[수학대왕] 중학수학3-1 개념강의 : 제곱근과 실수 - 제곱근의 뜻과 표현

자 이번 시간 학습할 내용은 제곱근의 뜻과 표현입니다 자 우리가 오늘 이제 중학교 3학년 1학기 과정을 처음 들어가는 날인데 우리가이 중학교 3학년 1학기 과정에서는 2차방정식과 2차 함수에 관해서 많이 배우게 됩니다 자 그런데 그 2차방정식과 2차 함수에 관해 배우기 위해서는 우리가이 제곱근이라는 것의 내용을 알고 있어야 돼요 자 그래서 오늘은이 제곱근을 먼저 배워볼 거고 앞으로 첫 번째 단어는 제곱근에 대해 계속 배우도록 할 거예요 자 그러면 우리가 제곱근이 무엇인지 오늘 배워 볼 건데 자 요렇게 써 있어요 어떤 수 x를 제곱하여 a가 될 때 자 x를 제곱하여 a가 될 때 요거를 우리가 식으로 표현하면 x를 제곱에서 a가 되니까x 제곱은 a와 같겠죠 자 요거를 식으로 바꾸면 이렇게 됩니다 자이 식을 만족하는 x 값을 우리는 x를 a의 제곱근이다라고 말해요 자 x를 제곱근이라고 말하는데 우리가 요거를 쉽게 말하면 요렇게도 표현을 할 수 있을 것 같아요 x는 x는 제곱해서 제곱해서 a가 되는 수 제곱해서 a가 되는 수라고 우리가 표현을 할 수 있을 것 같아요

자 예를 들어서 우리가 플러스 2를 제곱을 하면 뭐가 돼요 +1을 제곱을 하면 바로 4가 됩니다 +1을 제곱하면 4가 되는데 자 -2를 제곱해도 4죠 -1을 제곱해도 4가 나옵니다 자 그러면 플러스 2랑 -1을 제곱했을 때 4가 나오니까 반대로 4를제곱해서 4가 나오는 수는 뭐예요 바로 플러스이랑 -2죠 자 제곱해서 4가 나오는 수는 + 1항 -입니다 이거를 우리가 제곱근이다라고 말하는 거예요 그래서 제곱의 반대 과정이라고 우리가 제곱근을 이해하면 되겠죠 제곱해서 4가 되는 수 제곱해서 a가 되는 수 자 그래서 우리가 이 제곱근을 표현하는 방법에는 어떤 수 x를 제곱하여 a가 된다고 표현을 할 수도 있고요 이렇게 x 제곱은 a와 같다는 식으로 표현을 할 수도 있고 x를 a의 제곱근이다라고 말할 수도 있습니다 우리가 이 세계가 모두 같은 표현이에요

자 그러면 우리가 개념 예제를 한번 보도록 할게요 자 다음 네모 안에 알맞은 수를 써 넣으시오라고 했는데 16의 제곱근은요 제곱하여 뭐가 되는 수예요 배고파요 16이 되는 수입니다 제곱해서 16이 되는 수구요 자 밑에 네모칸을 보면이렇게식이 써 있어요 자 x 제곱은 네모를 만족시키는 x의 값인데 제곱하여 16이 되는 수구요 우리가 이거를 식으로 표현하면 x 제곱은 16을 만족하는 x의 값인 겁니다

자 여기까지 됐죠 자 이번엔 제곱근의 표현인데요 자 양수 a에 대하여 x 제곱은 a일 때라 그랬어요 자 왜 양수 a라고 했을까요 자 우리가요 양수 a에 대해서라고 하는 이유는 지금 x를 제곱한 거는 어떤 똑같은 x와 x를 곱한 거예요 자 그러면 만약에 x가 양수라면 x가 양수라면 양수 곱하기 양수니까 양수가 나올 거예요 양수 곱하기 양수면 양수가 나오죠 자 만약에 x가 음수면요 자 음수 곱하기음수라면 뭐가 나와요 양수가 나오죠 자 0을 넣으면요 0 곱하기 0이니까 x 제곱은 0이에요 자 a가 음수가 될 수 있나요 음수가 될 수 없습니다

자 우리가 이 내용은요 바로 뒤에서 다시 정리를 하기로 하고 일단은 우리가이 x 제곱은 양수인 경우에 대해서만 우리가 지금 생각을 좀 해보도록 할게요 우리가 제곱근을 어떻게 표현하는지를 좀 보도록 하겠습니다 자 일단은요 x를 a의 제곱근이라 하면 기호 요거를 사용한대요 자 요 기호를 사용하여 이렇게 이렇게 나타낸다고 적혀 있고요이 꺾여진 이렇게 꺾인 기호를 근호라고 하고요 이거를 우리가 뭐라고 읽냐면 제곱근이라고 읽거나 제곱근이라고 읽거나 루트라고 있습니다 자 근호는 뭐라고 읽어요 제곱근 또는 루트라고 읽을 수 있는 거예요 그럼얘를 루트 a - 루트 a라고 읽을 수 있겠죠 자 그러면 우리가 한번 내용을 좀 보도록 할게요 자 x 제곱은 4를 만족하는 x 값은 뭐예요 우리가 4의 제곱근을 말하는 거고요 제곱해서 4가 되는 수는 x값으로 플러스 2가 있고 -2가 있습니다 자 이렇게 다 같은 숫자는 제곱을 해서 나온 숫자이기 때문에 우리가 x값을 요렇게 +2 -2 우리가 알고 있는 숫자로 표현을 할 수가 있었어요 그런데 만약에 x제곱은 5라 그러면 제곱해서 5가 되는 수는 우리가 배운 숫자로는 표현을 할 수가 없는 거예요 그렇기 때문에이 x제곱은 5를 만족하는 x를 우리가 어떻게 표현을 하냐 바로 루트를 사용해서 표현을 해주는 겁니다 제곱해서 5가 되는 수니까 x는플러스 루트 5 - 루트 우리가 이렇게 제곱근을 표현할 수가 있습니다 자 이렇게 표현을 하기 위해 우리가 루트를 쓰는 거고요 만약에 x 제곱은 a라 그러면 x 제곱은 a라고 그러면 이거를 만족시키는 x 값은 플러스 루트 a - 루트 a 이렇게 두 개가 있겠죠 자 이렇게 두 개가 나오게 되는데 우리가 이때 나오는이 플러스 루트 a를 뭐라 그러냐 제곱근 중에서 양수인 제곱근이라 양의 제곱근이다라고 하고요 플러스 루트 a를 양의 제곱근이라고 하고 - 루트 a를 음의 제곱근이다라고 합니다 자 그래서요 내용이 여기 이렇게 루테이를 양해제곱근 -√a를 음의 제곱근이라 한다라고 적혀 있습니다 자 그리고 우리가 이 플러스 루트 a와- 루트 a를 한 번에 표현을 할 수가 있어요 플러스와 마이너스를 겹쳐서 + - 루트 a라고 우리가 이렇게 표현을 할 수가 있습니다 자 우리가 여기서 봐야 될 건요요 표현을 잘 봐줘야 될 것 같아요 x 제곱은 a를 만족하는 x 값을 뭐라고 쓴다 플러스 루트 a - 루트 우리가 제곱근을 루트를 이용해서 표현을 한다 또는 제곱근 a - 제곱근 a라고 표현을 한다 이렇게 표현을 우리가 이해하고 가면 될 것 같습니다

자 개념 예제 볼 건데요 자 이번에는 1번 16의 제곱근을 구하라고 했고요 16의 제곱근은 제곱을 해서 16이 되는 x 값을 찾으라는 것이고 제곱해서 16이 되는 것은 x값이 우리가 플러스 루트 16 그리고 - 루트 16 요렇게 쓸 수도 있지만 우리가 요거를 알고 있죠 제곱해서 16이 되는 수 x는 4 그리고 -4 그래서 한 번에플러스 마이너스 4 이렇게 다 찾아주면 됩니다 자 2번은 5의 제곱근인데요 5의 제곱근이면 x 제곱은 5를 만족하는 x 값이고요 요거는 우리가 x를 플러스 루트 5 - 루트 5라고 5의 제곱근을 구해줄 수가 있겠죠 자 이거 두 개를 한번에 플러스 마이너스 루트 5라고도 작성할 수가 있습니다 자 여기까지 됐나요 넘어가 보도록 할게요

자 이번엔 제곱근의 개수인데요 우리가 앞에서 그 양수에 관해서만 다르다고 했었어요 근데 그거를 양수가 아니라 다른 음수와 0인 경우에 어떻게 되는지 그 내용을 한번 좀 정리를 해보도록 할게요 자 교재를 먼저 보면 어떤 수의 제곱근은이라 그랬는데 제가이 어떤 수를 a라고 할게요 어떤 수를 a라 그러면 어떤 수의 제곱근이라 그러면 뭐를 말하는 거예요x 제곱은 a를 만족하는 x를 말하는 겁니다 자 이거는 a의 부호에 따라 달라지는데 자 여기 a라는 말이 어떻게 보면 생략되어 있는 거예요 자 a의 부호에 따라 계수가 달라지면 아래 표와 같대요 자 양수인 경우에는 두개고요 0인 경우 1개고 음수인 경우는 0개래요 자 이게 왜 그런지 한번 좀 보도록 할게요 자 x 제곱은 a를 만족하는 x 값을 우리는 a의 제곱근이라고 하는데 만약에 a가 양수면요 a가 양수면 우리가 x 제곱은 a를 만족하는 x 값은 두 개 찾아낼 수가 있어요 앞에서 했죠 하나는 플러스 루트 a고 다른 하나는 - 루트 a라고 이렇게 x 값을 찾아낼 수 있었습니다 그래서 a의 제곱근 그것은 플러스 루트 a - 루트 2다라고앞에서 배웠죠 방금 전에 했었습니다

자 이번엔 a가 음수인 경우를 볼게요 자 a가 만약에 음수면요 예를 들어서 x 제곱이 마이너스 4라고 해볼게요 자 그러면 분명히 x²은 똑같은 x를 두 번 곱한 건데 두 번 곱했더니 -4가 나왔대요 자 양수와 양수를 곱하면 무조건 양수가 나옵니다 음수와 음수를 곱하면 뭐가 나와요 얘도 무조건 양수가 나오죠 자 0을 곱하면 0이 나와요 즉 x²이라는 값은요 우리가 음수가 나올 수가 없는 거예요 음수가 나올 수 없기 때문에 만약에 a가 음수라면 x 제곱은 a에서 이거를 만족하는 x 값은 존재하지 않는 겁니다얘가 음수면 여기 있는 a가 음수면 x²은 음수가 되는 x 값이 존재하지 않아요 그래서 우리는 이런 경우에 x는 존재하지 않는다 존재하지 않는다라고 결론은 내릴 수가 있고 이런 경우에 제곱근이 그럼 몇 개 나오는 거예요 이런 경우의 제곱근이 지금 0개 나오는 겁니다 자 아까는 두 개 나왔는데 우리가 a값의 부호가 음수면 0개가 나오는 거예요 자 만약에 a가 0이면요 a가 0이면 x 제곱은 0을 만족하는 x 값을 물어본 거고요 이런 경우에 x값은 딱 하나밖에 없죠 x는 0이라는 값 하나밖에 없습니다 그래서 이런 경우에는 제곱근의 개수가 한계가 되는 거예요 자 그래서 이거를 효로 정리한게 바로 여기에 나와 있는 거고요 자 양수인 경우에 두 개 0인 경우 1개 음수인 경우 0개 우리가 이렇게정리를 할 수가 있습니다 자 밑에 있는 내용 좀 보도록 할게요 자 양수의 제곱근은 양수와 음수 2개이며 그 절대값은 서로 같다라고 하고 있어요 자 요거는 무슨 말이냐면 우리가 양수의 제곱근은 + 루트 a와 - 루트의 두 개가 나와요 두 개가 나오는데 양수 하나 음수 하나 나오죠 우리가 이걸 각각 양의 제곱근이다 음의 제곱근이다라고 한다고도 했어요 자 그런데 두 개는 우리가 절댓값이 같아요 절대값이 같고요 뭐만 다르냐면 부호만 다릅니다 부호만 두 개는 부호만 다르고 절댓값은 동일한 거예요 자 두 번째 0의 제곱근은 0이다 우리가 아까 여기서 확인을 했죠 자 음수 제곱근은 없다 우리가 x는 존재하지 않는다라 그랬어요 a가 음수인 경우에 x는 존재하지 않는다 자 여기까지 됐나요 자 그럼 넘어가 보도록 할게요

자 이번엔 필수 예제풀이 한번 보도록하겠습니다 자 다음주 고른 것은 고르라고 했고요 답을 2개 고르라고 했네요 자 하나씩 보도록 할게요 자 -3은 -9의 제곱근이냐고 물어봤어요 자 -9의 제곱근이면요 x 제곱은 -9를 만족하는 x값을 의미합니다 자 x²은 -9를 만족하는 x 값을 말하는데 제곱에서 음수가 되는 x 값은 뭐라 그랬어요 존재하지 않는다 그랬습니다 우리가 제곱해서는 음수가 나올 수가 없어요 그래서 1번은 우리가 존재하지 않으니까 -3은 마이너스 9의 제곱근이 될 수가 없고요 2번 자 0의 제곱근은 0이다라 되어 있어요 0의 제곱근은 0이다 자 우리 0의 제곱근은 x 제곱은 0을 만족하는 x 값을 말하는 거고요 자 이거를 만족하는 x값은 0 딱 한 개가 있다 그랬습니다요거는 답이 많네요 자 3번 36의 제곱근은 36의 제곱근은 플러스 마이너스 6이다라 그랬는데 자 36의 제곱근이라 그러면 x 제곱은 근육을 만족하는 x 값이구요 이거를 만족하는 x값 플러스 마이너스 6입니다 따라서 3번도 많네요 자 답은 다 찾았는데 4번하고 5번 쭉 보도록 할게요 자 4번 제곱근 7과 7의 제곱근은 서로 같다라고 그랬어요 자 우리가 4번은요 일단 틀렸고요 우리가 요거를 혼동하기 쉬운 내용입니다 제가 별표를 좀 하나 달도록 할게요 자 제곱근칠이라 그러면 뭐를 의미하냐면 제곱근은 순전하게 기호를 의미합니다요 기호이 루트라는 기호만 의미하는 거예요 그래서 제국군 7은 딱 루트 7 하나만 하는 거고요 7의 제곱근이라 그러면 뭐예요x제곱은 7을 만족하는 x값이니까 이거를 만족하는 x 값은 플러스 마이너스 루트 7 두 개를 말하는 거예요 그래서 두 개는 서로 같지가 않습니다 자 제곱근 7이라 그러면 우리가 이렇게 제곱근이 √만을 의미하기 때문에 딱 하나만 있다 요것만 꼭 기억해 주시기 바랍니다 자 5번 볼 거구요 루트 36이 제곱근은 플러스 마이너스 6과 같다라고 했는데 자 루트 36은 뭐예요 루트 36은 유기적 즉 6의 제곱근은 뭐와 같은지를 물어봤고요 6의 제곱근은 우리가 x 제곱은 6을 만족하는 x 값이기 때문에 플러스 마이너스 루트 6입니다 그래서 요거는 틀렸죠

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 제곱근이 무엇인지 배워봤어요 우리가 제곱근이라는 개념을 처음 배웠기 때문에분명히 헷갈리고 어려울 거예요 하지만 우리가 요거에 익숙해져서 계산도 많이 해야 되고 이걸 활용해서 방정식도 풀어야 되고 정말 우리가 능수능란하게 다룰 수 있어야 되기 때문에 우리가이 내용을 확실하게 복습하고 숙지하고 그 다음 강의 들으시기 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다