 버스를 선택하거나 기차를 선택하면이 서울역에서 춘천역까지 가는 경우의 수를 생거니까 이런 경우에는 경우의 수를 경우의 수를 더해서 계산을 하는구나 요거를 기억을 해주시기 바랍니다

자 예시가 하나 더 나와 있어요 한 개의 주사위를 던질 때 또는 5 이상의 눈이 나오는 경우의 수는요 우리 이하가 나오면서 5 이상이 나올 수는 없죠이 이하이 눈이 나오는 경우 1하고이 두 가지구요 5위상의 눈이 나오는 경우5하고 6 두 가지입니다 따라서 2 + 2라서네 가지라고 나오는 것이죠 자 그 다음은 사건 ab가 동시에 일어나는 경우의 수예요 자 이게 무슨 말이냐면 우리 서울역에서 서울역에서 춘천역에 가기 전에 순천역에 가기 전에 중간에 가평역에 들린다고 합시다 그러면 서울역에서 가평역까지 가는 경우의 수는 세 가지구요 가평역에서 춘천역까지 가는 경우의 수는 두 가지가 있다고 할게요 그런데 우리가 만약에 서울역에서 서울역에서 춘천역 가는 경우의 수를 세일 거예요 자 이때는요 서울역에서 춘천역까지 가는 경우의 수를 살 건데 우리는 서울역에서 가평역 가는 경우의 수와 가평역에서 춘천역까지 가는 경우의 수가 가까이 있어요 자 이때는요 우리이 경우의 수를곱해줘야 되는 겁니다 자 사건 a가 일어나는 경우의 수가 m이고 그 각각에 대하여 사건 b가 일어나는 경우의 수가 n이면 자 예를 들어서 만약에 서울역에서 가평역 가는 길을 요걸로 선택을 했어요 자 요걸로 선택했을 때 가평역에서 춘천역 가는 거 두 가지 있죠 자 서울역에서 가평역 가는 길 요기를 골라도 마찬가지로 두 가지 있구요 서울역에서 가평역 가는 경우의 수요를 골라도 가평역에서 춘천역 가는 건 두 가지입니다 자 이렇게 a가 일어나는 사건이 사건 a가 일어나는 경우의 수가 m인데 그 경우에서 m에 대하여 각각 사건 b가 일어나는 경우의 수가 모두 n이면 우리는 a b가 동시에 일어나는 경우의 수를 m 곱하기 n으로 계산을 합니다 따라서 여기는 3 곱하기 2라 6가지가 되겠죠 자 이거는 우리가 어떻게 생각을 하면 되냐 서울역에서춘천역을 가는데 춘천역을 가는데 우리가 가평역 가는 경우에서 고르고 가평역에서 춘천역 오는 경우에서도 골라야 서울역에서 춘천역 오는 경우의 수가 나오죠 자 이렇게 우리가 하나의 경우의 수를 결정할 때 얘도 그리고 얘도 골라야 하나의 경우의 수가 나오면 우리는이 경우의 수는 곱해서 전체 경우의 수를 찾아주는 겁니다 자 그러면 중요한 것이 무엇이냐 바로이 첫 번째 더하는 건 언제고 두 번째 곱하는 건 언제인지 두 개를 우리가 확실하게 구분 지을 수 있어야 됩니다

자 그럼 마지막에 있는 예시까지 하고 넘어가겠습니다 동전 1개와 주사위 한계를 동시에 던질 때 동전은 앞면이 나오고 주사위는 홀수인 운이 나오는 경우의 수를 세례요 자 우리 동전도 세야 되고 주사위도 세야 되는데 두 개를 다 결정해야 하나의 경우의 수가 나오는 거기 때문에 동전은 앞면이 나오는 거 경우의 수 몇 가지예요 한 가지구요 주사위홀수의 눈이 나오는 경우의 수는 135니까 세 가지죠 따라서 두 개를 곱한 3이 경우의 수로 나오는 겁니다

자 여기까지 됐을까요 넘어가 볼게요 자 개념 예제 볼 건데요 어느 음식점 메뉴에 라면 4개 김밥 5개가 있대요 자 라면네 종류 김밥 다섯 종류가 있는데이 음식점에서 라면 또는 김밥 중에서 한 가지를 주문하는 경우의 수를 고르는 거예요 자 그러면 우리가 라면을 고르고 김밥을 고르는게 아니에요 라면과 김밥 중에 하나를 고르는 거기 때문에 라면 4가지 종류와 김밥 5가지 종류 더해서 9가지의 경우의 수가 나오는 겁니다 2번 볼게요 자 이번엔 라면이네 종류가 있고 김밥이 다섯 종류가 있는데 라면 한 가지를 고르고 김밥도 한 가지를 고른대요 자 두 개를 동시에 주문한다 그랬으니까 라면도 고르고 김밥도 골라야 경우에서하나가 나오는 거죠 자 이런 경우에는 우리가 두 개를 곱해서 20가지라고 하면 되는 겁니다

자 넘어가 볼게요 자 이번엔 여러가지 경우의 수구요 우리가 다양한 상황에서 경우의 수구하는 방법을 배워 볼 거예요 자 우선 일렬로 세우는 경우의 수를 좀 볼 건데 자 제가 예시를 좀 들어볼게요 자 5명이 있고요요 다섯 명이 abcde가 있다고 해볼게요 자 다섯 명을 일렬로 세울 거구요 맨 앞자리 그 다음 자리 세 번째네 번째 다섯 번째 자리가 있다고 할게요 그러면 우리가 여기에 일렬로 세울 건데 맨 앞자리에 맨 앞자리에 올 수 있는 사람은 몇 명이에요 5명이죠 다섯 명 중 한 명이 오는 겁니다 그래서이 자리에 누가 올지 정하는 경우의 수는 5가지에요 자 그러면 그 다음 자리를정해 줄 건데 만약에 맨 앞자리에 b가 왔다면 우리가 두 번째 자리에는이 4명 중에 한 명을 고르겠죠 그래서 두 번째 자리에 누가 올지 정하는 경우의 수는 4가지입니다 자 같은 방식으로요 세 번째 자리에 누가 올지 정하는 경우의 수는 세 가지고 두 번째 다리는 두 가지 마지막 자리는 한 명 남았으니까 1이겠죠 자 이때 우리는 5명을 모두 줄 세워야 5명을 모두 주의 세워야 하나의 경우의 수가 나오는 거기 때문에 우리는요 숫자들을 모두 곱해서 얘네들이 다 정해져야 둘 하나가 딱 나오는 거니까 모두 곱해서 경우의 수를 구해주는 겁니다 계산해 주면 120까지가 나와요 자 따라서 5명일 때는 5부터 숫자를 쭉 곱해주면 되는 거예요만약에 3명이면 어떻게 써요 3 곱하기 2 곱하기 1이었겠죠 자 m명을 일렬로 줄 세우는 경우의 수는 n부터 숫자를 쭉 곱해주는 겁니다

자 이번엔 앱명 중에서 두 명만 줄 세울 거예요 자 이렇게 두 명만 줄을 세울 건데 abcd는 동이라고요 두 명을 둘 세울 건데 맨 앞자리에 올 수 있는 사람은 5명이고요 5명 중 한 명을 고르겠죠 5가지 경우일 수가 있어요 두 번째 자리는 우리가 앞에서 한 명을 골랐으니까 남은 4명 중에 한 명을 골라야 되고요 4가지 경우의 수가 되겠네요 그런데 우리는 두 명만 뽑아서 줄 세운다 그랬으니까 5랑 4만 곱해주면 되는 거예요 따라서 몇 가지예요 20까지죠 자 사람이 n명이면요 n명중에 두 명을 뽑으면 n부터 숫자를 두 개만 곱하면 되는 거예요 n 곱하기n - 1이겠죠 자 n명중에 세 명을 뽑아서 일렬로 세우는 경우의 수는 n부터 숫자를 세 개 곱하는 거예요 n 곱하기 n - 1 곱하기 N - 자 이런 식으로 우리가 일렬로 세우는 경우의 수를 계산할 수가 있습니다

자 그리고 문제에서 어떤게 많이 나오냐면 이웃하여 일렬로 세우는 경우의 수를 많이 내요 자 만약에 a b c d 5명이 있는데 a랑 b가 이웃한데요 a랑 b가 이웃한다 그러면 둘이 붙어 있다는 의미고요 이런 경우에는 어떻게 계산을 해주냐 우리 ab를 하나로 묶어버리는 겁니다 자 얘네는 붙어 있어야 되니까 하나로 묶어버리고요 우리가 요거는 하나로 보고 제가이 묶음을 x 묶음이라고 할게요 그러면 x랑 c랑 d랑 2를우선 1열로 세워요 일렬로 세우는 건 4명을 일렬로 세우는 거니까 우리 뭐 하면 되겠어요 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1을 해주면 되겠죠 자 이게 4명을 일렬로 세우는 거고요 자 이렇게 세웠을 때 예를 들어서 요렇게 될 겁니다 dcabe 이렇게 얘네는 지금 묶여 있어요 요런 식으로 세웠을 텐데 여기서 끝나면 안 되고요 뭐를 할 수 있냐면이 묶음 안에서 a랑 b가 자리를 바꿀 수 있는 겁니다 우리 ab를 ab라고 쓴 것도 세야 되고요 둘이 순서를 바꿔서 ba라고 줄을 세운 것도 세야 됩니다 그래서이 묶어놓은이 묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우의 수 2를 곱해줘야 되는 거예요 따라서 a b c d e를 일렬로 세울 때 ab가 이웃하는 경우의 수는 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1곱하기 2로 계산을 해주는 거예요 자 교재는 이렇게 나와 있죠 이웃하는 것을 하나로 묶어서 일렬로 세우는 경우의 수 곱하기 묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우의 수라고 되어 있는데 이웃하는 것을 하나로 묶어서 일렬로 세우는 경우의 수가 4x3 곱하기 2 곱하기 1이고요 묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우의 수는 숫자 2입니다

자 넘어가 볼게요 자 이번엔 0을 포함하지 않는 경우에 자연수의 개수래요 자 문제가 요렇게 주어져요 0이 아닌 서로 다른 한자리 숫자가 각각 하나씩 적힌 n장의 카드 중에서 두 장을 뽑아 만들 수 있는 두 달이 자연수의 개수예요 자 제가 요것도 예시로 계속 문제를 만들어서 한번 설명을 하겠습니다 자 숫자 카드가 0이 없어요 0이 없는 경우입니다 일단 일하고 2하고 3하고 4하고 5가 있어요이 중에서 2장을 뽑아서 두 달이자연수를 만들겠대요 자 이거는 앞에서 5명 중에 두 명을 1열로 세우는 것과 똑같은 거예요 5명 중 2명을 일렬로 세우나 5장의 카드 중에 두 장을 뽑아서 지배자리 1의 자리를 정해주거나 똑같은 상황이고요 우리요 10의 자리에 올 수 있는 카드는 5장이 모두 올 수 있고 5가지의 경우일 수가 있겠죠 자 1의 자리는 우리가 11자리에서 쓴 카드를 하나 제외한 나머지 내장의 카드 중에 하나가 올 수 있고요 4가지 경우의 수가 있어서 5 곱하기 사이인 20까지의 자연수를 만들어 낼 수가 있는 겁니다 자 카드가 n장이 있었으면 n 곱하기 N - 1이겠죠 자 3장을 뽑아서 만들 수 있는 세 자리 자연수면 자리가 하나 늘어나는 거니까 숫자를 세 번 곱했을 겁니다 자 그런데 우리가 뭐 때문에 지금 이걸 하고 있냐 우리 숫자 카드 중에 1 2 3 4 5가 아니라0을 포함하는 경우에는 우리가 다른 방법으로 경우의 수술을 해줘야 됩니다 자 왜냐면 우리가 지금 자연수를 만들고 있는 거기 때문에 맨 앞에 100의 자리에 0이 왔다면 우리 백의 다리 숫자를 만드는데 백의 자리에 영이 왔다면 우리 요거를 세 자리 자연수라고 할 수 있나요 세자리자유수라고 할 수 없죠 그렇기 때문에 맨 앞에 영이 오면 안 돼서 우리 위에서 계산하는 것과는 조금 다르게 계산을 해주는 겁니다

자 예를 들어서 우리 숫자 카드가 0 1 2 3 4가 있다고 할게요 우리 여기서 지배자리 숫자를 만든다고 합시다 그런데 우리가 구하는 과정은 똑같은 과정으로 하는 거예요 우리 집의 자리에 올 수 있는 숫자를 세 볼 겁니다 0 1 2 3 4 중에 뭐가 올 수 있어요 0만 못 오는 거죠 지배자리 0이 오면 안 되기 때문에 1 2 3 4장의 카드 중에 한 장이 오기 때문에 우리 여기 정해주는 경우의 수는네 가지 경우의 수가있고요 만약에 3을 골랐어요 그러면 이제 1의 자리 숫자를 정해 줘야 되는데 남은 카드 몇 장이에요 0 1 2 4장의 카드죠 4장의 카드 아무거나 올 수 있습니다 따라서 4가지 경우의 수가 있는 거예요 그러면 이때 우리 경우의 수는 16가지가 나오겠네요 자 그러면 우리 만약에 100의 자리 숫자를 만든다고 해봅시다 자 100의 자리 숫자를 만들면요 배기자리의 10의 다리 이래 자리까지 있을 거고요 베개 자리 숫자 정해주는 경우의 수는 마찬가지로 0을 제외한 4개구요 지배자리 숫자 정해주는 경우의 수는 우리 백의 자리에 온 숫자를 제외한 나머지 4개의 숫자 중에 하나만 오면 되니까네 가지구요 마지막 1의 자리는 하나 더 빼서 세 가지 중 하나가 올 수 있는 겁니다 자 요렇게 48가지로 계산을 할 수가 있어요 자이거를 우리가 카드가 n장이 있다고 해서이 n에 대해서 식을 쓰면 2장을 뽑아 만들 수 있는 두 달이 단수의 개수는 우리가 n 곱하기 n - 1이 아니라 우리 10의 자리를 정할 때 0을 빼고 해야 되기 때문에 n - 1 그리고 1의 자리 셀 때는 다시 우리 11자리에서 쓴 숫자를 제외한 나머지 n-1장의 카드니까 n-1을 곱해서 자연수 개수를 셀 수 있는 겁니다 자 세 장을 뽑아 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 m - 1 곱하기 n - 1 곱하기 N - 2겠죠 자 이거를요 우리가 공식처럼 외우는 것이 아닙니다 우리가요 과정을 완벽히 이해해서 문제 풀 때 곱셈을 통해서 계산을 해주면 됩니다

자 요번엔 자격이 다른 대표 뽑기이고요 가장 많이 나오는게 뭐냐면 우리 5명 abcde의 학생 중에서단장 한 명 부반장 한 명을 뽑는 경우의 수입니다 자 그러면 얘는 어떻게 하냐 우리 반장으로 뽑을 자리를 만들어 주는 거예요 여기 오는 애가 반장 여기 오는 애가 후반장 그러면 단장을 뽑는 경우의 수는 abcde 중에 한 명이 오면 되니까 5가지의 경우의 수가 있겠죠 자 그리고 만약에 c가 반장이 됐으면 후반장은요 나머지 abde 중에 한 명이 하면 되는 거죠 따라서 4가지 경우의 수가 있는 겁니다 자 오랑살을 곱할까요 더할까요 자 곱해줘야 됩니다 우리가 반장도 뽑고 부반장도 뽑아야 단장 한 명 부반장 압력 뽑는 경우의 수가 나오는 거기 때문에 우리가 이렇게 하나의 결론을 낼 때 둘 다 뽑아야 되면 그 안에서는 곱해준다 그랬죠 그래서 5 곱하기 4는20입니다 자 그럼 만약에 3명을 뽑으면요 당장 부반장 우리 총무를 뽑는다고 할까요 총무를 뽑는다고 하면 자리가 하나 늘어나는 거고요 그러면 나머지 3명 중에 한 명이 총무를 하겠죠 그래서 5 곱하기 4 곱하기 3으로 60까지의 경우의 수가 있는 겁니다 그래서 요거를 n에 관해서 표현을 하면 우리 자격이 다른 대표 2명 반장 부반장 다르기 때문에 자격이 다르다고 하는 겁니다 이런 경우에 n 곱하기 n-1이구요 몇 명 중에 자격이 다른 대표 3명을 뽑으면 n 곱하기 n - 1 곱하기 n-2예요 자 이번엔 자격이 같은 자격이 같은 대표를 뽑을 건데 자 n명중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는대요

자 우리가 이거는 어떤 예시로 많이 나오냐면 자 마찬가지로 5명이 있고요이 중에 두 번 두 명을 뽑는다고 합시다 두 번 두 명을 뽑을 건데 제가 두 번 자리 두 개를 만들어 놓을게요 자 그러면 우리 아까 계산했던 것처럼 계산을 해 볼게요 그러면이 첫 번째 자리에 5명 중에 한 명이 올 수 있고요 두 번째 두 번 자리에는 남은 4명 중에 한 명이 올 수가 있습니다 그래서 5 곱하기 4로 계산을 해주면 되느냐 그게 아닌 거예요 왜냐면이 5 곱하기 4에는요 지금 뭐가 들어가 있냐면 예를 들어서 처음에 a를 뽑고 그 다음에 d를 뽑은 ad를 두 번으로 한 걸 한번 했고요 그리고 여기에 집어넣을 때 a가 아니라 d를 집어넣어서 d를 집어넣어서 그 다음에 a를 뽑은 da를 뽑은 것도 따로 샜어요 두 개를 따로 샜습니다 그런데ad가 두 번인 거랑 da가 두 번인 거는 같은 거죠 우리가 두 번이라는 것은 자격이 같은 거기 때문에 이런 경우에는 ad와 da를 같은 걸로 한 번만 세야 돼요 그런데 우리가 20이라고 했으면 몇 번 센 거예요이 20 안에는 두 번 센 거죠 우리가 이렇게 두 명을 뽑는데 adda 똑같은 걸 모두 두 번씩 했기 때문에 20을 2로 나눠서 답을 10이라고 계산을 해 줘야 됩니다 그래서 만약에 n명중에 두 명을 뽑으면요 우리가 n 곱하기 n - 1을 겹치는 횟수만큼 2로 나눠 주는 거예요 자요 2는 뭐라고요 우리가 한 번만 세야 되는데 겹치는 횟수만큼 나눠주는 겁니다 그러면 만약에 3명을 뽑았어요 3명을 뽑았으면A B c가 두 번인 경우는 우리가 세 자리니까 5 곱하기 4 곱하기 3으로 우선 계산을 했을 텐데 우리 여기 자리가 하나 더 있으니까 5 곱하기 3으로 계산을 했을 텐데 이 5 곱하기 4 곱하기 3에는이 abc가 몇 번 들어 있는지를 세 보면 우리가 abc라고 한 번만 세야 될 거를 ABC ACB bac bca cab cba 이렇게 6번 센 겁니다 자이 여섯 번이라는 숫자는 어떻게 나온 거냐 abc를 우리가 순서 정해주는 횟수만큼 겹친 거예요 우리 ABC 가지고 줄 세우는 횟수만큼 겹친 겁니다 따라서 5 곱하기 4 곱하기 3 나누기 6이 우리 두 번 세 명 뽑는 경우의 수예요

자 따라서 n명 중에서 우리 자격이 같은 대표3명을 뽑는 경우의 수는요 n 곱하기 n - 1 곱하기 n - 1을 뭐로 나눈다고요 3명이 있으면 여섯 번씩 겹치니까 6으로 나눠준다고요 자 우리 요거 분모의 지금 2랑 6이 왜 들어갔는지 1학년은 어떻게 나온 건지 요거를 우리가 정확하게 이해하고 있어야 됩니다 자 요거 꼭 복습할 때 다시 한번 적어 가면서 이해해 보시기 바랍니다 자 넘어가 볼게요 첫 번째 abcd 중에서 두 명을 뽑아서 일렬로 세운대요 그러면 자리 두 개고요 맨 앞자리에 4명이 올 수 있고 그 다음 자리에 세 명 중 한 명이 옵니다 4 곱하기 3이니까 12가지로 나오고요 두 번째 1부터 6까지 자연수가 각각 한 개씩 적힌 6장의 카드 중에서 3장을 뽑아서 만들 수 있는 세자리 자연수래요 자 그러면 100의 자리 20의 자리 1의 자리고요 우리 베개자리에는 6가지 카드 중 하나가 오고 그 다음 자리에는 5장 중에 하나 그다음 자리에는 내장 중에 하나가 오죠 그래서 6 곱하기 5 곱하기 4로 120까지라고 구할 수가 있습니다 여기는 지금 0이 없기 때문에 이대로 곱해주면 되겠죠 자 이번엔 회원이 9명이 모임에서 대표 2명을 뽑는데요 자이 대표 2명은 자격이 같아요 달라요 자격이 같습니다 자 그렇기 때문에 우리가 일단은 두 명을 뽑으면 9 곱하기 8이죠 9명 그다음 한 명 뽑았으니까 8명 그런데 우리가 각각 경우의 수가 한 번만 세야 될 걸 자리 바꾸는 거 고려해서 두 번씩 센 겁니다 그래서 요거를 2로 나눠서 계산을 해주면 우리가 36가지라고 구할 수가 있습니다 자 우리 2로 나누는 거 정확하게 이해하셔야 됩니다자 첫 번째 필수 예제구요 집과 서점 그리고 도서관 사이의 길이 다음 그림과 같을 때 집에서 출발하여 우리 서점 들려서 도서관까지 가는 방법의 수를 구하는 거예요 그러면 우리가 집에서 서점 가는 경우의 수는 두 가지가 있고요 서점에서 도서관 가는 경우의 수는 3가지가 있는데 우리 집에서 서점 가고 서점에서 도서관 가는 것까지 각각 정해져야 집에서 도서관으로 가는 방법의 수가 나오는 거기 때문에 2와 3을 곱해서 6가지라고 나오는 겁니다

자 다음 필수 예제구요 첫 번째는 5명의 학생 abcd를 모두 일렬로 세울 때 ab를 2호타이어 세우는 경우의 수를 구하래요 그러면 우리가 이웃하여 세우는 경우의 수는 어떻게 한다고요 묶어준다고요 자 묶어서 하나로 보고요 하나 둘 셋 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는 우리가 자리가 4개고맨 앞자리 4명 중 하나오고 그 다음 세 명 중 한 명 두 명 중 한 명 남은 한 명 오니까 4x3 곱하기 2 곱하기 1이고 그 다음에이 묶어 놓은 거 안에서 ab의 자리가 바뀔 수 있죠 그래서 둘이 다리 바꿔주는 두 가지 경우의 수까지 곱해주면 됩니다 계산해주면요 12 24 48가지로 나오네요 자 2번 보면 이번엔 0부터 5까지 있대요 그런데 세자리 자연수를 만든다고 했네요 그런데 우리 지금 0이 들어가 있으니까 맨 앞에 베개 자리에 올 수 있는 카드는 몇 가지예요 6장의 카드가 있지만 0을 빼고 5가지의 카드가 올 수 있는 겁니다 자 남은 이제 카드는 몇 장이에요 6장 중에 하나 썼으니까 5개 남은 겁니다 그러면 10의 자리에는 아무거나 올 수 있고요 그 다음에는 내장의 카드가 남아 있습니다따라서 5 곱하기 5 곱하기 4니까 우리 답을 100가지라고 구할 수 있겠네요 자 마지막 회원이 10명인 모임에서 대표 3명을 뽑는 경우의 수고요 자 10명 중에 3명을 뽑으면 우리는 자리가 3개니까 10 곱하기 9 곱하기 8일 거구요 대표 3명을 뽑는다 그랬어요 자격이 동일하죠 자 이때는 뭘로 나눈다 그랬어요 abc를 뽑았다고 치면 얘네들을 순서를 바꿔서 ACB bac bca cabcba 요렇게 6번씩 셌으니까 6으로 나눠준다 했습니다 자이 6은 어떻게 나온 거예요이 abc를 순서를 정해주는 횟수만큼 겹치는 거라서 3 곱하기 2 곱하기 1에서 나온 겁니다 자 따라서 계산을 해주면요 여기가 3 여기가 4 여기 3이니까120까지라고 나오네요

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 배울 내용 모두 맞췄고요 오늘 정말 많은 내용 배웠는데이 여러가지 경우에 대해서 여러 가지 상황에 대해서 경우의 수를 구하는 거는 정말 중요하니까 확실하게 우리가 이해하고 넘어가시기 바랍니다이 내용은 고등학교 가서도 계속 나오니까요 우리가 꼭 완벽하게 이해하시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다